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Octadecágono

En geometría , un octadecágono (u octakaidecágono [ 1 ] ) o 18-gono es un polígono de dieciocho lados . [ 2 ] Octadecágono regular Octadecágono con sus 135 diagonales Un octadec...

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En geometría , un octadecágono (u octakaidecágono [ 1 ] ) o 18-gono es un polígono de dieciocho lados . [ 2 ]

Octadecágono regular

Octadecágono con sus 135 diagonales

Un octadecágono regular tiene un símbolo de Schläfli {18} y puede construirse como un eneágono truncado cuasiregular , t{9}, que alterna dos tipos de aristas.

Construcción

Como 18 = 2 × 3 2 , un octadecágono regular no se puede construir usando un compás y una regla . [ 3 ] Sin embargo, es construible usando neusis , o una trisección de ángulos con un tomahawk .

Octadecágono, una construcción exacta basada en la trisección del ángulo de 120° mediante el hacha, animación 1 min 34 s.

La siguiente construcción aproximada es muy similar a la del eneágono, ya que un octadecágono puede construirse como un eneágono truncado. Además, es factible utilizando exclusivamente compás y regla.

Simetría

Simetrías de un octadecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Se han dibujado espejos azules que pasan por los vértices y espejos morados que pasan por las aristas. Los órdenes de giro se indican en el centro.

El octadecágono regular tiene simetría Dih 18 , orden 36. Hay 5 simetrías diédricas de subgrupo: Dih 9 , (Dih 6 , Dih 3 ) y (Dih 2 Dih 1 ), y 6 simetrías de grupo cíclicas : (Z 18 , Z 9 ), (Z 6 , Z 3 ) y (Z 2 , Z 1). ).

Estas 15 simetrías se pueden ver en 12 simetrías distintas en el octadecágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. [ 4 ] La simetría completa de la forma regular es r36 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedrales se dividen según si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g18 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Disección

18-gonos con 144 rombos
Una disección pentagonal equilátera , con ángulos internos secuenciales: 60°, 160°, 80°, 100° y 140°. Cada uno de los 24 pentágonos puede verse como la unión de un triángulo equilátero y un rombo de 80° . [ 5 ]

Coxeter afirma que todo zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m − 1)/2 paralelogramos. [ 6 ] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con igual número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octadecágono regular , m = 9, y puede dividirse en 36: 4 conjuntos de 9 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un 9-cubo , con 36 de 4608 caras. La lista OEIS : A006245  enumera el número de soluciones como 112018190, incluyendo hasta 18 rotaciones y formas quirales en reflexión.

Usos

Un triángulo regular, un nonágono y un octadecágono pueden rodear completamente un punto en el plano, una de las 17 combinaciones diferentes de polígonos regulares con esta propiedad. [ 7 ] Sin embargo, este patrón no se puede extender a un teselado arquimediano del plano: debido a que tanto el triángulo como el nonágono tienen un número impar de lados, ninguno de ellos puede ser rodeado completamente por un anillo que alterne los otros dos tipos de polígonos.

El octadecágono regular puede teselar el plano con huecos hexagonales cóncavos. Otro tipo de teselado combina nonágonos y huecos octogonales. El primer teselado está relacionado con un teselado hexagonal truncado , y el segundo con un teselado trihexagonal truncado .

Un octadecagrama es un polígono estrellado de 18 lados, representado por el símbolo {18/n}. Hay dos polígonos estrellados regulares : {18/5} y {18/7}, que utilizan los mismos puntos, pero conectando cada quinto o séptimo punto. También hay cinco compuestos: {18/2} se reduce a 2{9} o dos eneágonos , {18/3} se reduce a 3{6} o tres hexágonos , {18/4} y {18/8} se reducen a 2{9/2} y 2{9/4} o dos eneagramas , {18/6} se reduce a 6{3} o 6 triángulos equiláteros, y finalmente {18/9} se reduce a 9{2} como nueve digones .

Truncamientos más profundos del eneágono y los eneagramas regulares pueden producir octadecagramas intermedios isogonales ( transitivos en vértices ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. Otros truncamientos forman recubrimientos dobles: t{9/8}={18/8}=2{9/4}, t{9/4}={18/4}=2{9/2}, t{9/2}={18/2}=2{9}. [ 8 ]

Polígonos de Petrie

Un octadecágono sesgado regular es el polígono de Petrie para varios politopos de dimensiones superiores, mostrados en estas proyecciones ortogonales sesgadas de planos de Coxeter :

Referencias

  1. ↑ Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Symmetry, Shape, and Surfaces: An Introduction to Mathematics Through Geometry , Springer, p.  86, ISBN 9781930190092.
  2. ↑ Adams, Henry (1907), Manual del ingeniero de Cassell: que comprende hechos y fórmulas, principios y práctica, en todas las ramas de la ingeniería , D. McKay, pág. 528 .
  3. ↑ Conway, John B. (2010), Conexiones matemáticas: Un curso final , Sociedad Matemática Americana, pág. 31, ISBN  9780821849798.
  4. ↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278)
  5. ↑ Hirschhorn y Hunt 1985 .
  6. ↑ Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, Decimotercera edición, pág. 141
  7. ↑ Dallas, Elmslie William (1855), Los elementos de la geometría práctica plana, etc. , John W. Parker & Son, pág. 134 .
  8. ↑ El lado más divertido de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
  • Hirschhorn, MD; Hunt, DC (1985), "Pentágonos convexos equiláteros que recubren el plano" (PDF) , Journal of Combinatorial Theory, Series A , 39 (1): 1–18 , doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 , ISSN 1096-0899 , MR 0787713 , consultado el 30 de octubre de 2020.  
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