Cuantificación de la singularidad

En matemáticas y lógica , el término "unicidad" se refiere a la propiedad de ser el único objeto que satisface una determinada condición. ^{[ 1 ]} Este tipo de cuantificación se conoce como cuantificación de unicidad o cuantificación existencial única , y a menudo se denota con los símbolos " ∃ !" ^{[ 2 ]} o "∃ ₌₁ ". Se define para significar que existe un objeto con la propiedad dada, y todos los objetos con esta propiedad son iguales .

Por ejemplo, la declaración formal

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

puede leerse como "hay exactamente un número natural"${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle n-2=4}$" .

La técnica más común para probar la existencia única de un objeto es probar primero la existencia de la entidad con la condición deseada y luego probar que cualesquiera dos de esas entidades (por ejemplo,${\displaystyle a}$y​${\displaystyle b}$⁠ ) ​​deben ser iguales entre sí (es decir , ${\displaystyle a=b}$⁠ ).

Por ejemplo, para demostrar que la ecuación${\displaystyle x+2=5}$tiene exactamente una solución, uno comenzaría por establecer que existe al menos una solución, a saber, la 3; la prueba de esta parte es simplemente la verificación de que se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle 3+2=5.}$

Para establecer la unicidad de la solución, se procedería asumiendo que existen dos soluciones, a saber:${\displaystyle a}$y​${\displaystyle b}$⁠ , satisfactorio ⁠${\displaystyle x+2=5}$⁠ . Es decir,

${\displaystyle a+2=5{\text{ y }}b+2=5.}$

Entonces, dado que la igualdad es una relación transitiva ,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Restando 2 a ambos lados se obtiene

${\displaystyle a=b,}$

lo cual completa la prueba de que 3 es la solución única de${\displaystyle x+2=5}$.

En general, tanto la existencia (existe al menos un objeto) como la unicidad (existe como máximo un objeto) deben probarse para poder concluir que existe exactamente un objeto que satisface dicha condición.

Una forma alternativa de probar la unicidad es probar que existe un objeto${\displaystyle a}$que satisface la condición, y luego demostrar que todo objeto que satisface la condición debe ser igual a${\displaystyle a}$.​

La cuantificación de la unicidad puede expresarse en términos de los cuantificadores existenciales y universales de la lógica de predicados , definiendo la fórmula${\displaystyle \exists !x(P(x))}$significar ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

lo cual es lógicamente equivalente a

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Una definición equivalente que separa las nociones de existencia y unicidad en dos cláusulas, a expensas de la brevedad, es:

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

La cuantificación de unicidad puede generalizarse en cuantificación de conteo (o cuantificación numérica ^{[ 4 ]} ). Esto incluye tanto la cuantificación de la forma " existen exactamente k  objetos tales que ..." como "existen infinitos objetos tales que  ..." y "solo existen un número finito de objetos tales que  ...". La primera de estas formas se puede expresar utilizando cuantificadores ordinarios, pero las dos últimas no se pueden expresar en lógica de primer orden ordinaria . ^{[ 5 ]}

La unicidad depende de una noción de igualdad . Al flexibilizar esta noción y convertirla en una relación de equivalencia más general , se cuantifica la unicidad hasta dicha equivalencia (en este marco, la unicidad regular es "unicidad hasta la igualdad"). Esto se denomina singularidad esencial . Por ejemplo, muchos conceptos en la teoría de categorías se definen como únicos hasta el isomorfismo .

El signo de exclamación${\displaystyle$ !} también se puede usar como un símbolo de cuantificación separado, por lo que ⁠${\displaystyle (\exists !xP(x))\leftrightarrow ((\exists xP(x))\land (!xP(x)))}$, donde​${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$⁠ . Por ejemplo, se puede usar de forma segura en el axioma de reemplazo , en lugar de${\displaystyle \exists$ !} .

• Esencialmente único
• Extensión por definición
• Un éxito rotundo
• Singleton (matemáticas)
• Teorema de unicidad

• Kleene, Stephen (1952). Introducción a la metamatemática . Ishi Press International. pág.  199.
• Andrews, Peter B. (2002). Introducción a la lógica matemática y la teoría de tipos: de la verdad a través de la demostración (2.ª  ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p.  233. ISBN 1-4020-0763-9.