Punto cardinal (óptica)

Por definición, el foco frontal de un sistema óptico tiene la propiedad de que cualquier rayo que lo atraviese emergerá del sistema paralelo al eje óptico . El foco posterior del sistema tiene la propiedad opuesta: los rayos que entran al sistema paralelos al eje óptico se enfocan de tal manera que pasan por el foco posterior.

Los planos focales anterior y posterior se definen como los planos perpendiculares al eje óptico que pasan por los puntos focales anterior y posterior. Un objeto situado infinitamente lejos del sistema óptico forma una imagen en el plano focal posterior. Para un objeto situado a una distancia finita, la imagen se forma en una ubicación diferente, pero los rayos que salen del objeto paralelamente entre sí se cruzan en el plano focal posterior.

Un diafragma o "tope" en el plano focal posterior de una lente se puede usar para filtrar rayos por ángulo, ya que una apertura centrada en el eje óptico solo dejará pasar los rayos que fueron emitidos por el objeto con un ángulo suficientemente pequeño respecto al eje óptico. Usar una apertura suficientemente pequeña en el plano focal posterior hará que la lente sea telecéntrica en el espacio objeto .

De forma similar, el rango de ángulos permitidos en la salida del objetivo se puede filtrar colocando una apertura en el plano focal frontal del objetivo (o en un grupo de lentes dentro del objetivo general), y una apertura suficientemente pequeña hará que el espacio de imagen del objetivo sea telecéntrico . Esto es importante para las cámaras DSLR con sensores CCD . Los píxeles de estos sensores son más sensibles a los rayos que inciden directamente que a los que inciden en ángulo. Un objetivo que no controla el ángulo de incidencia en el detector producirá viñeteo de píxeles en las imágenes.

The two principal planes of a lens have the property that a ray emerging from the lens appears to have crossed the rear principal plane at the same distance from the optical axis that the ray appeared to have crossed the front principal plane, as viewed from the front of the lens. This means that the lens can be treated as if all of the refraction happened at the principal planes, and rays travel parallel to the optical axis between the planes. (Linear magnification between the principal planes is +1.) The principal planes are crucial in defining the properties of an optical system, since the magnification of the system is determined by the distance from an object to the front principal plane and the distance from the rear principal plane to the object's image. The principal points are the points where the principal planes cross the optical axis.

If the medium surrounding an optical system has a refractive index of 1 (e.g., air or vacuum), then the distance from each principal plane to the corresponding focal point is just the focal length of the system. In the more general case, the distance to the foci is the focal length multiplied by the index of refraction of the medium.

For a single lens surrounded by a medium of refractive index n = 1, the locations of the principal points H and H′ with respect to the respective lens vertices are given by the formulas $${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{2}n}}\\H'&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{1}n}},\end{aligned}}}$$ where f is the focal length of the lens, d is its thickness, and r₁ and r₂ are the radii of curvature of its surfaces. Positive signs indicate distances to the right of the corresponding vertex, and negative to the left.^[4]

For a thin lens in air, the principal planes both lie at the location of the lens. The point where they cross the optical axis is sometimes misleadingly called the optical centre of the lens. For a real lens the principal planes do not necessarily pass through the centre of the lens and can even be outside the lens.

Los nodos anterior y posterior de una lente tienen la propiedad de que un rayo que incide sobre uno de ellos se refracta de tal manera que parece provenir del otro con el mismo ángulo respecto al eje óptico. (La magnificación angular entre los nodos es +1). Por lo tanto, los nodos hacen con los ángulos lo que los planos principales hacen con la distancia transversal. Si el medio a ambos lados de un sistema óptico es el mismo (por ejemplo, aire o vacío), entonces los nodos anterior y posterior coinciden con los puntos principales anterior y posterior, respectivamente.

El artículo original de Gauss de 1841 solo trataba sobre los rayos principales que pasaban por los puntos focales. Un colega, Johann Listing , fue el primero en describir los puntos nodales en 1845 para evaluar el ojo humano , donde la imagen se encuentra en un fluido. ^{[ 5 ]} Los puntos cardinales se incluyeron en un solo diagrama ya en 1864 (Donders), con el objeto en el aire y la imagen en un medio diferente.

Los puntos nodales caracterizan un rayo que pasa por el centro de una lente sin desviación angular. Para una lente en el aire con el diafragma en los planos principales, este sería un rayo principal, ya que los puntos nodales y los puntos principales coinciden en este caso. Esto constituye una valiosa aportación a lo que se conoce como "óptica gaussiana", y si la imagen estuviera en un fluido, ese mismo rayo se refractaría en el nuevo medio, como se muestra en el diagrama de la derecha. Un rayo que pasa por los puntos nodales tiene porciones de entrada y salida paralelas (azul). Un método sencillo para hallar el punto nodal posterior de una lente con aire a un lado y fluido al otro consiste en dividir la distancia focal posterior f ' por el índice de refracción del medio de la imagen, lo que da como resultado la distancia focal efectiva (EFL) de la lente. La EFL es la distancia desde el punto nodal posterior hasta el punto focal posterior.

La potencia de una lente es igual a 1/EFL o n ′ / f ′ . Para luz colimada, se podría colocar una lente en el aire en el segundo punto nodal de un sistema óptico para dar las mismas propiedades paraxiales que un sistema de lentes original con una imagen en un fluido. ^{[ 5 ] [ 6 ]} La potencia de todo el ojo es de aproximadamente 60 dioptrías , por ejemplo. De manera similar, una lente utilizada totalmente en un fluido, como una lente intraocular , tiene la misma definición de potencia, con un valor promedio de aproximadamente 21 dioptrías.

Puntos nodales y el ojo

El ojo mismo tiene un segundo uso especial del punto nodal que tiende a quedar oscurecido por las discusiones sobre la paraxialidad. La córnea y la retina son muy curvas, a diferencia de la mayoría de los sistemas de imagen, y el diseño óptico del ojo tiene la propiedad de que una "línea de dirección" paralela a los rayos incidentes puede usarse para determinar la magnificación o para escalar las ubicaciones de la retina. Esta línea pasa aproximadamente por el segundo punto nodal, pero en lugar de ser un rayo paraxial real, identifica la imagen formada por haces de rayos que pasan por el centro de la pupila. La terminología proviene de Volkmann en 1836, ^{[ 7 ]} pero la mayoría de las discusiones implican erróneamente que las propiedades paraxiales de los rayos se extienden a ángulos muy grandes, en lugar de reconocer esto como una propiedad única del diseño del ojo. Esta propiedad de escala es bien conocida, muy útil y muy simple: los ángulos trazados con una regla centrada en el polo posterior del cristalino en una sección transversal del ojo pueden escalar aproximadamente la retina en más de un hemisferio completo. Fue solo en la década de 2000 cuando se hicieron evidentes las limitaciones de esta aproximación, con una investigación sobre por qué algunos pacientes con lentes intraoculares (LIO) ven sombras oscuras en la periferia lejana (disfotopsia negativa, que probablemente se deba a que la LIO es mucho más pequeña que el cristalino natural).

Centro óptico

El centro óptico de una lente esférica es un punto tal que, si un rayo lo atraviesa, su trayectoria tras salir de la lente será paralela a la trayectoria que seguía antes de entrar en ella.

En la figura de la derecha, ^{[ 8 ]} los puntos A y B son donde las líneas paralelas de radios de curvatura R ₁ y R ₂ se encuentran con las superficies de la lente. Como resultado, las líneas punteadas tangentes a las superficies en A y B también son paralelas. Debido a que dos triángulos OBC ₂ y OAC ₁ son semejantes (es decir, sus ángulos son iguales),${\textstyle {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {OC_{2}}}}={\frac {\overline {R_{1}}}{\overline {OC_{1}}}}\rightarrow {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {R_{1}}}}={\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$. En cualquier elección de A y B , los radios de curvatura${\textstyle {\overline {R_ {1}}}}$y${\displaystyle {\overline {R_{2}}}}$son iguales y las ubicaciones del centro de curvatura${\textstyle C_{1}}$y${\textstyle C_{2}}$también son iguales. Como resultado, la ubicación del centro óptico O , definida por la relación${\textstyle {\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$en el eje óptico, es fijo para una lente dada.

En óptica, los vértices de superficie son los puntos donde cada superficie óptica cruza el eje óptico. Son importantes principalmente porque son parámetros físicamente medibles para las posiciones de los elementos ópticos, por lo que es necesario conocer las posiciones de los puntos cardinales del sistema óptico con respecto a los vértices de superficie para describir el sistema.

En anatomía , los vértices de la superficie del cristalino del ojo se denominan polos anterior y posterior del cristalino. ^{[ 13 ]}

Un sistema óptico es simétrico rotacionalmente si sus propiedades de imagen no se modifican ante ninguna rotación alrededor de un eje. Este eje (único) de simetría rotacional es el eje óptico del sistema. Los sistemas ópticos pueden plegarse mediante espejos planos; el sistema se considera simétrico rotacionalmente si conserva dicha simetría al desplegarse. Cualquier punto sobre el eje óptico (en cualquier espacio) es un punto axial .

La simetría rotacional simplifica enormemente el análisis de sistemas ópticos, que de otro modo deben analizarse en tres dimensiones. Esta simetría permite analizar el sistema considerando únicamente los rayos confinados a un único plano transversal que contiene el eje óptico. Dicho plano se denomina plano meridional y representa una sección transversal del sistema.

Un sistema de imágenes ópticas ideal , con simetría rotacional, debe cumplir tres criterios:

1. Todos los rayos que "se originan" en cada punto del objeto convergen en un único punto de imagen; la formación de imágenes es estigmática .
2. Los planos del objeto perpendiculares al eje óptico son conjugados a los planos de la imagen perpendiculares al eje.
3. La imagen de un objeto confinado a un plano normal al eje es geométricamente similar al objeto.

En algunos sistemas ópticos, la formación de imágenes es estigmática para uno o quizás unos pocos puntos del objeto, pero para que un sistema sea ideal, debe ser estigmática para cada punto del objeto. En un sistema ideal, cada punto del objeto se corresponde con un punto de imagen diferente.

A diferencia de los rayos en matemáticas , los rayos ópticos se extienden hasta el infinito en ambas direcciones. Los rayos son reales cuando se encuentran en la parte del sistema óptico a la que se aplican, y virtuales en cualquier otro lugar. Por ejemplo, los rayos de objeto son reales en el lado del objeto del sistema óptico, mientras que los rayos de imagen son reales en el lado de la imagen. En la formación de imágenes estigmáticas, un rayo de objeto que interseca cualquier punto específico en el espacio de objeto debe ser conjugado a un rayo de imagen que interseca el punto conjugado en el espacio de imagen. Como consecuencia, cada punto de un rayo de objeto es conjugado a algún punto del rayo de imagen conjugado.

La similitud geométrica implica que la imagen es una maqueta a escala del objeto. No hay restricciones en la orientación de la imagen; esta puede estar invertida o rotada con respecto al objeto.

Los sistemas afocales no tienen puntos focales, puntos principales ni nodos. En estos sistemas, un rayo objeto paralelo al eje óptico es conjugado a un rayo imagen paralelo al eje óptico. Un sistema es focal si un rayo objeto paralelo al eje es conjugado a un rayo imagen que interseca el eje óptico. La intersección del rayo imagen con el eje óptico es el punto focal F ′ en el espacio imagen. Los sistemas focales también tienen un punto objeto axial F tal que cualquier rayo que pase por F es conjugado a un rayo imagen paralelo al eje óptico. F es el punto focal del sistema en el espacio objeto.

La transformación entre el espacio del objeto y el espacio de la imagen está completamente definida por los puntos cardinales del sistema, y ​​estos puntos pueden utilizarse para mapear cualquier punto del objeto a su punto de imagen conjugado.