Octágono

Un octágono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho líneas de simetría reflectiva y simetría rotacional de orden 8. Un octágono regular se representa mediante el símbolo de Schläfli {8}. El ángulo interno en cada vértice de un octágono regular es de 135 ° .${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$radianes ). El ángulo central es de 45° (${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$radianes).

El área de un octágono regular de longitud de lado a viene dada por

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

En términos del radio circunscrito R , el área es

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

En términos de la apotema r (véase también la figura inscrita ), el área es

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

Estos dos últimos coeficientes delimitan el valor de pi , el área del círculo unitario .

El área también puede expresarse como

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

donde S es la longitud del octágono, o la segunda diagonal más corta; y a es la longitud de uno de los lados, o bases. Esto se demuestra fácilmente si se toma un octágono, se dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego se toman los triángulos de las esquinas (estos son triángulos 45-45-90 ) y se colocan con ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los lados de este cuadrado tienen cada uno la longitud de la base.

Dada la longitud de un lado a , el tramo S es

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

La envergadura, entonces, es igual a la proporción áurea multiplicada por el lado, a.

La zona queda entonces como se indica arriba:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

Expresado en términos del tramo, el área es

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

Otra fórmula sencilla para el área es

${\displaystyle \ A=2aS.}$

Con mayor frecuencia se conoce la longitud S , y se debe determinar la longitud de los lados, a , como cuando se corta una pieza cuadrada de material en un octágono regular. De lo anterior,

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

Las dos longitudes de los extremos e en cada lado (las longitudes de los catetos de los triángulos (verdes en la imagen) truncados del cuadrado), además de ser${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$puede calcularse como

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

El radio de la circunferencia circunscrita del octágono regular en función de la longitud del lado a es ^{[ 3 ].}

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

y el radio interno es

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

(es decir, la mitad de la proporción de plata multiplicada por el lado, a , o la mitad de la envergadura, S )

El radio inscrito se puede calcular a partir del radio circunscrito como

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

El octágono regular, en términos de la longitud de su lado a , tiene tres tipos diferentes de diagonales :

• Diagonal corta;
• Diagonal media (también llamada envergadura o altura), que es el doble de la longitud del radio interior;
• Diagonal larga, que es el doble de la longitud del radio circunscrito.

La fórmula para cada una de ellas se deriva de los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su longitud: ^{[ 4 ]}

• Diagonal corta:${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ;
• Diagonal media:${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$ ; ( proporción de plata multiplicada por a)
• Diagonal larga:${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$.

Un octágono regular en una circunferencia circunscrita dada se puede construir de la siguiente manera:

1. Dibuja un círculo y un diámetro AOE, donde O es el centro y A y E son puntos de la circunferencia circunscrita.
2. Dibuja otro diámetro GOC, perpendicular al AOE.
3. (Cabe señalar que A, C, E y G son vértices de un cuadrado).
4. Dibuja las bisectrices de los ángulos rectos GOA y EOG, y traza dos diámetros más, HOD y FOB.
5. A, B, C, D, E, F, G, H son los vértices del octágono.

Octágono en un círculo circunscrito dado

Octágono con una longitud de lado determinada, animación (La construcción es muy similar a la de un hexadecágono con una longitud de lado determinada ).

Se puede construir un octágono regular usando una regla y un compás , ya que 8 = 2³ ^, una potencia de dos :

El octágono regular se puede construir con barras de Meccano . Se necesitan doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.

Cada lado de un octágono regular subtiende medio ángulo recto en el centro del círculo que conecta sus vértices. Por lo tanto, su área se puede calcular como la suma de ocho triángulos isósceles, lo que lleva al resultado:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

para un octágono de lado a .

Las coordenadas de los vértices de un octágono regular centrado en el origen y con lado de longitud 2 son:

• (±1, ±(1+ √ 2 ))
• (±(1+ √ 2 ), ±1).

Coxeter afirma que todo zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^{[ 5 ]} En particular, esto es cierto para polígonos regulares con igual número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octágono regular , m =4, y puede dividirse en 6 rombos, con un ejemplo mostrado a continuación. Esta descomposición puede verse como 6 de 24 caras en un plano de proyección de polígono de Petrie del teseracto . La lista (secuencia A006245 en la OEIS ) define el número de soluciones como ocho, por las ocho orientaciones de esta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los teselados de Ammann-Beenker .

El octágono sesgado regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores , mostrados en estas proyecciones ortogonales sesgadas en los planos de Coxeter A ₇ , B ₄ y D ₅ .

El octágono , como cuadrado truncado , es el primero en una secuencia de hipercubos truncados :

Como cuadrado expandido , también es el primero en una secuencia de hipercubos expandidos: