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Cubos diádicos

En matemáticas , los cubos diádicos son una colección de cubos en R n de diferentes tamaños o escalas, de modo que el conjunto de cubos de cada escala particiona R n y cada cubo...

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En matemáticas , los cubos diádicos son una colección de cubos en R n de diferentes tamaños o escalas, de modo que el conjunto de cubos de cada escala particiona R n y cada cubo de una escala puede escribirse como una unión de cubos de una escala menor. Estos se utilizan frecuentemente en matemáticas (en particular en el análisis armónico ) como una forma de discretizar objetos para facilitar los cálculos o el análisis. Por ejemplo, para estudiar un subconjunto arbitrario de A del espacio euclidiano , se puede reemplazar por una unión de cubos diádicos de un tamaño particular que cubren el conjunto. Este conjunto puede considerarse como una versión pixelada del conjunto original, y a medida que se utilizan cubos más pequeños se obtiene una imagen más clara del conjunto A. Entre las aplicaciones más notables de los cubos diádicos se encuentran el teorema de extensión de Whitney y el lema de Calderón-Zygmund .

Cubos diádicos en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano, los cubos diádicos se pueden construir de la siguiente manera: para cada entero k , sea Δ k el conjunto de cubos en R n de longitud de lado 2 − k y vértices en el conjunto

2−kZnorte={2−k(v1,…,vnorte):vj∈Z}{\displaystyle 2^{-k}\mathbf {Z} ^{n}=\left\{2^{-k}(v_{1},\dots,v_{n}):v_{j}\in \mathbf {Z} \right\}}

y sea Δ la unión de todos los Δ k .

Las características más importantes de estos cubos son las siguientes:

  1. Para cada entero k , Δ k particiones R n .
  2. Todos los cubos en Δ k tienen la misma longitud de lado, es decir, 2 − k .
  3. Si los interiores de dos cubos Q y R en Δ tienen una intersección no vacía, entonces o Q está contenido en R o R está contenido en Q.
  4. Cada Q en Δ k puede escribirse como una unión de 2 n cubos en Δ k +1 con interiores disjuntos.

Usamos el término "partición" de forma algo imprecisa: aunque su unión abarca todo R n , los cubos en Δ k pueden superponerse en sus límites. Sin embargo, estas superposiciones tienen medida de Lebesgue cero , por lo que en la mayoría de las aplicaciones esta forma de partición ligeramente más débil no supone ningún impedimento.

También puede parecer extraño que un valor mayor de k corresponda a cubos más pequeños. Se puede pensar en k como el grado de magnificación. Sin embargo, en la práctica, considerar Δk como el conjunto de cubos de lado 2k o 2 − k es una cuestión de preferencia o conveniencia.

El truco de un tercio

Una desventaja de los cubos diádicos en el espacio euclidiano es que dependen demasiado de la posición específica de los cubos. Por ejemplo, para los cubos diádicos Δ descritos anteriormente, no es posible contener una bola arbitraria dentro de algún Q en Δ (consideremos, por ejemplo, la bola unitaria centrada en cero). Alternativamente, puede existir un cubo que contenga la bola, pero los tamaños de la bola y del cubo son muy diferentes. Debido a esta limitación, a veces resulta útil trabajar con dos o más conjuntos de cubos diádicos simultáneamente.

Definición

Lo siguiente se conoce como el truco de un tercio : [ 1 ]

Sea Δ k el conjunto de cubos diádicos de escala k como se indicó anteriormente. Defina

Δkα={Q+α:Q∈Δk}.{\displaystyle \Delta _{k}^{\alpha }=\{Q+\alpha :Q\in \Delta _{k}\}.}

Este es el conjunto de cubos diádicos en Δ k trasladados por el vector α. Para cada α de este tipo, sea Δ α la unión de los Δ k α sobre k .

  • Existe una constante universal C  >  0 tal que para cualquier bola B con radio r  <  1/3, existe α en {0,1/3} n y un cubo Q en Δ α que contiene a B cuyo diámetro no es mayor que Cr .
  • De manera más general, si B es una bola con cualquier radio r  >  0, hay α en {0,  1/3,  4/3,  4 2 /3,  ...} n y un cubo Q en Δ α que contiene a B cuyo diámetro no es mayor que Cr .

Un ejemplo de aplicación

El atractivo del truco del tercio reside en que primero se pueden demostrar versiones diádicas de un teorema y luego deducir teoremas "no diádicos" a partir de ellas. Por ejemplo, recordemos la función maximal de Hardy-Littlewood.

METROF(incógnita)=sorberr>01|B(incógnita,r)|∫B(incógnita,r)|F(y)|dy{\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dy}

donde f es una función localmente integrable y | B ( x , r )| denota la medida de la bola B ( x , r ). La desigualdad maximal de Hardy-Littlewood establece que para una función integrable f ,  

|{incógnita∈Rnorte:METROF(incógnita)>λ}|≤donorteλ‖F‖1{\displaystyle \left|\{x\in \mathbf {R} ^{n}:Mf(x)>\lambda \}\right|\leq {\frac {C_{n}}{\lambda }}\|f\|_{1}}

para λ > 0 donde C n es una constante que depende únicamente de la dimensión.

Este teorema se suele demostrar utilizando el lema de recubrimiento de Vitali . Sin embargo, se puede evitar el uso de este lema demostrando primero la desigualdad anterior para las funciones maximales diádicas.

METROΔαF(incógnita)=sorberincógnita∈Q∈Δα1|Q|∫Q|F(incógnita)|dincógnita.{\displaystyle M_{\Delta ^{\alpha }}f(x)=\sup _{x\in Q\in \Delta ^{\alpha }}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)|dx.}

La demostración es similar a la del teorema original; sin embargo, las propiedades de los cubos diádicos eliminan la necesidad de utilizar el lema de recubrimiento de Vitali. Podemos entonces deducir la desigualdad original mediante el método de un tercio.

Cubos diádicos en espacios métricos

Se pueden construir análogos de cubos diádicos en algunos espacios métricos . [ 2 ] En particular, sea X un espacio métrico con métrica d que admite una medida de duplicación μ, es decir, una medida tal que para x ∈ X y r  >  0, se tiene:

μ(B(incógnita,2r))≤doμ(B(incógnita,r)){\displaystyle \mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))}

donde C > 0 es una constante universal independiente de la elección de x y r .

Si X admite tal medida, entonces existen colecciones de conjuntos Δ k tales que ellos (y su unión Δ) satisfacen lo siguiente:

  • Para cada entero k , Δ k particiones X , en el sentido de que
μ(incógnita∖⋃Q∈ΔkQ)=0.{\displaystyle \mu \left(X\backslash \bigcup \nolimits _{Q\in \Delta _{k}}Q\right)=0.}
  • Todos los conjuntos Q en Δ k tienen aproximadamente el mismo tamaño. Más específicamente, cada uno de estos Q tiene un centro z Q tal que
B(zQ,do1δk)⊆Q⊆B(zQ,do2δk){\displaystyle B(z_{Q},c_{1}\delta ^{k})\subseteq Q\subseteq B(z_{Q},c_{2}\delta ^{k})}
donde c 1 , c 2 , y δ son constantes positivas que dependen únicamente de la constante de duplicación C de la medida μ y son independientes de Q . 
  • Cada Q en Δ k está contenido en un conjunto único R en Δ k −1 .
  • Hay constantes constante C 3 ,  η  >  0 que dependen solo de μ tales que para todo k y t  >  0,
μ({incógnita∈Q:d(incógnita,incógnita∖Q)≤tδk})≤do3tημ(Q).{\displaystyle \mu \left(\left\{x\in Q:d(x,X\backslash Q)\leq t\delta ^{k}\right\}\right)\leq C_{3}t^{\eta }\mu (Q).}

Estas condiciones son muy similares a las propiedades de los cubos euclidianos habituales descritas anteriormente. La última condición establece que el área cercana al límite de un "cubo" Q en Δ es pequeña, una propiedad que se da por sentada en el caso euclidiano, aunque resulta muy importante para extender los resultados del análisis armónico al espacio métrico.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Okikiolu, Kate (1992). "Caracterización de subconjuntos de curvas rectificables en R n ". J. London Math. Soc . Serie 2. 46 (2): 336– 348. doi : 10.1112/jlms/s2-46.2.336 .
  2. ↑ Christ, Michael (1990). "Teorema AT(b) con observaciones sobre la capacidad analítica y la integral de Cauchy". Colloq. Math . 60/61 (2): 601– 628. doi : 10.4064/cm-60-61-2-601-628 .