Álgebra de Okubo

Si K tiene una característica distinta de 2, entonces una forma bilineal ( a , b ) = ⁠ 1 / 2 ⁠ [ N ( a + b ) − N ( a ) − N ( b )] está asociada con la forma cuadrática N .

Suponiendo que A tiene una unidad multiplicativa, defina los operadores de involución y multiplicación derecha e izquierda mediante:

a = − a + 2( a ,1)1, L ( a ) b = ab , R ( a ) b = ba

Evidentemente,  se trata de una involución que conserva la forma cuadrática. La notación en la línea superior enfatiza que la conjugación de complejos y cuaterniones son casos parciales de la misma. Estos operadores poseen las siguientes propiedades:

• La involución es un antiautomorfismo, es decir, ab = b a
• a a = N ( a ) 1 = a a
• L ( a ) = L ( a )* , R ( a ) = R ( a )* , donde * denota el operador adjunto con respecto a la forma ( , )
• Re( a b ) = Re( b a ) donde Re x = ( x + x )/2 = ( x , 1)
• Re(( a b ) c ) = Re( a ( b c ))
• L ( a ² ) = L ( a ) ² , R ( a ² ) = R ( a ) ² , de modo que A es un álgebra alternativa

Estas propiedades se demuestran partiendo de la versión polarizada de la identidad ( a b , a b ) = ( a , a )( b , b ) :

2( a , b )( c , d ) = ( ac , bd ) + ( ad , bc ) .

• Si se establece b = 1 o d = 1, se obtiene L ( a ) = L ( a )* y R ( c ) = R ( c )* .
• Por lo tanto, Re( a b ) = ( a b , 1) = ( a , b ) = ( b a , 1) = Re( b a ) .
• De manera similar ( a b , c ) = ( a b , c ) = ( b , a c ) = (1, b ( a c )) = (1, ( b a ) c ) = ( b a , c ) .
• Por lo tanto, Re( a b ) c = (( a b ) c , 1) = ( a b , c ) = ( a , c b ) = ( a ( b c ), 1) = Re( a ( b c )) .
• Por la identidad polarizada N ( a ) ( c , d ) = ( ac , ad ) = ( a a c , d ) entonces L ( a ) L ( a ) = N ( a ) .
• Aplicado a 1, esto da como resultado a = N ( a ) .
• Reemplazar a por a le da a la otra identidad.
• Sustituyendo la fórmula de a en L ( a ) L ( a ) = L ( a a ) se obtiene L ( a ) ² = L ( a ² ) .

Otra operación ∗ puede definirse en un álgebra de Hurwitz como

x ∗ y = x y

El álgebra ( A , ∗) es un álgebra de composición generalmente no unitaria, conocida como álgebra para-Hurwitz . ^{[ 2 ] : 484} En dimensiones 4 y 8, estas son álgebras para-cuaterniones ^{[ 4 ]} y para-octoniones . ^{[ 3 ] : 40, 41}

Un álgebra para-Hurwitz satisface ^{[ 3 ] : 48}

( x * y ) * x = x * ( y * x ) = ⟨ x | x ⟩ y .

Por el contrario, un álgebra con una forma bilineal simétrica no degenerada que satisface esta ecuación es un álgebra para-Hurwitz o un álgebra pseudo-octonión de ocho dimensiones . ^{[ 3 ] : 49} De manera similar, un álgebra flexible que satisface

⟨ xy | xy ⟩ = ⟨ x | x ⟩ ⟨ y | y ⟩

es un álgebra de Hurwitz, un álgebra para-Hurwitz o un álgebra pseudo-octonión de ocho dimensiones. ^{[ 3 ]}