Operador (matemáticas)

En matemáticas , un operador es generalmente una función o aplicación que actúa sobre elementos de un espacio para producir elementos de otro espacio (posiblemente, y a veces requerido, el mismo espacio). No existe una definición general de operador , pero el término se usa a menudo en lugar de función cuando el dominio es un conjunto de funciones u otros objetos estructurados. Además, el dominio de un operador suele ser difícil de caracterizar explícitamente (por ejemplo, en el caso de un operador integral ) y puede extenderse para actuar sobre objetos relacionados (un operador que actúa sobre funciones también puede actuar sobre ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son funciones que satisfacen la ecuación). (Véase Operador (física) para otros ejemplos).

Los operadores más básicos son las aplicaciones lineales , que actúan sobre espacios vectoriales . Los operadores lineales se refieren a aplicaciones lineales cuyo dominio y codominio son el mismo espacio, por ejemplo, de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ a ]} ​​Estos operadores a menudo conservan propiedades, como la continuidad . Por ejemplo, la diferenciación y la integración indefinida son operadores lineales; los operadores que se construyen a partir de ellos se llaman operadores diferenciales , operadores integrales u operadores integro-diferenciales.

El término operador también se utiliza para denotar el símbolo de una operación matemática . Esto está relacionado con el significado de "operador" en la programación informática (véase Operador (programación informática) ).

El tipo de operadores más común que se encuentra son los operadores lineales . Sean U y V espacios vectoriales sobre algún cuerpo K. Una aplicación${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$es lineal si$${\displaystyle \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$para todo x e y en U , y para todo α , β en K.

Esto significa que un operador lineal preserva las operaciones del espacio vectorial, en el sentido de que no importa si se aplica el operador lineal antes o después de las operaciones de suma y multiplicación escalar. En términos más técnicos, los operadores lineales son morfismos entre espacios vectoriales. En el caso de dimensión finita, los operadores lineales se pueden representar mediante matrices de la siguiente manera. Sea K un cuerpo, y${\displaystyle U}$y V sean espacios vectoriales de dimensión finita sobre K. Seleccionemos una base.${\displaystyle \ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$en U y${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$en V. Entonces deja${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$sea ​​un vector arbitrario en${\displaystyle U}$(suponiendo la convención de Einstein ), y${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$Sea un operador lineal. Entonces$${\displaystyle \ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.}$$Entonces${\displaystyle a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}}$, con todo${\displaystyle a_{i}^{j}\in K}$, es la forma matricial del operador${\displaystyle \operatorname {A} }$en base fija${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}}$. El tensor${\displaystyle a_{i}^{j}}$no depende de la elección de${\displaystyle x}$, y${\displaystyle \operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} }$si${\displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}}$Así, en bases fijas, las matrices n -por- m están en correspondencia biyectiva con los operadores lineales de${\displaystyle U}$a${\displaystyle V}$.

Los conceptos importantes directamente relacionados con los operadores entre espacios vectoriales de dimensión finita son los de rango , determinante , operador inverso y espacio propio .

Los operadores lineales también desempeñan un papel fundamental en el caso de dimensión infinita. Los conceptos de rango y determinante no pueden extenderse a matrices de dimensión infinita. Por ello, se emplean técnicas muy diferentes al estudiar operadores lineales (y operadores en general) en este caso. El estudio de operadores lineales en dimensión infinita se conoce como análisis funcional (denominado así porque diversas clases de funciones constituyen ejemplos interesantes de espacios vectoriales de dimensión infinita).

El espacio de sucesiones de números reales, o más generalmente las sucesiones de vectores en cualquier espacio vectorial, forman en sí mismos un espacio vectorial de dimensión infinita. Los casos más importantes son las sucesiones de números reales o complejos, y estos espacios, junto con los subespacios lineales, se conocen como espacios de sucesiones . Los operadores sobre estos espacios se conocen como transformaciones de sucesiones .

Los operadores lineales acotados sobre un espacio de Banach forman un álgebra de Banach con respecto a la norma estándar de operadores. La teoría de las álgebras de Banach desarrolla un concepto muy general de espectros que generaliza elegantemente la teoría de los autoespacios.

Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ordenado (por ejemplo;${\displaystyle \mathbb {R} }$), y están equipados con normas . Entonces, un operador lineal de U a V se llama acotado si existe c > 0 tal que$${\displaystyle \|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}}$$para cada x en U. Los operadores acotados forman un espacio vectorial. En este espacio vectorial podemos introducir una norma que sea compatible con las normas de U y V :$${\displaystyle \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.}$$ En el caso de operadores de U a sí mismo, se puede demostrar que

${\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}$. ^{[ b ]}

Cualquier álgebra normada unitaria con esta propiedad se denomina álgebra de Banach . Es posible generalizar la teoría espectral a dichas álgebras. Las C*-álgebras , que son álgebras de Banach con alguna estructura adicional, desempeñan un papel importante en la mecánica cuántica .

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