Reciprocidad óctica

En teoría de números , la reciprocidad óctica es una ley de reciprocidad que relaciona los residuos de potencias octavas módulo números primos , análoga a la ley de reciprocidad cuadrática , reciprocidad cúbica y reciprocidad cuártica .

Existe una ley de reciprocidad racional para las octavas potencias, debida a Williams. Defina el símbolo.${\displaystyle \left({\frac {x}{p}}\right)_{k}}$ser +1 si x es una potencia k -ésima módulo el primo p y -1 en caso contrario. Sean p y q primos distintos congruentes con 1 módulo 8, tales que${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)_{4}=\left({\frac {q}{p}}\right)_{4}=+1.}$ Sea p = a² ⁺ b² = c² + 2d² y q = A² + B² = C² ^{+ 2D²} , con aA impar ^. Entonces​^​​​​

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)_{8}\left({\frac {q}{p}}\right)_{8}=\left({\frac {aB-bA}{q}}\right)_{4}\left({\frac {cD-dC}{q}}\right)_{2}\ .}$

• Reciprocidad de Artin
• Reciprocidad de Eisenstein

• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad. De Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlín, págs. 289-316 , ISBN  3-540-66957-4, MR 1761696 , Zbl 0949.11002  
• Williams, Kenneth S. (1976), "Una ley de reciprocidad óctica racional" , Pacific Journal of Mathematics , 63 (2): 563– 570, doi : 10.2140/pjm.1976.63.563 , ISSN 0030-8730 , MR 0414467 , Zbl 0311.10004