Constante de Davenport

En matemáticas , la constante de Davenport${\displaystyle D(G)}$es un invariante de un grupo estudiado en combinatoria aditiva , que cuantifica el tamaño de las factorizaciones no únicas. Dado un grupo abeliano finito${\displaystyle G}$,${\displaystyle D(G)}$se define como el número más pequeño tal que toda secuencia de elementos de esa longitud contiene una subsecuencia no vacía cuya suma es 0. En símbolos, esto es ^{[ 1 ].}

${\displaystyle D(G)=\min \left\{N:\forall \left(\{g_{n}\}_{n=1}^{N}\in G^{N}\right)\left(\exists \{n_{k}\}_{k=1}^{K}:\sum _{k=1}^{K}{g_{n_{k}}}=0\right)\right\}.}$

• La constante de Davenport para el grupo cíclico${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$es${\displaystyle n}$Para ver esto, observe que la secuencia de un generador fijo , repetido${\displaystyle n-1}$veces, no contiene ninguna subsecuencia con suma 0. Por lo tanto${\displaystyle D(G)\geq n}$. Por otro lado, si${\displaystyle \{g_{k}\}_{k=1}^{n}}$es una secuencia arbitraria, entonces dos de las sumas en la secuencia${\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{K}{g_{k}}\right\}_{K=0}^{n}}$son iguales. La diferencia de estas dos sumas también da una subsecuencia con suma 0. ^{[ 2 ]}

• Consideremos un grupo abeliano finito.${\displaystyle G=\oplus _{i}C_{d_{i}}}$, donde el${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\dots |d_{r}}$son factores invariantes . Entonces$${\displaystyle D(G)\geq M(G)=1-r+\sum _{i}{d_{i}}.}$$La cota inferior se demuestra observando que la secuencia que consta de${\displaystyle d_{1}}$copias de${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$,${\displaystyle d_{2}}$copias de${\displaystyle (0,1,\dots ,0)}$, etc., no contiene ninguna subsecuencia con suma 0. ^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle D=M}$para grupos p o cuando${\displaystyle r}$es 1 o 2.
• ${\displaystyle D=M}$para ciertos grupos, incluidos todos los grupos de la forma${\displaystyle C_{2}\oplus C_{2n}\oplus C_{2nm}}$y${\displaystyle C_{3}\oplus C_{3n}\oplus C_{3nm}}$.
• Hay infinitos ejemplos con${\displaystyle r}$al menos 4 donde${\displaystyle D}$no es igual${\displaystyle M}$; no se sabe si hay alguno con${\displaystyle r=3}$. ^{[ 3 ]}
• Dejar${\displaystyle \exp(G)}$sea ​​el exponente de${\displaystyle G}$. Entonces ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {D(G)}{\exp(G)}}\leq 1+\log \left({\frac {|G|}{\exp(G)}}\right).}$$

La motivación original para estudiar la constante de Davenport fue el problema de la factorización no única en cuerpos numéricos . Sea${\displaystyle {\mathcal {O}}}$sea ​​el anillo de enteros en un campo numérico,${\displaystyle G}$su grupo de clases . Entonces cada elemento${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}}$, lo cual influye en al menos${\displaystyle D(G)}$ideales no triviales , es propiamente divisible por un elemento de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Esta observación implica que la constante de Davenport determina en qué medida las longitudes de diferentes factorizaciones de algún elemento en${\displaystyle {\mathcal {O}}}$pueden diferir. ^{[ 5 ]}

El límite superior mencionado anteriormente juega un papel importante en la demostración de Ahlford, Granville y Pomerance de la existencia de infinitos números de Carmichael . ^{[ 4 ]}

La constante de Olson${\displaystyle O(G)}$utiliza la misma definición, pero requiere los elementos de${\displaystyle \{g_{n}\}_{n=1}^{N}}$ser distinto. ^{[ 6 ]}

• Balandraud demostró que${\displaystyle O(C_{p})}$es igual al más pequeño${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}\geq p}$.
• Para${\displaystyle p>6000}$tenemos$${\displaystyle O(C_{p}\oplus C_{p})=p-1+O(C_{p}).}$$Por otro lado, si${\displaystyle G=C_{p}^{r}}$con${\displaystyle r\geq p}$, entonces la constante de Olson es igual a la constante de Davenport. ^{[ 7 ]}

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría aditiva de números: problemas inversos y geometría de conjuntos suma . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  165. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94655-9. Zbl 0859.11003 . 

• "Constante de Davenport" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Hutzler, Nick. "Constante de Davenport" . MathWorld .