Numerosidad (matemáticas)

La numerosidad de un conjunto infinito , introducida inicialmente por el matemático italiano Vieri Benci y posteriormente ampliada con la ayuda de Mauro Di Nasso y Marco Forti, es un concepto que desarrolla la noción de cardinalidad de Cantor . Mientras que la cardinalidad clásica de Cantor clasifica los conjuntos en función de la existencia de una correspondencia uno a uno con otros conjuntos (definiendo, por ejemplo,${\displaystyle \aleph _{0}}$para conjuntos contables,${\displaystyle \aleph _{1}}$y así sucesivamente para infinitudes mayores), la idea de numerosidad pretende ofrecer un punto de vista alternativo, vinculándose con la noción euclidiana común de que "el todo es mayor que la parte". Todo esto conduce naturalmente a los números hipernaturales. ^{[ 1 ]}

En resumen, Benci y sus colaboradores proponen asociar a un conjunto infinito un valor numérico que refleje de forma más directa su «número de elementos», sin recurrir únicamente a correspondencias biunívocas. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Este enfoque utiliza herramientas de la lógica y el análisis, buscando dar un significado operacional a la noción de «conteo» incluso al tratar con conjuntos infinitos. La numerosidad resulta así útil para el estudio de ciertos problemas en matemáticas discretas y es objeto de investigación dentro de teorías alternativas (o complementarias) a la cardinalidad cantoriana tradicional.

En términos simplificados, para definir una numerosidad se asume lo siguiente:

• Un conjunto (o clase) de conjuntos “etiquetados”:
  • El etiquetado de un conjunto${\displaystyle A}$es una función${\displaystyle \ell :A\to \mathbb {N} }$que es finito a uno.
  • Por cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, el${\displaystyle n}$-ésima aproximación de${\displaystyle A}$es la cardinalidad del conjunto${\displaystyle A_{n}=\{a\in A\mid \ell (a)\leq n\}}$.
• Un conjunto ordenado (o clase) de “números” (los posibles valores de numerosidad).
• Un mapa sobreyectivo${\displaystyle \mathrm {núm} }$que asigna a cada conjunto su valor de numerosidad, obedeciendo a cuatro principios fundamentales:

1. Principio de unión : si${\displaystyle \mathrm {num} (A)=\mathrm {num} (A')}$y${\displaystyle \mathrm {num} (B)=\mathrm {num} (B')}$y los dominios de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$(así como los de${\displaystyle A'}$y${\displaystyle B'}$) son disjuntos, entonces${\displaystyle \mathrm {num} (A\cup B)=\mathrm {num} (A'\cup B')}$.
2. Principio del producto cartesiano : si${\displaystyle \mathrm {num} (A)=\mathrm {num} (A')}$y${\displaystyle \mathrm {num} (B)=\mathrm {num} (B')}$, entonces${\displaystyle \mathrm {num} (A\times B)=\mathrm {num} (A'\times B')}$.
3. Principio de Zermelo (PZ) :${\displaystyle \mathrm {num} (A)<\mathrm {num} (B)}$si y solo si existe un subconjunto adecuado${\displaystyle A'\subset B}$con${\displaystyle \mathrm {num} (A')=\mathrm {num} (A)}$.
4. Principio asintótico (PA) : si para todo${\displaystyle n}$el${\displaystyle n}$-ésima aproximación de${\displaystyle A}$es menor o igual que el de${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle \mathrm {num} (A)\leq \mathrm {num} (B)}$.

De estos principios se derivan varias propiedades, incluida la definición de “suma de numerosidades” (como la unión disjunta de conjuntos) y “producto de numerosidades” (como el producto cartesiano ).

Un ejemplo clásico es el conjunto de los números naturales positivos.${\displaystyle \mathbb {N^{+}} }$, que en este enfoque se asocia con un “número infinito”, a menudo denotado por${\displaystyle \alpha }$: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {num} (\mathbb {N^{+}} )=\alpha }$;

Si se considera el conjunto de los números pares, en la teoría de Cantor este conjunto es equipotente a${\displaystyle \mathbb {N} }$, pero en el enfoque numerositario de Vieri Benci y sus colaboradores tiene el valor${\displaystyle \alpha /2}$, de modo que es “la mitad” de los naturales (y así se conserva el principio de que el conjunto de los números pares es un subconjunto propio de${\displaystyle \mathbb {N} }$y por lo tanto deben tener una cantidad menor).

Naturalmente,${\displaystyle \alpha /2}$no es un número real estándar , sino un elemento de un conjunto no arquimediano que extiende los números naturales.

Con consideraciones similares, podemos obtener la numerosidad de los siguientes conjuntos infinitos ^{[ 7 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \mathrm {num} (\mathbb {Z} )=2\alpha +1}$

${\displaystyle \mathrm {num} (\mathbb {Q^{+}} )=\alpha ^{2}}$

${\displaystyle \mathrm {num} (\mathbb {Q} )=2\alpha ^{2}+1}$

Las ideas subyacentes a la numerosidad también se conectan con el Análisis No Estándar de Robinson : se obtienen sistemas numéricos que incluyen infinitos e infinitesimales “coherentes” con las operaciones de suma y multiplicación. El infinito${\displaystyle \alpha }$que expresa la numerosidad de${\displaystyle \mathbb {N} }$puede tratarse como un elemento no estándar, mayor que todos los números finitos, lo que permite realizar demostraciones y utilizar métodos típicos del análisis no arquimediano.

La investigación sobre la numerosidad se ha aplicado o discutido en:

• Clasificaciones alternativas del tamaño de los conjuntos en determinados contextos discretos o combinatorios.
• Exploración rigurosa de propiedades afines a las medidas, que abarca los campos de la teoría de la medida y la aritmética cardinal. ^{[ 10 ]}
• Investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas , en particular sobre la naturaleza del infinito.
• Probabilidad y filosofía de la ciencia . ^{[ 11 ]}

Aunque se trata de un campo relativamente minoritario, la teoría sigue siendo estudiada y ampliada por un pequeño grupo de matemáticos interesados ​​en cuestiones fundamentales o en tender un puente entre intuiciones finitas y contextos infinitos.

Paolo Mancosu ha reconstruido el origen de las teorías de la numerosidad. ^{[ 12 ]} En particular, los capítulos 3 y 4 del libro citado están dedicados al tamaño de los conjuntos infinitos. En ese libro, pudo rastrear los primeros estudios sobre el tamaño de los conjuntos infinitos (apartándose del enfoque de Cantor) en la tesis doctoral de Fredric M. Katz. ^{[ 13 ]}

• Cardinalidad
• Número cardinal
• Densidad natural
• Análisis no estándar
• Número hiperreal
• Número ordinal
• Teorema de Cantor
• Número surrealista

• Sylvia Wenmackers - 1 2 3... ¡Infinito!