Infinito nulo

En física teórica , el infinito nulo es una región en el límite de los espaciotiempos asintóticamente planos . En relatividad general , las trayectorias rectas en el espaciotiempo, llamadas geodésicas , pueden ser de tipo espacial, de tipo temporal o de tipo luz (también llamadas nulas). La distinción entre estas trayectorias proviene de si el intervalo espaciotemporal de la trayectoria es positivo (correspondiente a tipo espacial), negativo (correspondiente a tipo temporal) o cero (correspondiente a nulo). Las trayectorias de tipo luz corresponden físicamente a fenómenos físicos que se propagan a través del espacio a la velocidad de la luz , como la radiación electromagnética y la radiación gravitacional . El límite de un espaciotiempo plano se conoce como infinito conforme, y puede pensarse como los puntos finales de todas las geodésicas a medida que se extienden hacia el infinito. ^{[ 1 ]} La región del infinito nulo corresponde al término de todas las geodésicas nulas en un espacio de Minkowski plano . Las distintas regiones de infinito conforme se visualizan con mayor frecuencia en un diagrama de Penrose , donde forman el límite del diagrama. Existen dos regiones distintas de infinito nulo, llamadas infinito nulo pasado e infinito nulo futuro, que se pueden denotar usando una letra ' I ' como 𝓘 ⁺ y 𝓘− ^. Estas dos regiones se conocen a menudo como 'scri-plus' y 'scri-minus', respectivamente. ^{[ 2 ]} Geométricamente, cada una de estas regiones tiene la estructura de una región tridimensional topológicamente cilíndrica.

El estudio del infinito nulo se originó a partir de la necesidad de describir las propiedades globales del espaciotiempo. Si bien los primeros métodos en relatividad general se centraron en la estructura local construida alrededor de marcos de referencia locales, el trabajo que comenzó en la década de 1960 comenzó a analizar descripciones globales de la relatividad general, analizando la estructura del espaciotiempo en su conjunto. ^{[ 3 ]} El estudio original del infinito nulo se originó con el trabajo de Roger Penrose analizando los espaciotiempos de los agujeros negros . ^{[ 4 ]} El infinito nulo es una herramienta matemática útil para analizar el comportamiento en espacios asintóticamente planos cuando es necesario tomar límites de trayectorias nulas. Por ejemplo, los espaciotiempos de los agujeros negros son asintóticamente planos, y el infinito nulo se puede usar para caracterizar la radiación en el límite en que viaja hacia afuera del agujero negro. ^{[ 5 ]} El infinito nulo también se puede considerar en el contexto de espaciotiempos que no son necesariamente asintóticamente planos, como en la cosmología FLRW. ^{[ 2 ]}

La métrica para un espaciotiempo de Minkowski plano en coordenadas esféricas es${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$La compactificación conforme induce una transformación que conserva los ángulos, pero cambia la estructura local de la métrica y añade el límite de la variedad, haciéndola así compacta. ^{[ 6 ]} Para una métrica dada${\displaystyle g_{ij}}$, una compactificación conforme escala toda la métrica por algún factor conforme tal que${\displaystyle {\overline {g_{ij}}}=\Omega ^{2}g_{ij}}$de tal manera que todos los puntos en el infinito se escalan a un valor finito. ^{[ 3 ]} Típicamente, las coordenadas radiales y temporales se transforman en coordenadas nulas.${\displaystyle u=t+r}$y${\displaystyle v=tr}$Estos luego se transforman como${\displaystyle p=\tan ^{-1}u}$y${\displaystyle q=\tan ^{-1}v}$para utilizar las propiedades de la función tangente inversa para mapear el infinito a un valor finito. ^{[ 2 ]} Las coordenadas típicas de tiempo y espacio pueden introducirse como ${\displaystyle T=p+q}$y${\displaystyle R=pq}$. Después de estas transformaciones de coordenadas, se introduce un factor conforme, lo que lleva a una nueva métrica no física para el espacio de Minkowski: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dR^{2}+(\sin ^{2}R)d\Omega ^{2}}$.

Esta es la métrica en un diagrama de Penrose , ilustrada. A diferencia de la métrica original, esta métrica describe una variedad con un límite, dado por las restricciones en${\displaystyle R}$y${\displaystyle T}$. Hay dos superficies nulas en este límite, que corresponden al infinito nulo pasado y futuro. Específicamente, el infinito nulo futuro consiste en todos los puntos donde${\displaystyle T=\pi -R}$ y${\displaystyle 0<R<\pi }$y el infinito nulo pasado consiste en todos los puntos donde${\displaystyle T=R-\pi }$y ${\displaystyle 0<R<\pi }$. ^{[ 2 ]}

A partir de las restricciones de coordenadas, el infinito nulo es una superficie nula tridimensional, con una topología cilíndrica.${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{2}}$. ^{[ 1 ] [ 8 ]}

La construcción que se presenta aquí es específica de la métrica plana del espacio de Minkowski. Sin embargo, dicha construcción se generaliza también a otros espacios asintóticamente planos. En tales escenarios, el infinito nulo sigue existiendo como una superficie nula tridimensional en el límite de la variedad espaciotemporal, pero la estructura general de la variedad puede ser diferente. Por ejemplo, en el espacio de Minkowski, todas las geodésicas nulas comienzan en el infinito nulo pasado y terminan en el infinito nulo futuro. Sin embargo, en el espaciotiempo del agujero negro de Schwarzschild, el horizonte de sucesos del agujero negro da lugar a dos posibilidades: las geodésicas pueden terminar en el infinito nulo, pero también pueden terminar en la singularidad futura del agujero negro. La presencia del infinito nulo (junto con las otras regiones de infinito conforme) garantiza la completitud geodésica en la variedad espaciotemporal, donde todas las geodésicas terminan en una singularidad verdadera o intersecan el límite del infinito. ^{[ 7 ]}

Las simetrías del infinito nulo son característicamente diferentes de las de las regiones típicas del espaciotiempo. Mientras que las simetrías de un espaciotiempo plano de Minkowski vienen dadas por el grupo de Poincaré , las simetrías del infinito nulo vienen dadas por el grupo de Bondi-Metzner-Sachs (BMS) . ^{[ 9 ] [ 10 ]} El trabajo de Bondi , Metzner y Sachs caracterizó la radiación gravitacional utilizando análisis relacionados con el infinito nulo, mientras que trabajos anteriores, como el marco ADM, trataron con caracterizaciones del infinito espacial. ^{[ 8 ]} En los últimos años, ha crecido el interés por estudiar los gravitones en el límite del infinito nulo. ^{[ 8 ] [ 11 ]} Utilizando el grupo BMS, los cuantos en el infinito nulo pueden caracterizarse como partículas sin masa de espín 2 , lo que es consistente con que los cuantos de la relatividad general sean gravitones. ^{[ 8 ]}