Esquema de renormalización en la capa de masas

En la teoría cuántica de campos , y especialmente en la electrodinámica cuántica , la teoría de interacción genera cantidades infinitas que deben ser absorbidas mediante un procedimiento de renormalización para poder predecir cantidades medibles. El esquema de renormalización puede depender del tipo de partículas que se estén considerando. Para partículas que pueden recorrer distancias asintóticamente grandes, o para procesos de baja energía, el esquema en la capa de masas , también conocido como esquema físico, es el apropiado. Si estas condiciones no se cumplen, se puede recurrir a otros esquemas, como el esquema de sustracción mínima (esquema MS).

Conocer los diferentes propagadores es la base para poder calcular los diagramas de Feynman, que son herramientas útiles para predecir, por ejemplo, el resultado de experimentos de dispersión. En una teoría donde el único campo es el campo de Dirac , el propagador de Feynman se lee:

$${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}}$$

dónde${\displaystyle T}$es el operador de ordenación temporal ,${\displaystyle |0\rangle }$el vacío en la teoría de no interacción,${\displaystyle \psi (x)}$y${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$el campo de Dirac y su adjunto de Dirac , y donde el lado izquierdo de la ecuación es la función de correlación de dos puntos del campo de Dirac.

En una nueva teoría, el campo de Dirac puede interactuar con otro campo, por ejemplo con el campo electromagnético en la electrodinámica cuántica, y la fuerza de la interacción se mide mediante un parámetro, en el caso de la QED es la carga del electrón desnudo,${\displaystyle e}$. La forma general del propagador debe permanecer sin cambios, lo que significa que si${\displaystyle |\Omega \rangle }$Ahora representa el vacío en la teoría de interacción, la función de correlación de dos puntos ahora se leería

$${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$$

Se han introducido dos nuevas magnitudes. En primer lugar, la masa renormalizada.${\displaystyle m_{r}}$se ha definido como el polo en la transformada de Fourier del propagador de Feynman. Esta es la prescripción principal del esquema de renormalización en la capa de masas (por lo tanto, no es necesario introducir otras escalas de masa como en el esquema de sustracción mínima). La cantidad${\displaystyle Z_{2}}$representa la nueva fuerza del campo de Dirac. A medida que la interacción se reduce a cero al dejar${\displaystyle e\rightarrow 0}$, estos nuevos parámetros deberían tender a un valor tal que se recupere el propagador del fermión libre, a saber:${\displaystyle m_{r}\rightarrow m}$y${\displaystyle Z_{2}\rightarrow 1}$.

Esto significa que${\displaystyle m_{r}}$y${\displaystyle Z_{2}}$puede definirse como una serie en${\displaystyle e}$si este parámetro es suficientemente pequeño (en el sistema de unidades donde${\displaystyle \hbar =c=1}$,${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3}$, dónde${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina ). Por lo tanto, estos parámetros pueden expresarse como

$${\ Displaystyle Z_ {2} = 1 + \ delta _ {2}}$$$${\displaystyle m_{r}=m+\delta m}$$

Por otro lado, la modificación del propagador se puede calcular hasta un cierto orden en${\displaystyle e}$utilizando diagramas de Feynman. Estas modificaciones se resumen en la autoenergía del fermión.${\displaystyle \Sigma (p)}$

$${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$$

Estas correcciones suelen ser divergentes porque contienen bucles . Al identificar las dos expresiones de la función de correlación hasta un cierto orden en${\displaystyle e}$, se pueden definir los contra-términos, y van a absorber las contribuciones divergentes de las correcciones al propagador fermiónico. Por lo tanto, las cantidades renormalizadas, como${\displaystyle m_{r}}$seguirán siendo finitas y serán las cantidades medidas en los experimentos.

Al igual que se ha hecho con el propagador de fermiones, la forma del propagador de fotones inspirada en el campo de fotones libres se comparará con el propagador de fotones calculado hasta un cierto orden en${\displaystyle e}$en la teoría de interacción. Se observa la autoenergía del fotón.${\displaystyle \Pi (q^{2})}$y el tensor métrico${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$(aquí se adopta la convención +---)

$${\displaystyle \langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}}$$

El comportamiento del contra-término${\displaystyle \delta _{3}=Z_{3}-1}$es independiente del momento del fotón incidente${\displaystyle q}$. Para solucionarlo, el comportamiento de la QED a grandes distancias (lo que debería ayudar a recuperar la electrodinámica clásica ), es decir, cuando${\displaystyle q^{2}\rightarrow 0}$, se utiliza  :

$${\displaystyle {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$$

Por lo tanto, el término contrario${\displaystyle \delta _{3}}$está fijado con el valor de${\displaystyle \Pi (0)}$.

Un razonamiento similar, utilizando la función de vértice, conduce a la renormalización de la carga eléctrica.${\displaystyle e_{r}}$Esta renormalización, y la fijación de los términos de renormalización, se realiza utilizando lo que se conoce de la electrodinámica clásica a grandes escalas espaciales. Esto conduce al valor del contra-término.${\displaystyle \delta _{1}}$, que de hecho es igual a${\displaystyle \delta _{2}}$debido a la identidad de Ward-Takahashi . Es este cálculo el que explica el momento dipolar magnético anómalo de los fermiones.

Hemos considerado algunos factores de proporcionalidad (como el${\displaystyle Z_{i}}$) que se han definido a partir de la forma del propagador. Sin embargo, también se pueden definir a partir del lagrangiano de QED, lo cual se hará en esta sección, y estas definiciones son equivalentes. El lagrangiano que describe la física de la electrodinámica cuántica es

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$$

dónde${\displaystyle F_{\mu \nu }}$es el tensor de intensidad de campo ,${\displaystyle \psi }$es el espinor de Dirac (el equivalente relativista de la función de onda ), y${\displaystyle A}$el cuadripotencial electromagnético . Los parámetros de la teoría son${\displaystyle \psi }$,${\displaystyle A}$,${\displaystyle m}$y${\displaystyle e}$Estas cantidades resultan ser infinitas debido a correcciones de bucle (véase más abajo). Se pueden definir las cantidades renormalizadas (que serán finitas y observables):

$${\displaystyle \psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$$

El${\displaystyle \delta _{i}}$Se denominan contra-términos (aunque son posibles otras definiciones). Se supone que deben ser pequeños en el parámetro.${\displaystyle e}$El lagrangiano ahora se lee en términos de cantidades renormalizadas (hasta el primer orden en los contra-términos):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}}$$

Una prescripción de renormalización es un conjunto de reglas que describe qué parte de las divergencias deben estar en las cantidades renormalizadas y qué partes deben estar en los contra-términos. La prescripción a menudo se basa en la teoría de campos libres, es decir, en el comportamiento de${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle A}$cuando no interactúan (lo que corresponde a eliminar el término${\displaystyle e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$en el lagrangiano).

• M. Peskin; D. Schroeder (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Reading: Addison-Weasley.