Teoría K de operadores

En matemáticas , la teoría K de operadores es un análogo no conmutativo de la teoría K topológica para álgebras de Banach , con la mayoría de las aplicaciones utilizadas para álgebras C* .

_La teoría K de operadores se asemeja más a la teoría K topológica que a la teoría K algebraica . En particular, se cumple un teorema de periodicidad de Bott . Por lo tanto _, solo existen dos grupos K: K₀ , que es igual al grupo K₀ algebraico _, y K₁ . Como consecuencia del teorema de periodicidad, satisface la escisión . Esto significa que se asocia a una extensión de las C*-álgebras a una larga sucesión exacta , que, por la periodicidad de Bott, se reduce a una sucesión cíclica exacta de 6 términos.

La teoría K de operadores es una generalización de la teoría K topológica , definida por medio de haces vectoriales en espacios de Hausdorff localmente compactos . Aquí, un haz vectorial sobre un espacio topológico X está asociado a una proyección en el álgebra C* de matrices con valores, es decir,${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$Funciones continuas con valores en X. Además, se sabe que el isomorfismo de haces vectoriales se traduce en la equivalencia de Murray-von Neumann de la proyección asociada en K ⊗ C ( X ), donde K son los operadores compactos en un espacio de Hilbert separable.  

Por lo tanto, el grupo K ₀ de un álgebra C* (no necesariamente conmutativa) A se define como el grupo de Grothendieck generado por las clases de equivalencia de Murray-von Neumann de proyecciones en K ⊗ C ( X ). K ₀ es un functor de la categoría de álgebras C* y *-homomorfismos, a la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Los functores K superiores se definen mediante una versión C* de la suspensión: K _n ( A ) = K ₀ ( S ⁿ ( A )), donde SA = C ₀ (0,1) ⊗ A .        

Sin embargo, por periodicidad de Bott, resulta que K _{n +2} ( A ) y K _n ( A ) son isomorfos para cada n , y por lo tanto los únicos grupos producidos por esta construcción son K ₀ y K ₁ .

La razón clave para la introducción de métodos de la teoría K en el estudio de las C*-álgebras fue el índice de Fredholm : dado un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert con núcleo y conúcleo de dimensión finita, se le puede asociar un entero que, como se ha demostrado, refleja el "defecto" del operador, es decir, el grado en que no es invertible. El mapa del índice de Fredholm aparece en la secuencia exacta de 6 términos dada por el álgebra de Calkin . En el análisis de variedades, este índice y sus generalizaciones desempeñaron un papel crucial en la teoría de índices de Atiyah y Singer, donde el índice topológico de la variedad se puede expresar mediante el índice de operadores elípticos en ella. Posteriormente, Brown , Douglas y Fillmore observaron que el índice de Fredholm era el ingrediente que faltaba para clasificar operadores esencialmente normales salvo cierta equivalencia natural. Estas ideas, junto con la clasificación de Elliott de las álgebras AF C* mediante la teoría K, dieron lugar a un gran interés en adaptar métodos como la teoría K de la topología algebraica al estudio de las álgebras de operadores.

Esto, a su vez, condujo a la K-homología , la teoría KK bivariante de Kasparov y, más recientemente, a la teoría E de Connes y Higson .

• Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000), Una introducción a la teoría K para álgebras C ^∗ , Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 49, Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-78334-7