Grupo de renormalización numérica

El grupo de renormalización numérica ( GRN ) es una técnica ideada para resolver ciertos problemas cuánticos de muchos cuerpos donde las impurezas desempeñan un papel clave. El grupo de renormalización numérica es un procedimiento iterativo, que es un ejemplo de una técnica de grupo de renormalización. El grupo de renormalización numérica es un procedimiento inherentemente no perturbativo, que fue desarrollado originalmente por Kenneth G. Wilson para resolver el modelo de Kondo en 1975. ^{[ 1 ]}

El modelo de Kondo de la década de 1960 es un modelo teórico simplificado que describe un sistema de impurezas magnéticas de espín 1/2 que se acoplan a electrones de conducción metálicos (por ejemplo, impurezas de hierro en oro). Este problema es notoriamente difícil de abordar teóricamente, ya que las técnicas perturbativas fallan a bajas energías. Sin embargo, Kenneth Wilson pudo demostrar por primera vez, utilizando el grupo de renormalización numérico, que el estado fundamental del modelo de Kondo es un estado singlete. Pero quizás más importante aún, las nociones de renormalización , puntos fijos y flujo del grupo de renormalización se introdujeron en el campo de la física de la materia condensada ; es por esto que Wilson ganó el Premio Nobel de Física en 1982. El comportamiento completo del modelo de Kondo, incluyendo tanto el régimen de "momento local" de alta temperatura como el régimen de "acoplamiento fuerte" de baja temperatura, se captura mediante el grupo de renormalización numérico; Se demostró que una escala de energía exponencialmente pequeña T _K (no accesible mediante la teoría de perturbaciones directa ) rige todas las propiedades a bajas energías, y todas las observables físicas, como la resistividad, la termodinámica, la dinámica, etc., exhiben una escala universal. Esta es una característica de muchos problemas en la física de la materia condensada y es un tema central de la física de impurezas cuánticas en particular. En el ejemplo original del modelo de Kondo, el momento local de la impureza está completamente apantallado por debajo de T _K por los electrones de conducción a través del célebre efecto Kondo ; y una consecuencia famosa es que tales materiales exhiben un mínimo de resistividad a bajas temperaturas, contrario a las expectativas basadas puramente en la contribución estándar de fonones , donde se predice que la resistividad disminuye monótonamente con la temperatura.

La existencia misma de momentos locales en sistemas reales presupone, por supuesto, fuertes correlaciones electrón-electrón. El modelo de impureza de Anderson describe un nivel cuántico con una repulsión de Coulomb local entre electrones (en lugar de un espín), que está acoplada por efecto túnel a los electrones de conducción metálicos. En el régimen de ocupación simple de la impureza, se puede derivar el modelo de Kondo del modelo de Anderson, pero este último contiene otra física asociada con fluctuaciones de carga. El grupo de renormalización numérica fue extendido para abordar el modelo de Anderson (capturando así tanto la física de Kondo como la física de fluctuaciones de valencia) por HR Krishnamurthy et al. ^{[ 2 ]} en 1980. De hecho, se han realizado varios desarrollos importantes desde entonces: Bulla et al. ^{[ 3 ]} han compilado una revisión moderna exhaustiva.

La técnica consiste en dividir primero la banda de conducción en intervalos logarítmicos (es decir, intervalos que disminuyen exponencialmente a medida que nos acercamos a la energía de Fermi). Se conserva un estado de la banda de conducción de cada intervalo, que es la combinación totalmente simétrica de todos los estados en ese intervalo. La banda de conducción ha sido discretizada logarítmicamente. El hamiltoniano se puede transformar en la denominada forma de cadena lineal, en la que la impureza está acoplada a un solo estado de la banda de conducción, que a su vez está acoplado a otro estado de la banda de conducción, y así sucesivamente. Fundamentalmente, estos acoplamientos disminuyen exponencialmente a lo largo de la cadena, de modo que, aunque el hamiltoniano transformado corresponde a una cadena infinita, se puede considerar una cadena de longitud finita y aun así obtener resultados útiles.

La única restricción de la banda de conducción es que no presenta interacción. Los desarrollos recientes ^{[ 4 ]} permiten mapear una banda de conducción multicanal general con mezcla de canales a una cadena de Wilson.

Una vez que el hamiltoniano se encuentra en forma de cadena lineal, se puede iniciar el proceso iterativo. Primero se considera la impureza aislada, que tendrá un conjunto característico de niveles de energía. Luego se considera agregar el primer orbital de la banda de conducción a la cadena. Esto provoca una división en los niveles de energía de la impureza aislada. A continuación, se considera el efecto de agregar más orbitales a lo largo de la cadena, lo que divide aún más los niveles de energía obtenidos hasta el momento. Debido a que los acoplamientos disminuyen a lo largo de la cadena, las divisiones sucesivas causadas por la adición de orbitales a la cadena también disminuyen.

Cuando se añade un número determinado de orbitales a la cadena, obtenemos un conjunto de niveles de energía para esa cadena finita. Obviamente, este no es el conjunto real de niveles de energía para una cadena infinita, pero constituye una buena aproximación al conjunto real en el rango de temperaturas donde: las divisiones adicionales causadas por la adición de más orbitales son despreciables, y contamos con suficientes orbitales en la cadena para explicar las divisiones relevantes en dicho rango. Esto implica que los resultados obtenidos para una cadena de cualquier longitud determinada son válidos únicamente en un rango de temperaturas específico, un rango que se desplaza hacia temperaturas más bajas a medida que aumenta la longitud de la cadena. Por lo tanto, al considerar los resultados para diferentes longitudes de cadena, se puede obtener una visión general del comportamiento del sistema en un amplio rango de temperaturas.

El hamiltoniano para una cadena lineal de longitud finita es un ejemplo de hamiltoniano efectivo. No es el hamiltoniano completo del sistema de cadena lineal infinita, pero en un determinado rango de temperaturas proporciona resultados similares al hamiltoniano completo.