Filtración descentrada

La filtración de desplazamiento (también llamada filtración de "unión de bolas" ^{[ 1 ]} o "unión de discos" ^{[ 2 ]} ) es una secuencia creciente de bolas métricas que se utiliza para detectar el tamaño y la escala de las características topológicas de un conjunto de datos. La filtración de desplazamiento surge comúnmente en la homología persistente y en el campo del análisis de datos topológicos . La utilización de una unión de bolas para aproximar la forma de objetos geométricos fue sugerida por primera vez por Frosini en 1992 en el contexto de subvariedades del espacio euclidiano . ^{[ 3 ]} La construcción fue explorada independientemente por Robins en 1998, y se amplió para considerar la colección de desplazamientos indexados sobre una serie de parámetros de escala crecientes (es decir, una secuencia creciente de bolas), con el fin de observar la estabilidad de las características topológicas con respecto a los atractores . ^{[ 4 ]} La persistencia homológica, tal como fue introducida en estos artículos por Frosini y Robins, fue formalizada posteriormente por Edelsbrunner et al. en su artículo fundamental de 2002, Persistencia y simplificación topológica. ^{[ 5 ]} Desde entonces, el filtrado de desplazamiento se ha convertido en un ejemplo principal en el estudio de la topología computacional y el análisis de datos.

Dejar${\displaystyle X}$ser un conjunto finito en un espacio métrico${\displaystyle (M,d)}$y para cualquier${\displaystyle x\in X}$dejar${\displaystyle B(x,\varepsilon )=\{y\in X\mid d(x,y)\leq \varepsilon \}}$sea ​​la bola cerrada de radio${\displaystyle \varepsilon }$centrado en${\displaystyle x}$. Entonces la unión${\textstyle X^{(\varepsilon )}:=\bigcup _{x\in X}B(x,\varepsilon )}$se conoce como el desplazamiento de${\displaystyle X}$con respecto al parámetro${\displaystyle \varepsilon }$(o simplemente el${\displaystyle \varepsilon }$-desplazamiento de${\displaystyle X}$).

Al considerar la colección de compensaciones en todo${\displaystyle \varepsilon \en [0,\infty )}$obtenemos una familia de espacios${\displaystyle {\mathcal {O}}(X):=\{X^{(\varepsilon )}\mid \varepsilon \in [0,\infty )\}}$dónde${\displaystyle X^{(\varepsilon )}\subseteq X^{(\varepsilon ^{\prime })}}$cuando sea${\displaystyle \varepsilon \leq \varepsilon ^{\prime }}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$es una familia de espacios topológicos anidados indexados sobre${\displaystyle \varepsilon }$, que define una filtración conocida como la filtración de desplazamiento en${\displaystyle X}$. ^{[ 6 ]}

Nótese que también es posible ver la filtración de desplazamiento como un functor.${\displaystyle {\mathcal {O}}(X):[0,\infty )\to \mathbf {Top} }$de la categoría de conjuntos parcialmente ordenados de números reales no negativos a la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Hay algunas ventajas en el punto de vista categórico, como exploraron Bubenik y otros. ^{[ 9 ]}

Una aplicación estándar del teorema del nervio muestra que la unión de bolas tiene el mismo tipo de homotopía que su nervio, ya que las bolas cerradas son convexas y la intersección de conjuntos convexos es convexa. ^{[ 10 ]} El nervio de la unión de bolas también se conoce como el complejo de Čech , ^{[ 11 ]} que es un subcomplejo del complejo de Vietoris-Rips. ^{[ 12 ]} Por lo tanto, la filtración de desplazamiento es débilmente equivalente a la filtración de Čech (definida como el nervio de cada desplazamiento en todos los parámetros de escala), por lo que sus grupos de homología son isomorfos . ^{[ 13 ]}

Aunque la filtración de Vietoris-Rips no es idéntica a la filtración de Čech en general, es una aproximación en cierto sentido. En particular, para un conjunto${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{d}}$tenemos una cadena de inclusiones${\displaystyle \operatorname {Rips} _{\varepsilon }(X)\subset \operatorname {Cech} _{\varepsilon ^{\prime }}(X)\subset \operatorname {Rips} _{\varepsilon ^{\prime }}(X)}$entre los complejos Rips y Čech en${\displaystyle X}$cuando sea${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }/\varepsilon \geq {\sqrt {2d/d+1}}}$. ^{[ 14 ]} En espacios métricos generales, tenemos que${\displaystyle \operatorname {Cech} _{\varepsilon }(X)\subset \operatorname {Rips} _{2\varepsilon }(X)\subset \operatorname {Cech} _{2\varepsilon }(X)}$a pesar de${\displaystyle \varepsilon >0}$, lo que implica que las filtraciones de Rips y Čech están 2-entrelazadas con respecto a la distancia de entrelazado introducida por Chazal et al. en 2009. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Es un resultado bien conocido de Niyogi, Smale y Weinberger que, dada una muestra suficientemente densa de nubes de puntos aleatorias de una subvariedad suave en el espacio euclidiano, la unión de bolas de cierto radio recupera la homología del objeto mediante una retracción por deformación del complejo de Čech. ^{[ 17 ]}

También se sabe que el filtrado de desplazamiento es estable con respecto a las perturbaciones del conjunto de datos subyacente. Esto se debe a que el filtrado de desplazamiento puede considerarse como un filtrado de subconjunto de nivel con respecto a la función de distancia del espacio métrico. La estabilidad de los filtrados de subconjunto de nivel se puede enunciar de la siguiente manera: Dados dos funciones de valor real cualesquiera${\displaystyle \gamma ,\kappa }$en un espacio topológico${\displaystyle T}$de tal manera que para todos${\displaystyle i\geq 0}$, el${\displaystyle i{\text{th}}}$Módulos de homología de dimensión - en las filtraciones de subniveles con respecto a${\displaystyle \gamma ,\kappa }$son de dimensión finita puntual, tenemos${\displaystyle d_{B}({\mathcal {B}}_{i}(\gamma ),{\mathcal {B}}_{i}(\kappa ))\leq d_{\infty }(\gamma ,\kappa )}$dónde${\displaystyle d_{B}(-)}$y${\displaystyle d_{\infty }(-)}$denotan las distancias de cuello de botella y norma suprema, respectivamente, y${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}(-)}$denota el${\displaystyle i{\text{th}}}$Código de barras de homología persistente de dimensión . ^{[ 18 ]} Si bien se enunció por primera vez en 2005, este resultado de estabilidad de subnivel también se deriva directamente de una propiedad de estabilidad algebraica a veces conocida como el "Teorema de isometría", ^{[ 9 ]} que se demostró en una dirección en 2009, ^{[ 16 ]} y en la otra dirección en 2011. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

Una extensión multiparamétrica de la filtración de desplazamiento definida al considerar puntos cubiertos por múltiples bolas viene dada por la bifiltración de cobertura múltiple , y también ha sido objeto de interés en homología persistente y geometría computacional . ^{[ 21 ] [ 22 ]}