Modelo numérico del Sistema Solar

Un modelo numérico del Sistema Solar es un conjunto de ecuaciones matemáticas que, al ser resueltas, dan las posiciones aproximadas de los planetas en función del tiempo. Los intentos de crear un modelo de este tipo establecieron el campo más general de la mecánica celeste . Los resultados de esta simulación se pueden comparar con mediciones anteriores para comprobar su precisión y luego se pueden utilizar para predecir posiciones futuras. Por lo tanto, su principal uso es en la preparación de almanaques.

Las simulaciones pueden realizarse en coordenadas cartesianas o esféricas . Las primeras son más fáciles, pero requieren un gran esfuerzo de cálculo y solo son prácticas en un ordenador electrónico. Por ello, en el pasado solo se utilizaban las segundas. Estrictamente hablando, las segundas no requerían mucho menos esfuerzo de cálculo, pero era posible empezar con algunas aproximaciones sencillas y luego añadir perturbaciones , tantas como fuera necesario para alcanzar la precisión deseada.

En esencia, esta simulación matemática del Sistema Solar es una forma del problema de N cuerpos . El símbolo N representa el número de cuerpos, que puede llegar a ser bastante grande si se incluye el Sol, 8 planetas, docenas de lunas e innumerables planetoides, cometas, etc. Sin embargo, la influencia del Sol sobre cualquier otro cuerpo es tan grande, y la influencia de todos los demás cuerpos entre sí tan pequeña, que el problema puede reducirse al problema de 2 cuerpos analíticamente solucionable. El resultado para cada planeta es una órbita, una descripción simple de su posición en función del tiempo. Una vez que esto se resuelve, las influencias que las lunas y los planetas tienen entre sí se agregan como pequeñas correcciones. Estas son pequeñas en comparación con una órbita planetaria completa. Algunas correcciones pueden ser aún varios grados grandes, mientras que las mediciones se pueden realizar con una precisión de mejor que 1″.

Aunque este método ya no se utiliza para simulaciones, sigue siendo útil para encontrar una efeméride aproximada , ya que se puede tomar la solución principal relativamente simple, quizás agregar algunas de las perturbaciones más grandes y llegar sin demasiado esfuerzo a la posición planetaria deseada. La desventaja es que la teoría de perturbaciones es matemática muy avanzada.

El método moderno consiste en la integración numérica en un espacio tridimensional. Se parte de un valor de alta precisión para la posición ( x , y , z ) y la velocidad ( _{v x , vy , v z ) para cada uno de los cuerpos involucrados. Cuando también se conoce la masa de cada cuerpo, se puede calcular la aceleración ( a x , a y} , _a z ) a partir _de la Ley de _gravitación de Newton _. Cada cuerpo _atrae a los demás cuerpos, siendo la aceleración total la suma de todas estas atracciones. A continuación se elige un pequeño paso de tiempo Δ t y se aplica la Segunda ley del movimiento de Newton . La aceleración multiplicada por Δ t da una corrección a la velocidad. La velocidad multiplicada por Δ t da una corrección a la posición. Este procedimiento se repite para todos los demás cuerpos.

El resultado es un nuevo valor de posición y velocidad para todos los cuerpos. Luego, utilizando estos nuevos valores, se comienza de nuevo todo el cálculo para el siguiente intervalo de tiempo Δ t . Si se repite este procedimiento con la suficiente frecuencia, se obtiene una descripción de las posiciones de todos los cuerpos a lo largo del tiempo.

La ventaja de este método es que resulta muy fácil de realizar para un ordenador y proporciona resultados muy precisos para todos los cuerpos al mismo tiempo, lo que elimina los procedimientos complejos y difíciles para determinar las perturbaciones. La desventaja es que hay que empezar con cifras muy precisas, o los resultados se alejarán de la realidad con el tiempo; se obtienen posiciones x , y , z que a menudo son las primeras que hay que transformar en coordenadas eclípticas o ecuatoriales más prácticas antes de poder utilizarlas; y se trata de un enfoque de todo o nada. Si se quiere saber la posición de un planeta en un momento determinado, también hay que calcular todos los demás planetas y todos los intervalos de tiempo intermedios.

En la sección anterior se supuso que la aceleración permanece constante durante un pequeño intervalo de tiempo Δt, de modo que el cálculo se reduce simplemente a la suma de V × Δt a R, y así sucesivamente. En realidad, este no es el caso, excepto cuando se toma Δt tan pequeño que el número de pasos a dar sería prohibitivamente alto, porque, si bien en cualquier momento la posición cambia por la aceleración, el valor de la aceleración está determinado por la posición instantánea. Evidentemente, se necesita una integración completa.

Hay varios métodos disponibles. Primero observe las ecuaciones necesarias:

${\displaystyle {\vec {a}}_{j}=\sum _{i\neq j}^{n}G{\frac {M_{i}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})}$

Esta ecuación describe la aceleración que ejercen todos los cuerpos i al correr de 1 a N sobre un cuerpo particular j . Es una ecuación vectorial, por lo que se debe dividir en 3 ecuaciones para cada uno de los componentes X, Y, Z, obteniendo:

${\displaystyle (a_{j})_{x}=\sum _{i\neq j}^{n}G{\frac {M_{i}}{((x_{i}-x_{j})^{2}+(y_{i}-y_{j})^{2}+(z_{i}-z_{j})^{2})^{3/2}}}(x_{i}-x_{j})}$

con las relaciones adicionales

${\displaystyle a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}}$,${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}}$

Lo mismo para Y y Z.

La primera ecuación (gravitación) puede parecer inquietante, pero su cálculo no plantea ningún problema. Las últimas ecuaciones (leyes del movimiento) parecen más sencillas, pero no se pueden calcular. Los ordenadores no pueden integrar, no pueden trabajar con valores infinitesimales, así que en lugar de dt utilizamos Δt y llevamos la variable resultante a la izquierda:

${\displaystyle \Delta v_{x}=a_{x}\Delta t}$, y:${\displaystyle \Delta x=v_{x}\Delta t}$

Recuerde que a sigue siendo una función del tiempo. La forma más sencilla de resolverlos es simplemente el algoritmo de Euler , que en esencia es la suma lineal descrita anteriormente. Limitándonos a una sola dimensión en un lenguaje informático general:

a.old = funcion gravitacional(x.old)
x.nuevo = x.viejo + v.viejo * dt
v.nuevo = v.viejo + a.viejo * dt

Como, en esencia, la aceleración utilizada durante toda la duración del intervalo de tiempo es la misma que había al principio del intervalo de tiempo, este método simple no tiene una gran precisión. Se obtienen resultados mucho mejores tomando una aceleración media, el promedio entre el valor inicial y el valor final esperado (sin perturbaciones):

a.old = funcion gravitacional(x.old)
x.esperar = x.antiguo + v.antiguo * dt
a.esperar = funciongravitacional(x.esperar)
v.nuevo = v.viejo + (a.viejo + a.esperado) * 0.5 * dt
x.nuevo = x.viejo + (v.nuevo + v.viejo) * 0.5 * dt

Por supuesto, se pueden esperar mejores resultados si se toman valores intermedios. Esto es lo que ocurre cuando se utiliza el método de Runge-Kutta , especialmente los de grado 4 o 5, que son los más útiles. El método más común que se utiliza es el método de salto de rana debido a su buena conservación de energía a largo plazo.

Un método completamente diferente es el uso de la serie de Taylor . En ese caso escribimos:${\displaystyle r=r_{0}+r'_{0}t+r''_{0}{\frac {t^{2}}{2!}}+...}$

pero en lugar de desarrollar hasta una derivada superior solo en r, uno puede desarrollar en r y v (es decir r') escribiendo y luego escribiendo los factores f y g en una serie. ${\displaystyle r=fr_{0}+gr'_{0}}$

Para calcular las aceleraciones hay que tener en cuenta la atracción gravitatoria de cada cuerpo sobre los demás. En consecuencia, la cantidad de cálculo en la simulación aumenta con el cuadrado del número de cuerpos: al duplicar el número de cuerpos, el trabajo se multiplica por cuatro. Para aumentar la precisión de la simulación, no sólo hay que tomar más decimales, sino también pasos de tiempo más pequeños, lo que aumenta rápidamente la cantidad de trabajo. Evidentemente, hay que aplicar trucos para reducir la cantidad de trabajo. Algunos de estos trucos se dan aquí.

Sin duda, el truco más importante es el uso de un método de integración adecuado, como ya se ha descrito anteriormente.

La elección de las unidades es importante. En lugar de trabajar en unidades del SI , lo que haría que algunos valores fueran extremadamente pequeños y otros extremadamente grandes, todas las unidades deben escalarse de manera que estén en torno a 1. Por ejemplo, para las distancias en el Sistema Solar, la unidad astronómica es la más sencilla. Si no se hace esto, es casi seguro que se abandone una simulación en medio de un cálculo debido a un desbordamiento o subdesbordamiento de punto flotante y, si no es tan grave, es probable que se pierda precisión debido a errores de truncamiento .

Si N es grande (no tanto en las simulaciones del Sistema Solar, pero sí en las simulaciones de galaxias), se acostumbra a crear grupos dinámicos de cuerpos. Se toman en conjunto todos los cuerpos que se encuentran en una dirección particular y a una gran distancia del cuerpo de referencia que se está calculando en ese momento, y se promedia su atracción gravitatoria sobre todo el grupo.

La cantidad total de energía y momento angular de un sistema cerrado son magnitudes que se conservan. Calculando estas magnitudes después de cada paso de tiempo, la simulación puede programarse para aumentar el tamaño del paso Δt si no cambian significativamente, y para reducirlo si comienzan a hacerlo. También es posible combinar los cuerpos en grupos como en el caso anterior y aplicar pasos de tiempo mayores y, por lo tanto, menores a los cuerpos más alejados que a los más cercanos.

Para permitir un cambio excesivamente rápido de la aceleración cuando un cuerpo particular está cerca del cuerpo de referencia, se acostumbra introducir un pequeño parámetro e de modo que ${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}+e}}}$

Si se necesita la mayor precisión posible, los cálculos se vuelven mucho más complejos. En el caso de los cometas, se deben tener en cuenta fuerzas no gravitacionales, como la presión de radiación y el arrastre de gas. En el caso de Mercurio y otros planetas para cálculos a largo plazo, no se pueden ignorar los efectos relativistas. Entonces, también la energía total ya no es una constante (porque la energía de cuatro vectores con momento lineal lo es). La velocidad finita de la luz también hace que sea importante tener en cuenta los efectos del tiempo de luz, tanto clásicos como relativistas. Los planetas ya no pueden considerarse partículas, pero también se debe considerar su forma y densidad. Por ejemplo, el aplanamiento de la Tierra causa precesión, lo que hace que cambie la inclinación axial, lo que afecta los movimientos a largo plazo de todos los planetas. Los modelos a largo plazo, que van más allá de unas pocas decenas de millones de años, no son posibles debido a la falta de estabilidad del Sistema Solar .

• Efemérides
• VSOP (planetas)

• Boulet, Dan L. (1991). Métodos de determinación de órbitas para microcomputadoras . Richmond, Virginia : Willmann-Bell, Inc. ISBN 978-0-943396-34-7.OCLC 23287041  .^{[ página necesaria ]}