Tasa de estrés objetiva

En mecánica de medios continuos , las tasas de tensión objetivas son derivadas temporales de la tensión que no dependen del sistema de referencia . ^{[ 1 ]} Muchas ecuaciones constitutivas se diseñan en forma de una relación entre una tasa de tensión y una tasa de deformación (o el tensor de velocidad de deformación ). La respuesta mecánica de un material no debe depender del sistema de referencia. En otras palabras, las ecuaciones constitutivas de los materiales deben ser independientes del sistema de referencia (objetivas) . Si las medidas de tensión y deformación son cantidades materiales , la objetividad se satisface automáticamente. Sin embargo, si las cantidades son espaciales , la objetividad de la tasa de tensión no está garantizada, incluso si la tasa de deformación es objetiva.

En mecánica de medios continuos existen numerosas tasas de tensión objetivas, todas las cuales pueden demostrarse como formas especiales de derivadas de Lie . Algunas de las tasas de tensión objetivas más utilizadas son:

1. la tasa de Truesdell del tensor de tensiones de Cauchy ,
2. la tasa de Green-Naghdi de la tensión de Cauchy y
3. la tasa de Zaremba-Jaumann de la tensión de Cauchy. ^{[ 2 ]}

La figura adjunta muestra el desempeño de varias tasas objetivas en un ensayo de corte simple donde el modelo de material es hipoelástico con módulos elásticos constantes . La relación entre el esfuerzo cortante y el desplazamiento se grafica en función del tiempo. Se utilizan los mismos módulos con las tres tasas de esfuerzo objetivas. Claramente se observan oscilaciones espurias para la tasa de esfuerzo de Zaremba-Jaumann. ^{[ 3 ]} Esto no se debe a que una tasa sea mejor que otra, sino a que es un uso incorrecto de los modelos de material usar las mismas constantes con diferentes tasas objetivas. ^{[ 4 ]} Por esta razón, una tendencia reciente ha sido evitar por completo las tasas de esfuerzo objetivas siempre que sea posible.

Bajo rotaciones de cuerpo rígido (${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$), el tensor de tensiones de Cauchy${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$se transforma como $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{r}={\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}~;~~{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ Desde${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es una magnitud espacial y la transformación sigue las reglas de las transformaciones tensoriales ,${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es objetivo. Sin embargo, $${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}({\boldsymbol {\sigma }}_{r})={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}_{r}={\dot {\boldsymbol {Q}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}+{\boldsymbol {Q}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}+{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\dot {\boldsymbol {Q}}}^{T}\neq {\boldsymbol {Q}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}\,.}$$ Por lo tanto, la tasa de tensión no es objetiva a menos que la velocidad de rotación sea cero, es decir${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$es constante.

Para comprender físicamente lo anterior, considere la situación que se muestra en la Figura 1. En la figura, los componentes del tensor de tensiones de Cauchy (o verdadero) se denotan mediante los símbolos${\displaystyle S_{ij}}$Este tensor, que describe las fuerzas sobre un pequeño elemento material imaginado como si se hubiera extraído del material deformado, no es objetivo para grandes deformaciones porque varía con las rotaciones de cuerpo rígido del material. Los puntos materiales deben caracterizarse por sus coordenadas lagrangianas iniciales.${\displaystyle X_{i}}$En consecuencia, es necesario introducir la denominada tasa de estrés objetiva.${\displaystyle {\overset {\circ }{S}}_{ij}}$o el incremento correspondiente${\displaystyle \Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t}$La objetividad es necesaria para${\displaystyle {\overset {\circ }{S}}_{ij}}$estar funcionalmente relacionado con la deformación del elemento. Significa que${\displaystyle {\overset {\circ }{S}}_{ij}}$debe ser invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas, en particular las rotaciones de cuerpo rígido, y debe caracterizar el estado del mismo elemento material a medida que se deforma.

La tasa de estrés objetiva se puede obtener de dos maneras:

• mediante transformaciones de coordenadas tensoriales, ^{[ 5 ]} que es la forma estándar en los libros de texto de elementos finitos ^{[ 6 ]}
• Variacionalmente, a partir de la densidad de energía de deformación en el material expresada en términos del tensor de deformación (que es objetivo por definición) ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Si bien el primer método es instructivo y proporciona información geométrica útil, el segundo es matemáticamente más corto y tiene la ventaja adicional de garantizar automáticamente la conservación de la energía , es decir, garantizar que el trabajo de segundo orden del tensor de incremento de tensión sobre el tensor de incremento de deformación sea correcto (requisito de conjugación de trabajo).

La relación entre la tensión de Cauchy y la tensión de segundo orden de Piola se denomina transformación de Piola . Esta transformación puede escribirse en términos del retroceso de${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$o el impulso hacia adelante de${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$como $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~\phi ^{*}[{\boldsymbol {\sigma }}]~;~~{\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~\phi _{*}[{\boldsymbol {S}}]}$$

La tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy es la transformación de Piola de la derivada temporal material de la segunda tensión PK. Por lo tanto, definimos $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}=J^{-1}~\phi _{*}[{\dot {\boldsymbol {S}}}]}$$

Ampliado, esto significa que

$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\dot {\boldsymbol {S}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left(J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}~{\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\tau }}]}$$ donde el estrés de Kirchhoff${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$y la derivada de Lie de la tensión de Kirchhoff es $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$$

Esta expresión se puede simplificar a la conocida expresión para la tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy.

Se puede demostrar que la tasa de Truesdell es objetiva.

La tasa de Truesdell de la tensión de Kirchhoff se puede obtener observando que $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\phi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]~;~~{\boldsymbol {\tau }}=\phi _{*}[{\boldsymbol {S}}]}$$ y definiendo $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}=\phi _{*}[{\dot {\boldsymbol {S}}}]}$$ Ampliado, esto significa que $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\dot {\boldsymbol {S}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\tau }}]}$$ Por lo tanto, la derivada de Lie de${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$es lo mismo que la tasa de Truesdell de la tensión de Kirchhoff .

Siguiendo el mismo proceso que para la tensión de Cauchy anterior, podemos demostrar que

Esta es una forma especial de la derivada de Lie (o la tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy). Recordemos que la tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy viene dada por $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left(J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$$ Del teorema de descomposición polar tenemos $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}}$$ dónde${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$es el tensor de rotación ortogonal (${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}}$) y${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$es el estiramiento derecho simétrico, definido positivo.

Si asumimos que${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$obtenemos${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}}$Además, como no hay estiramiento${\displaystyle J=1}$y tenemos${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\sigma }}}$. Tenga en cuenta que esto no significa que no haya estiramiento en el cuerpo real; esta simplificación es solo para definir una tasa de estrés objetiva. Por lo tanto, $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}={\boldsymbol {R}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {R}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ Podemos demostrar que esta expresión se puede simplificar a la forma comúnmente utilizada de la tasa de Green-Naghdi .

La tasa de Green-Naghdi de la tensión de Kirchhoff también tiene la forma ya que no se tiene en cuenta el estiramiento, es decir, $${\displaystyle {\overset {\square }{\boldsymbol {\tau }}}={\dot {\boldsymbol {\tau }}}+{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}-{\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}}$$

La tasa de Zaremba-Jaumann de la tensión de Cauchy es una especialización adicional de la derivada de Lie (tasa de Truesdell). Esta tasa tiene la forma

La tasa de Zaremba-Jaumann se utiliza ampliamente en cálculos principalmente por dos razones.

1. Su implementación es relativamente sencilla.
2. Esto da lugar a módulos tangentes simétricos.

Recordemos que el tensor de espín${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$(la parte sesgada del gradiente de velocidad) se puede expresar como $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}+{\frac {1}{2}}~{\boldsymbol {R}}\cdot ({\dot {\boldsymbol {U}}}\cdot {\boldsymbol {U}}^{-1}-{\boldsymbol {U}}^{-1}\cdot {\dot {\boldsymbol {U}}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ Por lo tanto, para el movimiento de cuerpo rígido puro $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {\Omega }}}$$ Alternativamente, podemos considerar el caso de carga proporcional cuando las direcciones principales de deformación permanecen constantes. Un ejemplo de esta situación es la carga axial de una barra cilíndrica. En esa situación, dado que $${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\lambda _{X}\\&\lambda _{Y}\\&&\lambda _{Z}\end{bmatrix}}}$$ tenemos $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {U}}}={\begin{bmatrix}{\dot {\lambda }}_{X}\\&{\dot {\lambda }}_{Y}\\&&{\dot {\lambda }}_{Z}\end{bmatrix}}}$$ También, $${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}={\begin{bmatrix}1/\lambda _{X}\\&1/\lambda _{Y}\\&&1/\lambda _{Z}\end{bmatrix}}}$$ del estrés de Cauchy. Por lo tanto, $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {U}}}\cdot {\boldsymbol {U}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\dot {\lambda }}_{X}/\lambda _{X}\\&{\dot {\lambda }}_{Y}/\lambda _{Y}\\&&{\dot {\lambda }}_{Z}/\lambda _{Z}\end{bmatrix}}=U^{-1}{\dot {U}}}$$ Esto una vez más da $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {\Omega }}}$$ En general, si aproximamos $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\approx {\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ La tasa de Green-Naghdi se convierte en la tasa de Zaremba-Jaumann de la tensión de Cauchy. $${\displaystyle {\overset {\triangle }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$

Puede existir una variedad infinita de tasas de estrés objetivas. Una de ellas es la tasa de estrés de Oldroyd.$${\displaystyle {\overset {\triangledown }{\boldsymbol {\sigma }}}={\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\sigma }}]={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$$ En forma más simple, la tasa de Oldroyd viene dada por $${\displaystyle {\overset {\triangledown }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}-{\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

Si se asume que la configuración actual es la configuración de referencia, entonces las operaciones de retroceso y avance se pueden realizar utilizando${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}}$respectivamente. La derivada de Lie de la tensión de Cauchy se denomina entonces tasa de tensión convectiva.$${\displaystyle {\overset {\diamond }{\boldsymbol {\sigma }}}={\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}}$$ En forma más simple, la tasa de convección viene dada por $${\displaystyle {\overset {\diamond }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

Muchos materiales experimentan deformaciones inelásticas causadas por plasticidad y daños. Estos comportamientos no pueden describirse mediante un potencial. Además, a menudo no existe memoria del estado inicial, especialmente cuando se producen grandes deformaciones. En estos casos, la relación constitutiva se define generalmente de forma incremental para facilitar el cálculo de tensiones y deformaciones.

La relación tensión-deformación tangencial generalmente tiene la forma

dónde${\displaystyle C_{ijkl}^{(m)}}$son los módulos tangenciales (componentes de un tensor de cuarto orden) asociados con el tensor de deformación${\displaystyle \epsilon _{ij}^{(m)}}$Son diferentes para diferentes elecciones de${\displaystyle m}$y se relacionan de la siguiente manera:

Del hecho de que la ecuación (7) debe cumplirse para cualquier gradiente de velocidad${\displaystyle v_{k,l}}$, de ello se deduce que: ^{[ 7 ]}

dónde${\displaystyle C_{ijkl}^{(2)}}$son los módulos tangenciales asociados con la deformación Green-Lagrangiana (${\displaystyle m=2}$), tomado como referencia,${\displaystyle S_{ij}}$= tensión de Cauchy actual, y${\displaystyle \delta _{ij}}$= Delta de Kronecker (o tensor unitario).

La ecuación (8) se puede utilizar para convertir una tasa de tensión objetiva en otra. Dado que${\displaystyle S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}}$, la transformación ^{[ 7 ] [ 8 ]}

puede corregir aún más la ausencia del término${\displaystyle S_{ij}v_{k,k}}$(tenga en cuenta que el término${\displaystyle S_{ij}\delta _{km}}$No permite intercambiar subíndices.${\displaystyle ij}$con${\displaystyle kl}$, lo que significa que su ausencia rompe la simetría principal del tensor de módulos tangenciales${\displaystyle C_{ijkl}^{\mathrm {nonconj} }}$).

A menudo se desarrollan grandes deformaciones cuando el comportamiento del material se vuelve no lineal, debido a la plasticidad o al daño. Entonces, la causa principal de la dependencia de la tensión de los módulos tangenciales es el comportamiento físico del material. Lo que significa la ecuación (8) es que la dependencia no lineal de${\displaystyle C_{ijkl}}$sobre el estrés debe ser diferente para diferentes tasas de estrés objetivas. Sin embargo, ninguna de ellas es fundamentalmente preferible, excepto si existe una tasa de estrés, una${\displaystyle m}$, para los cuales los módulos pueden considerarse constantes.

• tensor de tensiones de Cauchy
• Medidas de estrés
• Principio de objetividad material
• Material hipoelástico
• Teoría de la deformación finita
• Teoría de la deformación infinitesimal

• Objetividad en la mecánica clásica
• Wikiversidad: Elementos finitos no lineales/Enfoque lagrangiano actualizado