Hartley transforma

En matemáticas , la transformada de Hartley ( TH ) es una transformada integral estrechamente relacionada con la transformada de Fourier (TF), pero que transforma funciones de valor real en funciones de valor real. Fue propuesta como alternativa a la transformada de Fourier por Ralph V. L. Hartley en 1942 ^{[ 1 ]} y es una de las muchas transformadas relacionadas con Fourier conocidas . En comparación con la transformada de Fourier, la transformada de Hartley tiene las ventajas de transformar funciones reales en funciones reales (en lugar de requerir números complejos ) y de ser su propia inversa.

La versión discreta de la transformada, la transformada discreta de Hartley (DHT), fue introducida por Ronald N. Bracewell en 1983. ^{[ 2 ]}

La transformada de Hartley bidimensional se puede calcular mediante un proceso óptico analógico similar a una transformada óptica de Fourier (OFT), con la ventaja propuesta de que solo es necesario determinar su amplitud y signo en lugar de su fase compleja. ^{[ 3 ]} Sin embargo, las transformadas ópticas de Hartley no parecen haber tenido un uso generalizado.

La transformada de Hartley de una función${\displaystyle f(t)}$se define por:

$${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,}$$

dónde${\displaystyle \omega }$en aplicaciones puede ser una frecuencia angular y

$${\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,}$$

es el núcleo de coseno y seno (cas) o núcleo de Hartley . En términos de ingeniería, esta transformada lleva una señal (función) del dominio del tiempo al dominio espectral de Hartley (dominio de la frecuencia).

Esta transformada difiere de la transformada clásica de Fourier. ${\displaystyle \ F(\omega )\equiv {\mathcal {F}}\ {\bigl \{}\ f(t)\ {\bigr \}}(\omega )\ }$en la elección del núcleo; en la transformada de Fourier clásica, tenemos el núcleo exponencial, ${\displaystyle \ \exp \left({-\mathrm {i} \ \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \ \sin(\omega t)\ ,}$ dónde${\displaystyle \ \mathrm {i} \ }$es la unidad imaginaria .

Sin embargo, las dos transformaciones están estrechamente relacionadas y – suponiendo que ambas utilicen la misma${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ }$Convención de normalización: la transformada de Fourier se puede calcular a partir de la transformada de Hartley mediante:

$${\displaystyle F(\omega )={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )+H(-\omega )\ {\bigr ]}-\mathrm {i} \ {\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )-H(-\omega )\ {\bigr ]}~.}$$

Es decir, las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier vienen dadas simplemente por las partes par e impar de la transformada de Hartley, respectivamente.

Por el contrario, para funciones de valor real${\displaystyle \ f(t)\ ,}$La transformada de Hartley se obtiene a partir de las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier:

$${\displaystyle \operatorname {\mathcal {H}} {\bigl \{}\ f\ {\bigr \}}=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}\ -\ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}={\mathcal {R_{e}}}{\Bigl \{}\ \operatorname {\mathcal {F}} \ {\bigl [}f\cdot \left(1+\mathrm {i} \right){\bigr ]}\ {\Bigr \}}\ ,}$$

dónde${\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\ }$y${\displaystyle \ {\mathcal {I_ {m}}}\ }$denota las partes real e imaginaria.

La transformada de Hartley es un operador lineal real y es simétrica (y hermitiana ). De las propiedades de simetría y autoinversa, se deduce que la transformada es un operador unitario (de hecho, ortogonal ).

La convolución mediante transformadas de Hartley es ^{[ 4 ]}$${\displaystyle f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}}$$ dónde${\displaystyle F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )}$y${\displaystyle G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )}$

De forma similar a la transformada de Fourier, la transformada de Hartley de una función par/impar es par/impar, respectivamente.

• cis (matemáticas)
• Transformada fraccional de Fourier

• Bracewell, Ronald N. (1986). Escrito en Stanford, California, EE. UU. La transformación de Hartley . Oxford Engineering Science Series. Vol.  19 (1.ª  ed.). Nueva York, NY, EE. UU.: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6.(Nota: También traducido al alemán y al ruso.)
• Bracewell, Ronald N. (1994). "Aspectos de la transformada de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 381– 387. doi : 10.1109/5.272142 .
• Millane, Rick P. (1994). "Propiedades analíticas de la transformada de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 413– 428. doi : 10.1109/5.272146 .

• Olnejniczak, Kraig J.; Heydt, Gerald T., eds. (marzo de 1994). "Análisis de la sección especial sobre la transformada de Hartley" . Número especial sobre la transformada de Hartley . Vol.  82. Actas del IEEE . págs. 372–380 . Consultado el 31 de octubre de 2017 . (Nota: Contiene una extensa bibliografía.)