Conjunto abierto

En topología general y análisis matemático , un conjunto abierto es una generalización de un intervalo abierto en la recta real .

En un espacio métrico (un conjunto con una distancia definida entre cada dos puntos), un conjunto abierto es un conjunto que, con cada punto P en él, contiene todos los puntos del espacio métrico que están suficientemente cerca de P (es decir, todos los puntos cuya distancia a P es menor que algún valor que depende de P ).

En términos más generales, un conjunto abierto es un miembro de una colección dada de subconjuntos de un conjunto dado, una colección que tiene la propiedad de contener toda unión de sus miembros, toda intersección finita de sus miembros, el conjunto vacío y el conjunto completo mismo. Un conjunto en el que se da dicha colección se llama espacio topológico , y la colección se llama topología . Estas condiciones son muy flexibles y permiten una enorme flexibilidad en la elección de conjuntos abiertos. Por ejemplo, todo subconjunto puede ser abierto (la topología discreta ), o ningún subconjunto puede ser abierto excepto el espacio mismo y el conjunto vacío (la topología indiscreta ). ^{[ 1 ]}

En la práctica, sin embargo, los conjuntos abiertos suelen elegirse para proporcionar una noción de proximidad similar a la de los espacios métricos, sin tener una noción de distancia definida. En particular, una topología permite definir propiedades como la continuidad , la conexidad y la compacidad , que originalmente se definían mediante una distancia.

El caso más común de una topología sin distancia la constituyen las variedades , que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclidiano , pero en los que no se define ninguna distancia en general. En otras ramas de las matemáticas se utilizan topologías menos intuitivas; por ejemplo, la topología de Zariski , fundamental en geometría algebraica y teoría de esquemas .

Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos . Por ejemplo, si alrededor de uno de dos puntos en un espacio topológico existe un conjunto abierto que no contiene al otro punto (distinto), se dice que los dos puntos son topológicamente distinguibles . De esta manera, se puede hablar de si dos puntos, o más generalmente dos subconjuntos , de un espacio topológico están "cerca" sin definir concretamente una distancia . Por lo tanto, los espacios topológicos pueden considerarse una generalización de los espacios dotados de una noción de distancia, que se denominan espacios métricos .

En el conjunto de todos los números reales , se tiene la métrica euclidiana natural ; es decir, una función que mide la distancia entre dos números reales: d ( x , y ) = | x - y | . Por lo tanto, dado un número real x , se puede hablar del conjunto de todos los puntos cercanos a ese número real; es decir, dentro de ε de x . En esencia, los puntos dentro de ε de x aproximan x con una precisión de grado ε . Nótese que ε > 0 siempre, pero a medida que ε se hace cada vez más pequeño, se obtienen puntos que aproximan x con un grado de precisión cada vez mayor. Por ejemplo, si x = 0 y ε = 1, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos del intervalo (−1, 1); es decir, el conjunto de todos los números reales entre −1 y 1. Sin embargo, con ε = 0,5, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos de (−0,5, 0,5). Claramente, estos puntos aproximan x con un grado de precisión mayor que cuando ε = 1.

La discusión anterior muestra, para el caso x = 0, que se puede aproximar x con grados de precisión cada vez mayores definiendo ε cada vez más pequeño. En particular, los conjuntos de la forma (− ε , ε ) nos dan mucha información sobre los puntos cercanos a x = 0. Así, en lugar de hablar de una métrica euclidiana concreta, se pueden usar conjuntos para describir puntos cercanos a x . Esta idea innovadora tiene consecuencias de gran alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintas de los conjuntos (− ε , ε )), se pueden encontrar diferentes resultados con respecto a la distancia entre 0 y otros números reales. Por ejemplo, si definiéramos R como el único conjunto de este tipo para "medir distancias", todos los puntos estarían cerca de 0 ya que solo hay un grado de precisión posible que se puede lograr al aproximar 0: ser miembro de R . Así, encontramos que, en cierto sentido, todo número real está a una distancia de 0 de 0. En este caso, puede ser útil pensar en la medida como una condición binaria: todos los elementos de R están igualmente cerca de 0, mientras que cualquier elemento que no esté en R no está cerca de 0.

En general, se denomina base de vecindad a la familia de conjuntos que contienen el 0, utilizados para aproximarlo ; un miembro de esta base de vecindad se denomina conjunto abierto. De hecho, estas nociones pueden generalizarse a un conjunto arbitrario ( X ), en lugar de limitarse a los números reales. En este caso, dado un punto ( x ) de dicho conjunto, se puede definir una colección de conjuntos "alrededor" (es decir, que contienen) x , utilizados para aproximarlo . Por supuesto, esta colección debe satisfacer ciertas propiedades (conocidas como axiomas ), ya que de lo contrario no dispondríamos de un método bien definido para medir la distancia. Por ejemplo, cada punto en X debe aproximar x con cierto grado de precisión. Por lo tanto, X debe pertenecer a esta familia. Una vez que comenzamos a definir conjuntos "más pequeños" que contienen x , tendemos a aproximar x con mayor precisión. Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que debe satisfacer la familia de conjuntos alrededor de x .

Aquí se ofrecen varias definiciones, en orden creciente de complejidad técnica. Cada una es un caso particular de la siguiente.

La unión de cualquier número de conjuntos abiertos, o de infinitos conjuntos abiertos, es abierta. ^{[ 4 ]} La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta. ^{[ 4 ]}

El complemento de un conjunto abierto (en relación con el espacio sobre el que se define la topología) se denomina conjunto cerrado . Un conjunto puede ser a la vez abierto y cerrado (un conjunto clopen ). El conjunto vacío y el espacio completo son ejemplos de conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados. ^{[ 5 ]}

Un conjunto nunca puede considerarse abierto por sí mismo. Esta noción es relativa a un conjunto contenedor y a una topología específica sobre él.

Que un conjunto sea abierto depende de la topología que se esté considerando. Habiendo optado por una mayor brevedad sobre una mayor claridad , nos referimos a un conjunto X dotado de una topología${\displaystyle \tau }$como "el espacio topológico X " en lugar de "el espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$", a pesar de que todos los datos topológicos están contenidos en${\displaystyle \tau .}$Si hay dos topologías en el mismo conjunto, un conjunto U que es abierto en la primera topología podría no serlo en la segunda. Por ejemplo, si X es un espacio topológico cualquiera e Y es un subconjunto cualquiera de X , al conjunto Y se le puede dar su propia topología (llamada "topología de subespacio") definida por "un conjunto U es abierto en la topología de subespacio en Y si y solo si U es la intersección de Y con un conjunto abierto de la topología original en X ". ^{[ 6 ]} Esto potencialmente introduce nuevos conjuntos abiertos: si V es abierto en la topología original en X , pero${\displaystyle V\cap Y}$no está abierto en la topología original en X , entonces${\displaystyle V\cap Y}$está abierto en la topología de subespacio en Y.

Como ejemplo concreto de esto, si U se define como el conjunto de números racionales en el intervalo${\displaystyle (0,1),}$Entonces U es un subconjunto abierto de los números racionales , pero no de los números reales . Esto se debe a que cuando el espacio circundante son los números racionales, para cada punto x en U , existe un número positivo ε tal que todos los puntos racionales dentro de una distancia ε de x también están en U. Por otro lado, cuando el espacio circundante son los números reales, entonces para cada punto x en U no existe un ε positivo tal que todos los puntos reales dentro de una distancia ε de x estén en U (porque U no contiene números no racionales).

Los conjuntos abiertos tienen una importancia fundamental en topología . Este concepto es necesario para definir y comprender el espacio topológico y otras estructuras topológicas que tratan las nociones de cercanía y convergencia para espacios como los espacios métricos y los espacios uniformes .

Todo subconjunto A de un espacio topológico X contiene un conjunto abierto (posiblemente vacío); el máximo (ordenado bajo inclusión) de dichos conjuntos abiertos se denomina ^interior de A. Se puede construir tomando la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A. [ ^{7 ]}

Una función${\displaystyle f:X\to Y}$entre dos espacios topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es continua si la preimagen de cada conjunto abierto en${\displaystyle Y}$está abierto en${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]} La función${\displaystyle f:X\to Y}$se llama abierto si la imagen de cada conjunto abierto en${\displaystyle X}$está abierto en${\displaystyle Y.}$

Un conjunto abierto en la recta real tiene la propiedad característica de ser una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos.

A lo largo de,${\displaystyle (X,\tau )}$será un espacio topológico.

Un subconjunto${\displaystyle A\subseteq X}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$se llama:

• α-abierto si${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$y el complemento de dicho conjunto se denomina α-cerrado . ^{[ 9 ]}
• preabierto , casi abierto o localmente denso si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^{[ 10 ]}
  2. Existen subconjuntos${\displaystyle D,U\subseteq X}$de tal manera que${\displaystyle U}$está abierto en${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$es un subconjunto denso de${\displaystyle X,}$y${\displaystyle A=U\cap D.}$^{[ 10 ]}
  3. Existe un abierto (en${\displaystyle X}$) subconjunto${\displaystyle U\subseteq X}$de tal manera que${\displaystyle A}$es un subconjunto denso de${\displaystyle U.}$^{[ 10 ]}

  El complemento de un conjunto preabierto se llama precerrado .

• b-abrir si${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$. El complemento de un conjunto b-abierto se llama b-cerrado . ^{[ 9 ]}
• β-abierto o semipreabierto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^{[ 9 ]}
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$es un subconjunto cerrado regular de${\displaystyle X.}$^{[ 10 ]}
  3. Existe un subconjunto preabierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$^{[ 10 ]}

  El complemento de un conjunto β-abierto se llama β-cerrado .

• Se abre secuencialmente si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. Siempre que una secuencia en${\displaystyle X}$converge a algún punto de${\displaystyle A,}$entonces esa secuencia finalmente está en${\displaystyle A.}$Explícitamente, esto significa que si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$es una secuencia en${\displaystyle X}$y si existe alguna${\displaystyle a\in A}$es tal que${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle (X,\tau ),}$entonces${\displaystyle x_{\bullet }}$está finalmente en${\displaystyle A}$(es decir, existe algún número entero${\displaystyle i}$de tal manera que si${\displaystyle j\geq i,}$entonces${\displaystyle x_{j}\in A}$).
  2. ${\displaystyle A}$es igual a su interior secuencial en${\displaystyle X,}$que por definición es el conjunto

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  El complemento de un conjunto secuencialmente abierto se llama secuencialmente cerrado . Un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$se cierra secuencialmente en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle S}$es igual a su cierre secuencial , que por definición es el conjunto${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$compuesto por todos${\displaystyle x\in X}$para la cual existe una secuencia en${\displaystyle S}$que converge a${\displaystyle x}$(en${\displaystyle X}$).

• casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire si existe un subconjunto abierto.${\displaystyle U\subseteq X}$de tal manera que${\displaystyle A\bigtriangleup U}$es un subconjunto escaso , donde${\displaystyle \bigtriangleup }$denota la diferencia simétrica . ^{[ 11 ]}
  • El subconjunto${\displaystyle A\subseteq X}$Se dice que tiene la propiedad de Baire en el sentido restringido si para cada subconjunto${\displaystyle E}$de${\displaystyle X}$la intersección${\displaystyle A\cap E}$tiene la propiedad de Baire en relación con${\displaystyle E}$. ^{[ 12 ]}
• semiabierto si${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$o, equivalentemente,${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$. El complemento en${\displaystyle X}$Un conjunto semiabierto se denomina conjunto semicerrado . ^{[ 13 ]}
  • El semicierre (en${\displaystyle X}$) de un subconjunto${\displaystyle A\subseteq X,}$denotado por${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$es la intersección de todos los subconjuntos semicerrados de${\displaystyle X}$que contienen${\displaystyle A}$como un subconjunto. ^{[ 13 ]}
• semi-θ-abierto si para cada${\displaystyle x\in A}$existe algún subconjunto semiabierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$^{[ 13 ]}
• θ-abierto (resp. δ-abierto ) si su complemento en${\displaystyle X}$es un conjunto θ-cerrado (resp. δ-cerrado ), donde por definición, un subconjunto de${\displaystyle X}$Se denomina θ-cerrado (respectivamente, δ-cerrado ) si es igual al conjunto de todos sus puntos de clúster θ (respectivamente, puntos de clúster δ). Un punto${\displaystyle x\in X}$se denomina punto de clúster θ (respectivamente, punto de clúster δ ) de un subconjunto${\displaystyle B\subseteq X}$si por cada vecindario abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X,}$la intersección${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$no está vacío (resp.${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$no está vacío). ^{[ 13 ]}

Utilizando el hecho de que

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$    y    ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

siempre que dos subconjuntos${\displaystyle A,B\subseteq X}$satisfacer${\displaystyle A\subseteq B,}$Se puede deducir lo siguiente:

• Cada subconjunto α-abierto es semiabierto, semipreabierto, preabierto y b-abierto.
• Todo conjunto b-abierto es semi-preabierto (es decir, β-abierto).
• Cada conjunto de preapertura es b-abierto y semi-preabierto.
• Cada conjunto semiabierto es b-abierto y semipreabierto.

Además, un subconjunto es un conjunto abierto regular si y solo si es preabierto y semicerrado. ^{[ 10 ]} La intersección de un conjunto α-abierto y un conjunto semi-preabierto (respectivamente, semiabierto, preabierto, b-abierto) es un conjunto semi-preabierto (respectivamente, semiabierto, preabierto, b-abierto). ^{[ 10 ]} Los conjuntos preabiertos no tienen por qué ser semiabiertos y los conjuntos semiabiertos no tienen por qué ser preabiertos. ^{[ 10 ]}

Las uniones arbitrarias de conjuntos preabiertos (resp. α-abiertos, b-abiertos, semi-preabiertos) son nuevamente preabiertos (resp. α-abiertos, b-abiertos, semi-preabiertos). ^{[ 10 ]} Sin embargo, las intersecciones finitas de conjuntos preabiertos no necesariamente son preabiertas. ^{[ 13 ]} El conjunto de todos los subconjuntos α-abiertos de un espacio${\displaystyle (X,\tau )}$forma una topología en${\displaystyle X}$eso es mejor que${\displaystyle \tau .}$^{[ 9 ]}

Un espacio topológico${\displaystyle X}$es Hausdorff si y solo si todo subespacio compacto de${\displaystyle X}$es θ-cerrado. ^{[ 13 ]} Un espacio${\displaystyle X}$Un espacio está totalmente desconectado si y solo si todo subconjunto cerrado regular es preabierto o, equivalentemente, si todo subconjunto semiabierto es preabierto. Además, el espacio está totalmente desconectado si y solo si la clausura de todo subconjunto preabierto es abierta. ^{[ 9 ]}

• Mapa casi abierto : mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto. 
• Base (topología) – Colección de conjuntos abiertos que se utilizan para definir una topología. 
• Conjunto clopen : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado. 
• Conjunto cerrado – Complemento de un subconjunto abierto 
• Dominio (análisis matemático) – Subconjunto abierto conexo de un espacio topológico 
• Homeomorfismo local : función matemática reversible cerca de cada punto. 
• Mapa abierto : funciones que envían subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados). Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Subbase : Colección de subconjuntos que generan una topología. 

• Hart, Klaas (2004). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam Boston: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2OCLC 162131277​​ 
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 .​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )

• "Conjunto abierto" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].