Espectro (análisis funcional)

Dejar${\displaystyle T}$sea ​​un operador lineal acotado que actúa sobre un espacio de Banach.${\displaystyle X}$sobre el campo escalar complejo${\displaystyle \mathbb {C} }$, y${\displaystyle I}$ser el operador de identidad en${\displaystyle X}$. El espectro de${\displaystyle T}$es el conjunto de todos${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$para lo cual el operador${\displaystyle T-\lambda I}$no tiene un inverso que sea un operador lineal acotado.

Desde${\displaystyle T-\lambda I}$es un operador lineal, su inverso es lineal si existe; y, por el teorema del inverso acotado , está acotado. Por lo tanto, el espectro consiste precisamente en aquellos escalares.${\displaystyle \lambda }$para qué${\displaystyle T-\lambda I}$no es biyectivo .

El espectro de un operador dado${\displaystyle T}$a menudo se denota${\displaystyle \sigma (T)}$y su complemento, el conjunto resolvente , se denota${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$. (${\displaystyle \rho (T)}$a veces se utiliza para denotar el radio espectral de${\displaystyle T}$)

Si${\displaystyle \lambda }$es un valor propio de${\displaystyle T}$, entonces el operador${\displaystyle T-\lambda I}$no es uno a uno, y por lo tanto su inverso${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$no está definido. Sin embargo, la afirmación inversa no es cierta: el operador${\displaystyle T-\lambda I}$puede que no tenga un inverso, incluso si${\displaystyle \lambda }$no es un valor propio. Por lo tanto, el espectro de un operador siempre contiene todos sus valores propios, pero no se limita a ellos.

Por ejemplo, consideremos el espacio de Hilbert.${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$, que consiste en todas las secuencias bi-infinitas de números reales

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

que tienen una suma finita de cuadrados${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$El operador de turno bilateral${\displaystyle T}$simplemente desplaza cada elemento de la secuencia una posición; es decir, si${\displaystyle u=T(v)}$entonces${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$para cada entero${\displaystyle i}$La ecuación de valores propios${\displaystyle T(v)=\lambda v}$no tiene solución no nula en este espacio, ya que implica que todos los valores${\displaystyle v_{i}}$tienen el mismo valor absoluto (si${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$) o son una progresión geométrica (si${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$); de cualquier manera, la suma de sus cuadrados no sería finita. Sin embargo, el operador${\displaystyle T-\lambda I}$no es invertible si${\displaystyle |\lambda |=1}$. Por ejemplo, la secuencia${\displaystyle u}$de tal manera que${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$está en${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$; pero no hay secuencia${\displaystyle v}$en${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$de tal manera que${\displaystyle (TI)v=u}$(eso es,${\ Displaystyle v_ {i-1} = u_ {i} + v_ {i}}$a pesar de${\displaystyle i}$).

El espectro de un operador acotado ${\displaystyle T}$ es siempre un subconjunto cerrado y acotado del plano complejo .

Si el espectro estuviera vacío, entonces la función resolvente

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

estaría definida en todas partes en el plano complejo y acotada. Pero se puede demostrar que la función resolvente${\displaystyle R}$es holomorfa en su dominio. Según la versión vectorial del teorema de Liouville , esta función es constante, por lo tanto, cero en todas partes, ya que es cero en el infinito. Esto sería una contradicción.

La acotación del espectro se deduce del desarrollo en serie de Neumann en${\displaystyle \lambda }$; el espectro${\displaystyle \sigma (T)}$está delimitado por${\displaystyle \left\|T\right\|}$Un resultado similar muestra el carácter cerrado del espectro.

El límite${\displaystyle \left\|T\right\|}$en el espectro se puede refinar un poco. El radio espectral ,${\displaystyle r(T)}$, de${\displaystyle T}$es el radio del círculo más pequeño en el plano complejo que está centrado en el origen y contiene el espectro${\displaystyle \sigma (T)}$dentro de él, es decir

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

La fórmula del radio espectral dice ^{[ 2 ]} que para cualquier elemento${\displaystyle T}$de un álgebra de Banach ,

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

Sea X un espacio de Banach y${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$sea ​​un operador lineal definido en el dominio${\displaystyle D(T)\subsetequ X}$Se dice que un número complejo λ pertenece al conjunto resolvente (también llamado conjunto regular ) de${\displaystyle T}$si el operador

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

tiene una inversa definida en todas partes y acotada, es decir, si existe un operador acotado

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

de tal manera que

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

Un número complejo λ está entonces en el espectro si λ no está en el conjunto resolvente.

Para que λ esté en la resolvente (es decir, no en el espectro), al igual que en el caso acotado,${\displaystyle T-\lambda I}$Debe ser biyectiva, puesto que debe tener una inversa bilateral. Como antes, si existe una inversa, su linealidad es inmediata, pero en general puede no estar acotada, por lo que esta condición debe comprobarse por separado.

Por el teorema del grafo cerrado , la acotación de${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$se deduce directamente de su existencia cuando T es cerrado . Entonces, al igual que en el caso acotado, un número complejo λ se encuentra en el espectro de un operador cerrado T si y solo si${\displaystyle T-\lambda I}$no es biyectivo. Nótese que la clase de operadores cerrados incluye a todos los operadores acotados.

El espectro de un operador no acotado es, en general, un subconjunto cerrado, posiblemente vacío, del plano complejo. Si el operador T no es cerrado , entonces${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$.

El siguiente ejemplo indica que los operadores no cerrados pueden tener espectros vacíos. Sea${\displaystyle T}$denotamos el operador de diferenciación en${\displaystyle L^{2}([0,1])}$, cuyo dominio se define como el cierre de${\displaystyle C_{c}^{\infty }((0,1])}$con respecto a la${\displaystyle H^{1}}$- Norma del espacio de Sobolev . Este espacio se puede caracterizar como todas las funciones en${\displaystyle H^{1}([0,1])}$que son cero en${\displaystyle t=0}$. Entonces,${\displaystyle Tz}$tiene un núcleo trivial en este dominio, como cualquier${\displaystyle H^{1}([0,1])}$-función en su núcleo es un múltiplo constante de${\displaystyle e^{zt}}$, que es cero en${\displaystyle t=0}$si y solo si es idénticamente cero. Por lo tanto, el complemento del espectro es todo${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Si un operador no es inyectivo (es decir, existe algún x distinto de cero tal que T ( x )  =  0), entonces claramente no es invertible. Por lo tanto, si λ es un valor propio de T , necesariamente se tiene λ  ∈ σ ( T ). El conjunto de valores propios de T también se denomina espectro puntual de T , denotado por σp ( T ). Algunos autores se refieren al cierre del espectro puntual como el espectro puntual puro _. ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$mientras que otros simplemente consideran${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

De forma más general, por el teorema de la inversa acotada , T no es invertible si no está acotada inferiormente; es decir, si no hay ningún c  >  0 tal que || Tx ||  ≥ c || x || para todo x ∈ X. Así pues, el espectro incluye el conjunto de autovalores aproximados , que son aquellos λ tales que T - λI no está acotada inferiormente; equivalentemente, es el conjunto de λ para los cuales existe una secuencia de vectores unitarios x ₁ , x ₂ , ... para los cuales 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

El conjunto de autovalores aproximados se conoce como espectro de puntos aproximado , denotado por${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$.

Es fácil ver que los autovalores se encuentran en el espectro puntual aproximado.

Por ejemplo, considérese el desplazamiento bilateral W en${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$definido por

${\displaystyle W:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

dónde${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$es la base ortonormal estándar en${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$. El cálculo directo muestra que W no tiene valores propios, pero cada λ con${\displaystyle |\lambda |=1}$es un valor propio aproximado; sea x _n el vector

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

se puede ver que || x _n || = 1 para todo n , pero

${\displaystyle \|Wx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Dado que W es un operador unitario, su espectro se encuentra en el círculo unitario. Por lo tanto, el espectro puntual aproximado de W es su espectro completo.

Esta conclusión también es válida para una clase más general de operadores. Un operador unitario es normal . Por el teorema espectral , un operador acotado en un espacio de Hilbert H es normal si y solo si es equivalente (después de la identificación de H con un${\displaystyle L^{2}}$espacio) a un operador de multiplicación . Se puede demostrar que el espectro de puntos aproximado de un operador de multiplicación acotado es igual a su espectro.

El espectro discreto se define como el conjunto de valores propios normales o, equivalentemente, como el conjunto de puntos aislados del espectro tales que el proyector de Riesz correspondiente tiene rango finito. Como tal, el espectro discreto es un subconjunto estricto del espectro puntual, es decir,${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

El conjunto de todos los λ para los cuales${\displaystyle T-\lambda I}$es inyectivo y tiene un rango denso, pero no es sobreyectivo, se llama el espectro continuo de T , denotado por ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$. Por lo tanto, el espectro continuo consiste en aquellos autovalores aproximados que no son autovalores y no se encuentran en el espectro residual. Es decir,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Por ejemplo,${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$,${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$, es inyectivo y tiene un rango denso, sin embargo${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$. De hecho, si${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$con${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$de tal manera que${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$, uno no necesariamente tiene${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$, y luego${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$.

El conjunto de${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$para qué${\displaystyle T-\lambda I}$no tiene un rango denso se conoce como el espectro de compresión de T y se denota por ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$.

El conjunto de${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$para qué${\displaystyle T-\lambda I}$es inyectivo pero no tiene un rango denso se conoce como el espectro residual de T y se denota por ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Un operador puede ser inyectivo, incluso acotado inferiormente, pero aún así no ser invertible. El desplazamiento a la derecha en${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$, es un ejemplo de ello. Este operador de desplazamiento es una isometría , por lo tanto está acotado inferiormente por 1. Pero no es invertible ya que no es sobreyectivo (${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$), y además${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$no es denso en${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ (${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$).

El espectro periférico de un operador se define como el conjunto de puntos en su espectro cuyo módulo es igual a su radio espectral. ^{[ 6 ]}

Existen cinco definiciones similares del espectro esencial de un operador lineal cerrado densamente definido.${\displaystyle A:\,X\to X}$que satisfacen

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Todos estos espectros${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$, coinciden en el caso de operadores autoadjuntos.

1. El espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$se define como el conjunto de puntos${\displaystyle \lambda }$del espectro tal que${\displaystyle A-\lambda I}$no es semi-Fredholm . (El operador es semi-Fredholm si su rango es cerrado y su núcleo o conúcleo (o ambos) es de dimensión finita). Ejemplo 1:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$para el operador${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$(porque el rango de este operador no es cerrado: el rango no incluye todo${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$aunque su cierre sí). Ejemplo 2:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$para${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$para cualquier${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$(porque tanto el núcleo como el conúcleo de este operador son de dimensión infinita).
2. El espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$se define como el conjunto de puntos${\displaystyle \lambda }$del espectro tal que el operador${\displaystyle A-\lambda I}$tiene un núcleo de dimensión infinita o tiene un rango que no es cerrado. También se puede caracterizar en términos del criterio de Weyl : existe una secuencia${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$en el espacio X tal que${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$,${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$y tal que${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$No contiene ninguna subsecuencia convergente . Dicha secuencia se denomina secuencia singular (o secuencia de Weyl singular ). Ejemplo:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$para el operador${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$si j es par y${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$cuando j es impar (el núcleo es de dimensión infinita; el conúcleo es de dimensión cero). Nótese que${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$.
3. El espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$se define como el conjunto de puntos${\displaystyle \lambda }$del espectro tal que${\displaystyle A-\lambda I}$no es de Fredholm . (El operador es de Fredholm si su rango es cerrado y tanto su núcleo como su conúcleo son de dimensión finita). Ejemplo:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$para el operador${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$(el núcleo es de dimensión cero, el conúcleo es de dimensión infinita). Nótese que${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$.
4. El espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$se define como el conjunto de puntos${\displaystyle \lambda }$del espectro tal que${\displaystyle A-\lambda I}$no es Fredholm de índice cero. También podría caracterizarse como la parte más grande del espectro de A que se conserva mediante perturbaciones compactas . En otras palabras,${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$; aquí${\displaystyle B_{0}(X)}$denota el conjunto de todos los operadores compactos en X. Ejemplo :${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$dónde${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$es el operador de turno correcto,${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$para${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$(su núcleo es cero, su conúcleo es unidimensional). Nótese que${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$.
5. El espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$es la unión de${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$con todos los componentes de${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$que no se intersecan con el conjunto resolvente${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$También puede caracterizarse como${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$Ejemplo: considere el operador${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$,${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$para${\displaystyle j\neq 0}$,${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$. Desde${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$, uno tiene${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$. Para cualquier${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$con${\displaystyle |z|=1}$, el rango de${\displaystyle T-zI}$es denso pero no cerrado, por lo tanto, el límite del disco unitario está en el primer tipo del espectro esencial:${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$. Para cualquier${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$con${\displaystyle |z|<1}$,${\displaystyle T-zI}$tiene un rango cerrado, un núcleo unidimensional y un conúcleo unidimensional, por lo que${\displaystyle z\in \sigma (T)}$a pesar de${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$para${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$; de este modo,${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$para${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$. Hay dos componentes de${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$:${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|>1\}} y${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|<1\}} . El componente${\displaystyle \{|z|<1\}}$no tiene intersección con el conjunto resolvente; por definición,${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C}  :\,|z|\leq 1\}} .

Si T es un operador compacto , o, más generalmente, un operador no esencial , entonces se puede demostrar que el espectro es numerable, que cero es el único punto de acumulación posible , y que cualquier λ distinto de cero en el espectro es un valor propio.

Un operador acotado${\displaystyle A:\,X\to X}$es cuasi-potente si${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$como${\displaystyle n\to \infty }$(en otras palabras, si el radio espectral de A es igual a cero). Dichos operadores podrían caracterizarse equivalentemente por la condición

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

Un ejemplo de dicho operador es${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$,${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$para${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

Si X es un espacio de Hilbert y T es un operador autoadjunto (o, más generalmente, un operador normal ), entonces un resultado notable conocido como el teorema espectral proporciona un análogo del teorema de diagonalización para operadores normales de dimensión finita (matrices hermíticas, por ejemplo).

Para operadores autoadjuntos, se pueden utilizar medidas espectrales para definir una descomposición del espectro en partes absolutamente continuas, puntuales puras y singulares.

El espectro real de un operador lineal continuo${\displaystyle T}$actuando en un espacio real de Banach${\displaystyle X}$, denotado${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$, se define como el conjunto de todos${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$para qué${\displaystyle T-\lambda I}$no es invertible en el álgebra real de operadores lineales acotados que actúan sobre${\displaystyle X}$. En este caso tenemos${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$Cabe señalar que el espectro real puede o no coincidir con el espectro complejo. En particular, el espectro real podría estar vacío.