elipsoide índice

En óptica de cristales , el elipsoide índice  (también conocido como indicatriz óptica  ^{[ 1 ]} o, a veces, como elipsoide dieléctrico  ^{[ 2 ]} ) es una construcción geométrica que representa de forma concisa los índices de refracción y  las polarizaciones asociadas de la luz, en función de la orientación del frente de onda , en un cristal birrefringente (siempre que el cristal no presente rotación óptica ). Cuando este elipsoide se corta por su centro mediante un plano paralelo al frente de onda, la intersección resultante (denominada sección central o sección diametral ) es una elipse cuyos semiejes mayor y menor tienen longitudes iguales a los dos índices de refracción para esa orientación del frente de onda, y tienen las direcciones de las polarizaciones respectivas expresadas por el vector ^de desplazamiento eléctrico D. ^{[ 3} ] Los semiejes principales del elipsoide índice se denominan índices de refracción principales . ^{[ 4 ]}  

Del procedimiento de seccionamiento se deduce que cada semieje principal del elipsoide generalmente no corresponde al índice de refracción para la propagación en la dirección de dicho semieje, sino más bien al índice de refracción para la propagación perpendicular a este, con el vector D paralelo a dicho semieje (y paralelo al frente de onda). Por lo tanto, la dirección de propagación (normal al frente de onda) a la que se aplica cada índice de refracción principal se encuentra en el plano perpendicular al semieje principal asociado.

El elipsoide índice no debe confundirse con la superficie índice  , cuyo vector de radio (desde el origen) en cualquier dirección es de hecho el índice de refracción para la propagación en esa dirección; para un medio birrefringente, la superficie índice es la superficie de dos hojas cuyos dos vectores de radio en cualquier dirección tienen longitudes iguales a los semiejes mayor y menor de la sección diametral del elipsoide índice por un plano normal a esa dirección.

Si dejamos${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$denotemos los semiejes principales del elipsoide índice y elijamos un sistema de coordenadas cartesianas en el que estos semiejes estén respectivamente en el${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$direcciones, la ecuación del elipsoide índice es

Si el elipsoide de índice es triaxial (lo que significa que sus semiejes principales son todos desiguales), hay dos planos de corte para los cuales la sección diametral se reduce a un círculo. Para frentes de onda paralelos a estos planos, todas las polarizaciones están permitidas y tienen el mismo índice de refracción, por lo tanto, la misma velocidad de onda. Las direcciones normales a estos dos planos —es decir, las direcciones de una única velocidad de onda para todas las polarizaciones— se denominan ejes binormales  ^{[ 5 ]} u ejes ópticos [ ^{6 ]} , y por lo tanto se dice que el medio es biaxial . ^{[ Nota 1 ] Así, paradójicamente, si el elipsoide de} índice de un medio es triaxial , el medio mismo se denomina biaxial .

Si dos de los semiejes principales del elipsoide índice son iguales (en cuyo caso su longitud común se llama índice ordinario , y la tercera longitud índice extraordinario ), el elipsoide se reduce a un esferoide (elipsoide de revolución), y los dos ejes ópticos se fusionan, de modo que se dice que el medio es uniaxial . ^{[ Nota 2 ]} Como el elipsoide índice se reduce a un esferoide, la superficie índice de dos hojas construida a partir de él se reduce a una esfera y un esferoide que se tocan en los extremos opuestos de su eje común, que es paralelo al del elipsoide índice; ^{[ 7 ]} pero los ejes principales del elipsoide índice esferoidal y la hoja esferoidal de la superficie índice se intercambian. En el conocido caso de la calcita , por ejemplo, el elipsoide índice es un esferoide achatado , de modo que una lámina de la superficie índice es una esfera que toca dicho esferoide achatado en el ecuador, mientras que la otra lámina de la superficie índice es un esferoide prolato que toca la esfera en los polos, con un radio ecuatorial (índice extraordinario) igual al radio polar del elipsoide índice esferoidal achatado. ^{[ Nota 3 ]}

Si los tres semiejes principales del elipsoide índice son iguales, este se reduce a una esfera: todas las secciones diametrales del elipsoide índice son circulares, por lo que se permiten todas las polarizaciones en todas las direcciones de propagación, con el mismo índice de refracción en todas las direcciones, y la superficie índice se fusiona con el elipsoide índice (esférico); en resumen, el medio es ópticamente isótropo . Los cristales cúbicos exhiben esta propiedad ^{[ 8 ]} , así como los medios transparentes amorfos como el vidrio y el agua ^{[ 9 ] .}

Se puede definir una superficie análoga al elipsoide de índice para la velocidad de onda (normal al frente de onda) en lugar del índice de refracción. Sea n la longitud del vector de radio desde el origen hasta un punto cualquiera del elipsoide de índice. Entonces ^, dividiendo la ecuación  ( 1 ) por n² se obtiene

dónde${\displaystyle \cos \xi }$,${\displaystyle \cos \eta }$, y${\displaystyle \cos \zeta }$son los cosenos directores del vector de radio. Pero n también es el índice de refracción para un frente de onda paralelo a una sección diametral cuyo vector de radio es el semieje mayor o menor. Si ese frente de onda tiene velocidad${\displaystyle v}$, tenemos${\displaystyle n=c_{0}/v}$, dónde${\displaystyle c_{0}}$es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[ Nota 4 ]} Para los semiejes principales del elipsoide índice, para los cuales n toma los valores${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}}n_{\text{c}},}$dejar${\displaystyle v}$tomar los valores a, b, c , respectivamente, de modo que${\displaystyle n_{\text{a}}=c_{0}/a,}$ ${\displaystyle n_{\text{b}}=c_{0}/b,}$y${\displaystyle n_{\text{c}}=c_{0}/c}$Realizando estas sustituciones en ( 2 ) y cancelando el factor común${\displaystyle c_{0}^{2}}$, obtenemos

Esta ecuación fue derivada por Augustin-Jean Fresnel en enero de 1822. ^{[ 10 ]} Si${\displaystyle v}$es la longitud del vector de radio, la ecuación describe una superficie con la propiedad de que los semiejes mayor y menor de cualquier sección diametral tienen longitudes iguales a las velocidades normales de onda de los frentes de onda paralelos a esa sección, y las direcciones de lo que Fresnel llamó las "vibraciones" (que ahora reconocemos como oscilaciones de D ).

Mientras que la superficie descrita por ( 1 ) está en el espacio de índices (en el que las coordenadas son números adimensionales), la superficie descrita por ( 3 ) está en el espacio de velocidades (en el que las coordenadas tienen unidades de velocidad). Mientras que la primera superficie es de segundo grado, la segunda es de cuarto grado, como se puede verificar redefiniendo${\displaystyle x,y,z}$como componentes de velocidad y puesta${\displaystyle \cos \xi =x/v}$etc.; por lo tanto, la última superficie  ( 3 ) generalmente no es un elipsoide, sino otro tipo de ovaloide . Y así como el elipsoide índice genera la superficie índice, la superficie  ( 3 ), por el mismo proceso, genera lo que llamamos la superficie de velocidad normal . ^{[ Nota 5 ]} Por lo tanto, la superficie  ( 3 ) podría llamarse razonablemente "ovalado de velocidad normal". Sin embargo, Fresnel la llamó superficie de elasticidad , porque la derivó suponiendo que las ondas de luz eran ondas elásticas transversales, que el medio tenía tres direcciones perpendiculares en las que un desplazamiento de una molécula producía una fuerza restauradora en la dirección exactamente opuesta, y que la fuerza restauradora debida a una suma vectorial de desplazamientos era la suma vectorial de las fuerzas restauradoras debidas a los desplazamientos individuales. ^{[ 10 ]}

Fresnel pronto se dio cuenta de que el elipsoide construido sobre los mismos semiejes principales que la superficie de elasticidad tiene la misma relación con las velocidades de los rayos que la superficie de elasticidad con las velocidades normales de la onda. ^{[ 11 ] [ 12 ]} El elipsoide de Fresnel ahora se llama elipsoide de rayos . Así, en términos modernos, el elipsoide de rayos genera las velocidades de los rayos como el elipsoide de índices genera los índices de refracción. Los semiejes mayor y menor de la sección diametral del elipsoide  ^de rayos están en las direcciones permitidas del vector del campo eléctrico E. ^{[ 13} ]

El término superficie índice  fue acuñado por James MacCullagh en 1837. ^{[ 14 ]} En un artículo anterior, leído en 1833, MacCullagh había llamado a esta superficie "superficie de refracción" y demostró que es generada por los semiejes mayor y menor de una sección diametral de un elipsoide cuyos semiejes principales son inversamente proporcionales a los del elipsoide de Fresnel, ^{[ 15 ]} y que MacCullagh más tarde llamó "elipsoide de índices". ^{[ 16 ]} En 1891, Lazarus Fletcher llamó a este elipsoide indicatriz óptica  . ^{[ 17 ]}

Derivar el elipsoide índice y su propiedad generadora a partir de la teoría electromagnética no es trivial. ^{[ 18 ]} Sin embargo, dado el elipsoide índice, podemos relacionar fácilmente sus parámetros con las propiedades electromagnéticas del medio.

La velocidad de la luz en el vacío es $${\displaystyle c_{0}=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$ dónde${\displaystyle \mu _{0}}$y${\displaystyle \epsilon _{0}}$son respectivamente la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del vacío. Para un medio material transparente, todavía podemos suponer razonablemente que la permeabilidad magnética es${\displaystyle \mu _{0}}$(especialmente en frecuencias ópticas), ^{[ 19 ]} pero${\displaystyle \epsilon _{0}}$debe ser reemplazado por ${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}\;\!,}$dónde${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$ es la permitividad relativa (también llamada constante dieléctrica  ), de modo que la velocidad de la onda se convierte en $${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}}}\,.}$$ Divisor${\displaystyle c_{0}}$por${\displaystyle v}$, obtenemos el índice de refracción: $${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}}\,.}$$ Esta derivación trata${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$como escalar, lo cual es válido en un medio isotrópico. En un medio anisotrópico , el resultado se cumple solo para aquellas combinaciones de dirección de propagación y polarización que evitan la anisotropía, es decir, para aquellos casos en los que el vector de desplazamiento eléctrico D es paralelo al vector de campo eléctrico E , como en un medio isotrópico. En vista de la simetría del elipsoide índice, estos deben ser los casos en los que D está en la dirección de uno de los ejes. Por lo tanto, denotando las permitividades relativas en el${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$instrucciones por${\displaystyle \epsilon _ {x}\;\!,\epsilon _ {y},\epsilon _ {z}}$(las llamadas constantes dieléctricas principales ), y recordando que${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$denotemos los índices de refracción para estas direcciones de D , debemos tener $${\displaystyle n_{\text{a}}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{\text{b}}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{\text{c}}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$ indicando que los semiejes del elipsoide índice son las raíces cuadradas de las constantes dieléctricas principales. ^{[ 20 ]} Sustituyendo estas expresiones en ( 1 ), obtenemos la ecuación del elipsoide índice en la forma alternativa ^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$ lo que explica por qué también se le llama elipsoide dieléctrico .

• Birrefringencia
• Índice de refracción complejo
• Óptica de cristal
• D-DIA
• Descripciones matemáticas de la opacidad

• M. Born y E. Wolf, 2002, Principios de óptica , 7.ª  ed., Cambridge University Press, 1999 (reimpreso con correcciones, 2002), ISBN 978-0-521-64222-4.
• A. Fresnel (ed. H. de Senarmont, E. Verdet y L. Fresnel), 1868, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , París: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866-1870), vol. 2 (1868) .         
• FA Jenkins y HE White, 1976, Fundamentos de óptica , 4.ª  ed., Nueva  York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5.
• LD Landau y EM  Lifshitz (trad. JB Sykes y JS Bell), 1960, Electrodinámica de medios continuos (vol. 8 del Curso de física teórica ), Londres: Pergamon Press.     
• A. Yariv y P. Yeh, 1984, Ondas ópticas en cristales: Propagación y control de la radiación láser , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-09142-1.
• F. Zernike y JE Midwinter, 1973, Óptica no lineal aplicada , Nueva York: Wiley (reimpreso en Mineola, NY: Dover, 2006).