Órbita (teoría de control)

La noción de órbita de un sistema de control utilizada en la teoría matemática del control es un caso particular de la noción de órbita en la teoría de grupos . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Dejar ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ ser un${\displaystyle \ {\mathcal {C}}^{\infty }}$sistema de control, donde ${\displaystyle {\ q}}$ pertenece a una variedad de dimensión finita${\displaystyle \ M}$y${\displaystyle \ u}$pertenece a un conjunto de control${\displaystyle \ U}$. Consideremos a la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$ y supongamos que cada campo vectorial en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$está completo . Para cada${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$y cada real${\displaystyle \ t}$, denotemos por${\displaystyle \ e^{tf}}$el flujo de${\displaystyle \ f}$en ese momento${\displaystyle \ t}$.

La órbita del sistema de control${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$a través de un punto${\displaystyle q_{0}\in M}$es el subconjunto${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$de${\displaystyle \ M}$definido por

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}=\{e^{t_{k}f_{k}}\circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.}$

Observaciones

La diferencia entre órbitas y conjuntos alcanzables es que, mientras que para los conjuntos alcanzables solo se permiten movimientos hacia adelante en el tiempo, para las órbitas se permiten tanto movimientos hacia adelante como hacia atrás. En particular, si la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es simétrico (es decir,${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$si y solo si${\displaystyle -f\in {\mathcal {F}}}$), entonces las órbitas y los conjuntos alcanzables coinciden.

La hipótesis de que cada campo vectorial de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Es completo, simplifica las notaciones, pero puede omitirse. En este caso, hay que reemplazar los flujos de campos vectoriales por versiones locales de los mismos.

Cada órbita${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$es una subvariedad inmersa de${\displaystyle \ M}$.

El espacio tangente a la órbita ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$en un punto${\displaystyle \ q}$es el subespacio lineal de${\displaystyle \ T_{q}M}$abarcado por los vectores${\displaystyle \ P_{*}f(q)}$dónde${\displaystyle \ P_{*}f}$denota el impulso hacia adelante de${\displaystyle \ f}$por ${\displaystyle \ P}$,${\displaystyle \ f}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle \ P}$es un difeomorfismo de${\displaystyle \ M}$de la forma ${\displaystyle e^{t_{k}f_{k}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}}$con${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$.

Si todos los campos vectoriales de la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$son analíticos, entonces${\displaystyle \ T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}=\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$dónde${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$es la evaluación en${\displaystyle \ q}$del álgebra de Lie generada por${\displaystyle {\mathcal {F}}}$con respecto al corchete de Lie de campos vectoriales . De lo contrario, la inclusión${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}\subset T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}}$es cierto.

Si${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$por cada${\displaystyle \ q\in M}$y si${\displaystyle \ M}$Si está conectado, entonces cada órbita es igual a toda la variedad.${\displaystyle \ M}$.

• Teorema de Frobenius (topología diferencial)

• Agrachev, Andrei; Sachkov, Yuri (2004). «El teorema de la órbita y sus aplicaciones» . Teoría de control desde el punto de vista geométrico . Berlín: Springer. pp. 63–80 . ISBN  3-540-21019-9.