descomposición en libro abierto

En matemáticas , una descomposición en libro abierto (o simplemente libro abierto ) es la descomposición de una variedad tridimensional cerrada y orientada M en una unión de superficies (necesariamente con frontera) y toros sólidos . Los libros abiertos tienen relevancia en la geometría de contacto , con un famoso teorema de Emmanuel Giroux (que se presenta a continuación) que demuestra que la geometría de contacto puede estudiarse desde un punto de vista completamente topológico.

Definición. Una descomposición de libro abierto de una variedad tridimensional M es un par ( B , π) donde

• B es un enlace orientado en M , llamado la unión del libro abierto;
• π: M  \ B → S ¹ es una fibración del complemento de B tal que para cada θ ∈ S ¹ , π ^{− 1} (θ) es el interior de una superficie compacta Σ ⊂ M cuyo límite es B . La superficie Σ se llama la página del libro abierto.       

Este es el caso especial m = 3 de una descomposición de libro abierto de una variedad m -dimensional, para cualquier m .

La definición para m general es similar, excepto que la superficie con frontera (Σ,  B) se reemplaza por una ( m  −  1)-variedad con frontera ( P ,  ∂ P ). Equivalentemente, la descomposición de libro abierto puede pensarse como un homeomorfismo de M al espacio cociente. $${\displaystyle P\times [0,1]/(x,t)\sim (x,s){\text{ para }}x\in \partial P{\text{ y }}(x,0)\sim (f(x),1){\text{ para }}x\in P}$$ donde f : P  → P es un autohomeomorfismo que preserva la frontera. Este espacio cociente se denomina toro de mapeo relativo . ^{[ 1 ]} 

Cuando Σ es una superficie compacta orientada con n componentes de frontera y φ:  Σ  →  Σ es un homeomorfismo que es la identidad cerca de la frontera, podemos construir un libro abierto formando primero el toro de mapeo Σ _φ . Como φ es la identidad en ∂Σ, ∂Σ _{φ es el} fibrado de círculos trivial sobre una unión de círculos, es decir, una unión de toros; un toro para cada componente de frontera. Para completar la construcción, se pegan toros sólidos para rellenar los toros de frontera de modo que cada círculo S ¹  ×  { p }  ⊂ S ¹ ×∂ D ² se identifique con la frontera de una página. En este caso, la unión es la colección de n núcleos S ¹ ×{q} de los n toros sólidos pegados en el toro de mapeo, para q ∈ D ² elegido arbitrariamente . Se sabe que cualquier libro abierto puede construirse de esta manera. Dado que la única información utilizada en la construcción es la superficie y el homeomorfismo, una definición alternativa de libro abierto es simplemente el par (Σ, φ) con la construcción implícita. En resumen, un libro abierto es un toro de mapeo con toros sólidos insertados de manera que el círculo central de cada toro corre paralelo al límite de la fibra.    

Cada toroide en ∂Σ _φ está fibrado por círculos paralelos a la encuadernación, cada círculo es un componente del límite de una página. Se puede imaginar una estructura similar a un tarjetero para una vecindad de la encuadernación (es decir, el toroide sólido pegado a ∂Σ _φ ) : las páginas del tarjetero se conectan con las páginas del libro abierto y el centro del tarjetero es la encuadernación. De ahí el término « libro abierto» .

Es un teorema de Elmar Winkelnkemper de 1972 que establece que para m  > 6, una variedad m  -dimensional simplemente conexa tiene una descomposición de libro abierto si y solo si tiene signatura 0. En 1977, Terry Lawson demostró que para m > 6 impar, toda variedad m -dimensional tiene una descomposición de libro abierto, un resultado que Frank Quinn extendió a 5-variedades y variedades con frontera en 1979. Quinn también demostró que para m > 6 par, una variedad m -dimensional tiene una descomposición de libro abierto si y solo si una obstrucción de grupo de Witt asimétrica es 0. ^{[ 1 ]}     

En 2002, Emmanuel Giroux publicó el siguiente resultado:

Teorema. Sea M una 3-variedad compacta orientada. Entonces existe una biyección entre el conjunto de estructuras de contacto orientadas en M salvo isotopía y el conjunto de descomposiciones de libro abierto de M salvo estabilización positiva.

La estabilización positiva consiste en modificar la página añadiendo un asa bidimensional y modificando la monodromía añadiendo una torsión de Dehn positiva a lo largo de una curva que pasa por esa asa exactamente una vez. Implícito en este teorema está que el nuevo libro abierto define la misma 3-variedad de contacto. El resultado de Giroux ha dado lugar a algunos avances en lo que se está denominando cada vez más topología de contacto , como la clasificación de estructuras de contacto en ciertas clases de 3-variedades. En términos generales, una estructura de contacto corresponde a un libro abierto si, lejos de la encuadernación, la distribución de contacto es isotópica a los espacios tangentes de las páginas a través de confoliaciones. Se imagina suavizar los planos de contacto (conservando la condición de contacto casi en todas partes ) para que sean tangentes a las páginas.

• Etnyre, John B. Lecciones sobre descomposiciones de libro abierto y estructuras de contacto , ArXiv
• Ranicki, Andrew, Teoría de nudos de alta dimensión , Springer (1998)
• Ranicki, Andrew, Mapeo de toro de un automorfismo de una variedad , Enciclopedia en línea de matemáticas de Springer