Grupo con operadores

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un grupo con operadores o grupo Ω es una estructura algebraica que puede verse como un grupo junto con un conjunto Ω que opera sobre los elementos del grupo de una manera especial.

Los grupos con operadores fueron estudiados exhaustivamente por Emmy Noether y su escuela en la década de 1920. Ella empleó el concepto en su formulación original de los tres teoremas de isomorfismo de Noether .

Un grupo con operadores${\displaystyle (G,\Omega )}$puede definirse ^{[ 1 ]} como un grupo${\displaystyle G=(G,\cdot )}$junto con una acción de un conjunto${\displaystyle \Omega }$en${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

que es distributiva en relación con la ley de grupo:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

Para cada${\displaystyle \omega \in \Omega }$, el mapa${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$es entonces un endomorfismo de G. De esto se deduce que un Ω-grupo también puede verse como un grupo G con una familia indexada .${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$de endomorfismos de G .

${\displaystyle \Omega }$se denomina dominio de operadores . Los endomorfismos asociados ^{[ 2 ]} se denominan homotecias de G.

Dados dos grupos G y H con el mismo dominio de operadores.${\displaystyle \Omega }$, un homomorfismo de grupos con operadores de${\displaystyle (G,\Omega )}$a${\displaystyle (H,\Omega )}$es un homomorfismo de grupo${\displaystyle \phi :G\to H}$satisfactorio

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$a pesar de${\displaystyle \omega \in \Omega }$y${\displaystyle g\in G.}$

Un subgrupo S de G se denomina subgrupo estable ,${\displaystyle \Omega }$-subgrupo o${\displaystyle \Omega }$-subgrupo invariante si respeta las homotecias, es decir

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$a pesar de${\displaystyle s\in S}$y${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

En teoría de categorías , un grupo con operadores puede definirse ^{[ 3 ]} como un objeto de una categoría de funtores Grp ^M, donde M es un monoide (es decir, una categoría con un objeto) y Grp denota la categoría de grupos . Esta definición es equivalente a la anterior, siempre que${\displaystyle \Omega }$es un monoide (si no lo es, podemos ampliarlo para incluir la identidad y todas las composiciones ).

Un morfismo en esta categoría es una transformación natural entre dos functores (es decir, dos grupos con operadores que comparten el mismo dominio de operadores M ). Nuevamente recuperamos la definición anterior de un homomorfismo de grupos con operadores (donde f es la componente de la transformación natural).

Un grupo con operadores también es un mapeo

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

dónde${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$es el conjunto de endomorfismos de grupo de G.

• Dado cualquier grupo G , ( G , ∅) es trivialmente un grupo con operadores
• Dado un módulo M sobre un anillo R , R actúa mediante multiplicación escalar sobre el grupo abeliano subyacente de M , por lo que ( M , R ) es un grupo con operadores.
• Como caso especial de lo anterior, todo espacio vectorial sobre un cuerpo K es un grupo con operadores ( V , K ).

El teorema de Jordan-Hölder también se cumple en el contexto de grupos con operadores. El requisito de que un grupo tenga una serie de composición es análogo al de compacidad en topología y, a veces, puede resultar demasiado estricto. Es natural hablar de "compacidad relativa a un conjunto", es decir, hablar de series de composición donde cada subgrupo ( normal ) es un subgrupo de operadores relativo al conjunto de operadores X del grupo en cuestión.

• Acción de grupo

• Bourbaki, Nicolas (1974). Elementos de matemáticas  : Álgebra I, capítulos 1-3 . Hermann. ISBN 2-7056-5675-8.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de matemáticas  : Álgebra I, capítulos 1-3 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático profesional . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.