Teoría bivariante

En matemáticas, Fulton y MacPherson introdujeron una teoría bivariante ( Fulton y MacPherson 1981 ) con el fin de poner una estructura de anillo en el grupo de Chow de una variedad singular , el anillo resultante se denomina anillo de Chow operacional .

A nivel técnico, una teoría bivariante es una combinación de una teoría de homología y una teoría de cohomología . En general, una teoría de homología es un functor covariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos , mientras que una teoría de cohomología es un functor contravariante de la categoría de espacios (agradables) a la categoría de anillos. Una teoría bivariante es un functor tanto covariante como contravariante; de ​​ahí su nombre.

A diferencia de una teoría de homología o una teoría de cohomología, una clase bivariante se define para una aplicación, no para un espacio.

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$sea ​​un mapa. Para tal mapa, podemos considerar el cuadrado de fibra

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$

(por ejemplo, una explosión). Intuitivamente, la consideración de todos los cuadrados de fibra como el anterior puede pensarse como una aproximación del mapa.${\displaystyle f}$.

Ahora, una clase birracional de${\displaystyle f}$es una familia de homomorfismos de grupo indexados por los cuadrados de fibra:

${\displaystyle A_{k}Y'\to A_{kp}X'}$

que cumplan ciertas condiciones de compatibilidad.

La pregunta fundamental era si existe un mapa cíclico :

${\displaystyle A^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$

Si X es suave, tal mapa existe ya que${\displaystyle A^{*}(X)}$es el anillo de Chow usual de X. (Totaro 2014) ha demostrado que racionalmente no existe tal aplicación con buenas propiedades incluso si X es una variedad lineal , aproximadamente una variedad que admite una descomposición celular. También señala que el anillo de cohomología motivacional de Voevodsky es "probablemente más útil" que el anillo de Chow operacional para un esquema singular (§ 8 de loc. cit.)

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