Reflexión oblicua

En geometría euclidiana , las reflexiones oblicuas generalizan las reflexiones ordinarias al no requerir que la reflexión se realice utilizando perpendiculares . Si dos puntos son reflexiones oblicuas entre sí, seguirán siéndolo bajo transformaciones afines .

Consideremos un plano P en el espacio euclidiano tridimensional . La reflexión usual de un punto A en el espacio con respecto al plano P es otro punto B en el espacio, de tal manera que el punto medio del segmento AB se encuentra en el plano y AB es perpendicular a este. Para una reflexión oblicua , en lugar de perpendicularidad, se requiere que AB sea paralelo a una línea de referencia dada. ^{[ 1 ]}

Formalmente, consideremos un plano P en el espacio tridimensional y una recta L en el espacio no paralela a P. Para obtener la reflexión oblicua de un punto A en el espacio con respecto al plano P , se traza una recta que pasa por A y es paralela a L. La reflexión oblicua de A es el punto B situado sobre esa recta al otro lado del plano, de modo que el punto medio de AB se encuentre en P. Si la recta de referencia L es perpendicular al plano, se obtiene la reflexión usual.

Por ejemplo, consideremos el plano P como el plano xy , es decir, el plano dado por la ecuación z = 0 en coordenadas cartesianas . Sea la dirección de la línea de referencia L dada por el vector ( a , b , c ), con c ≠ 0 (es decir, L no es paralela a P ). La reflexión oblicua de un punto ( x , y , z ) será entonces

${\displaystyle \left(x-{\frac {2za}{c}},y-{\frac {2zb}{c}},-z\right).}$

El concepto de reflexión oblicua se generaliza fácilmente a la reflexión oblicua con respecto a un hiperplano afín en R ^n, utilizando nuevamente una línea como referencia, o incluso, de forma más general, a la reflexión oblicua con respecto a un subespacio afín de k dimensiones, utilizando como referencia un subespacio afín de n − k dimensiones. Volviendo a las tres dimensiones, se puede definir la reflexión oblicua con respecto a una línea, utilizando un plano como referencia.

Una reflexión oblicua es una transformación afín y es una involución , lo que significa que la reflexión de la reflexión de un punto es el punto mismo. ^{[ 2 ]}