Ecuaciones de proyección óptimas

El problema de control LQG de orden reducido es casi idéntico al problema de control LQG convencional de orden completo . Sea${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)}$representa el estado del controlador LQG de orden reducido. Entonces la única diferencia es la dimensión del estado.${\displaystyle n_{r}=dim({\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t))}$del controlador LQG está fijado a priori para ser menor que${\displaystyle n=dim({\mathbf {x} }(t))}$, la dimensión de estado del sistema controlado.

El controlador LQG de orden reducido se representa mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=A_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+B_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t).}$

Estas ecuaciones se presentan deliberadamente en un formato que es igual al del controlador LQG convencional de orden completo . Para el problema de control LQG de orden reducido, es conveniente reescribirlas como

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=F_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+K_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t),}$

dónde

${\displaystyle F_{r}(t)=A_{r}(t)-B_{r}(t)L_{r}(t)-K_{r}(t)C_{r}(t).}$

Las matrices${\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)}$y${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)}$del controlador LQG de orden reducido se determinan mediante las llamadas ecuaciones de proyección óptimas ( OPE ). ^{[ 3 ]}

La matriz de proyección óptima cuadrada${\displaystyle \tau (t)}$con dimensión${\displaystyle n}$es fundamental para el OPE . El rango de esta matriz es casi en todas partes igual a${\displaystyle n_{r}.}$La proyección asociada es una proyección oblicua:${\displaystyle \tau ^{2}(t)=\tau (t).}$El OPE consta de cuatro ecuaciones diferenciales matriciales. Las dos primeras ecuaciones que se enumeran a continuación son generalizaciones de las ecuaciones diferenciales matriciales de Riccati asociadas al controlador LQG convencional de orden completo . En estas ecuaciones${\displaystyle \tau _{\perp }(t)}$denota${\displaystyle I_{n}-\tau (t)}$dónde${\displaystyle I_{n}}$es la matriz identidad de dimensión${\displaystyle n}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}}$

${\displaystyle S(T)=F.}$

Si no se reduce la dimensión del controlador LQG, es decir, si${\displaystyle n=n_{r}}$, entonces${\displaystyle \tau (t)=I_{n},\tau _{\perp }(t)=0}$y las dos ecuaciones anteriores se convierten en las ecuaciones diferenciales matriciales de Riccati desacopladas asociadas al controlador LQG convencional de orden completo . Si${\displaystyle n_{r}<n}$Las dos ecuaciones están acopladas por la proyección oblicua.${\displaystyle \tau (t).}$Esto revela por qué el problema LQG de orden reducido no es separable . La proyección oblicua${\displaystyle \tau (t)}$se determina a partir de dos ecuaciones diferenciales matriciales adicionales que involucran condiciones de rango . Junto con las dos ecuaciones diferenciales matriciales anteriores, estas constituyen la OPE . Para enunciar las dos ecuaciones diferenciales matriciales adicionales, es conveniente introducir las siguientes dos matrices:

${\displaystyle \Psi _{1}(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)){\hat {P}}(t)+{\hat {P}}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'}$

${\displaystyle {}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),}$

${\displaystyle \Psi _{2}(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))'{\hat {S}}(t)+{\hat {S}}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))}$

${\displaystyle {}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).}$

A continuación, las dos ecuaciones diferenciales matriciales adicionales que completan la OPE son las siguientes:

${\displaystyle {\dot {\hat {P}}}(t)=1/2\left(\tau (t)\Psi _{1}(t)+\Psi _{1}(t)\tau '(t)\right),{\hat {P}}(0)=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}(t))=n_{r}}$ casi en todas partes,

${\displaystyle -{\dot {\hat {S}}}(t)=1/2\left(\tau '(t)\Psi _{2}(t)+\Psi _{2}(t)\tau (t)\right),{\hat {S}}(T)=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}(t))=n_{r}}$casi en todas partes,

con

${\displaystyle \tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{*}.}$

Aquí * denota el inverso generalizado de grupo o inverso de Drazin que es único y está dado por

${\displaystyle A^{*}=A(A^{3})^{+}A.}$

donde + denota la pseudoinversa de Moore-Penrose .

Las matrices${\displaystyle P(t),S(t),{\hat {P}}(t),{\hat {S}}(t)}$Todas deben ser simétricas no negativas . Entonces constituyen una solución de la OPE que determina las matrices del controlador LQG de orden reducido.${\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)}$y${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)}$:

${\displaystyle F_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),}$

${\displaystyle K_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),}$

${\displaystyle L_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).}$

En las ecuaciones anteriores las matrices${\displaystyle G(t),H(t)}$son dos matrices con las siguientes propiedades:

${\displaystyle G'(t)H(t)=\tau (t),G(t)H'(t)=I_{n_{r}}}$casi en todas partes.

Se pueden obtener a partir de una factorización proyectiva de${\displaystyle {\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)}$. ^{[ 4 ]}

La OPE se puede expresar de muchas maneras diferentes, todas ellas equivalentes. Para identificar las representaciones equivalentes, las siguientes identidades resultan especialmente útiles:

${\displaystyle \tau (t){\hat {P}}(t)={\hat {P}}(t)\tau '(t)={\hat {P}}(t),\tau '(t){\hat {S}}(t)={\hat {S}}(t)\tau (t)={\hat {S}}(t)}$

Utilizando estas identidades, se pueden reescribir, por ejemplo, las dos primeras ecuaciones de proyección óptimas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)+\tau _{\perp }(t)\Psi _{1}(t)\tau '_{\perp }(t),}$

${\displaystyle P(0)=E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),}$

${\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)+\tau '_{\perp }\Psi _{2}(t)\tau _{\perp }(t),}$

${\displaystyle S(T)=F.}$

Esta representación es relativamente sencilla y adecuada para cálculos numéricos.

Si todas las matrices en la formulación del problema LQG de orden reducido son invariantes en el tiempo y si el horizonte${\displaystyle T}$cuando tiende a infinito, el controlador LQG de orden reducido óptimo se vuelve invariante en el tiempo y también lo hace la OPE . ^{[ 1 ]} En ese caso, las derivadas del lado izquierdo de la OPE son cero.

De forma similar al caso de tiempo continuo, en el caso de tiempo discreto la diferencia con el problema LQG convencional de orden completo en tiempo discreto es el orden reducido fijo a priori${\displaystyle n_{r}<n}$de la dimensión del estado del controlador LQG. Al igual que en tiempo continuo, para enunciar el OPE en tiempo discreto es conveniente introducir las dos matrices siguientes:

${\displaystyle \Psi _{i}^{1}=\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right){\hat {P}}_{i}\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right)'}$

${\displaystyle {}+A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}P_{i}A'_{i}}$

${\displaystyle \Psi _{i+1}^{2}=\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)'{\hat {S}}_{i+1}\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)}$

${\displaystyle {}+A'_{i}S_{i+1}B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i}}$

Entonces, la OPE de tiempo discreto es

${\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A'_{i}+V_{i}+\tau _{\perp i+1}\Psi _{i}^{1}\tau '_{\perp i+1},P_{0}=E\left({\mathbf {x} }_{0}{\mathbf {x'} }_{0}\right)}$.

${\displaystyle S_{i}=A'_{i}\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i}+\tau '_{\perp i}\Psi _{i+1}^{2}\tau _{\perp i},S_{N}=F}$.

${\displaystyle {\hat {P}}_{i+1}=1/2(\tau _{i+1}\Psi _{i}^{1}+\Psi _{i}^{1}\tau '_{i+1}),{\hat {P}}_{0}=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}_{i})=n_{r}}$ casi en todas partes,

${\displaystyle {\hat {S}}_{i}=1/2(\tau '_{i}\Psi _{i+1}^{2}+\Psi _{i+1}^{2}\tau _{i}),{\hat {S}}_{N}=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}_{i})=n_{r}}$casi en todas partes.

La matriz de proyección oblicua viene dada por

${\displaystyle \tau _{i}={\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\left({\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\right)^{*}.}$

Las matrices simétricas no negativas${\displaystyle P_{i},S_{i},{\hat {P}}_{i},{\hat {S}}_{i}}$que resuelven el OPE de tiempo discreto determinan las matrices del controlador LQG de orden reducido${\displaystyle F_{i}^{r},K_{i}^{r},L_{i}^{r}}$y${\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}}$:

${\displaystyle F_{i}^{r}=H_{i+1}\left(A_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}-B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)G'_{i},}$

${\displaystyle K_{i}^{r}=H_{i+1}P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1},}$

${\displaystyle L_{i}^{r}=\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}G'_{i},}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}=H_{0}E({\mathbf {x} }_{0}).}$

En las ecuaciones anteriores las matrices${\displaystyle G_{i},H_{i}}$son dos matrices con las siguientes propiedades:

${\displaystyle G'_{i}H_{i}=\tau _{i},G_{i}H'_{i}=I_{n_{r}}}$casi en todas partes.

Se pueden obtener a partir de una factorización proyectiva de${\displaystyle {\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}}$. ^{[ 4 ]} Para identificar representaciones equivalentes del OPE de tiempo discreto, las siguientes identidades son especialmente útiles:

${\displaystyle \tau _{i}{\hat {P}}_{i}={\hat {P}}_{i}\tau '_{i}={\hat {P}}_{i},\tau '_{i}{\hat {S}}_{i}={\hat {S}}_{i}\tau _{i}={\hat {S}}_{i}}$

Como en el caso de tiempo continuo, si todas las matrices en la formulación del problema son invariantes en el tiempo y si el horizonte${\displaystyle N}$Cuando tiende a infinito, el controlador LQG de orden reducido se vuelve invariante en el tiempo. Entonces, el OPE de tiempo discreto converge a una solución de estado estacionario que determina el controlador LQG de orden reducido invariante en el tiempo. ^{[ 2 ]}

Las OPE de tiempo discreto también se aplican a sistemas de tiempo discreto con dimensiones de estado, entrada y salida variables (sistemas de tiempo discreto con dimensiones variables en el tiempo). ^{[ 6 ]} Estos sistemas surgen en el caso del diseño de controladores digitales si el muestreo se produce de forma asíncrona.