ecuación orbital

En astrodinámica , una ecuación orbital define la trayectoria de un cuerpo en órbita.${\displaystyle m_{2}\,\!}$alrededor del cuerpo central${\displaystyle m_{1}\,\!}$relativo a${\displaystyle m_{1}\,\!}$, sin especificar la posición como una función del tiempo. Bajo supuestos estándar, un cuerpo que se mueve bajo la influencia de una fuerza, dirigida a un cuerpo central, con una magnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (como la gravedad), tiene una órbita que es una sección cónica (es decir, órbita circular , órbita elíptica , trayectoria parabólica , trayectoria hiperbólica o trayectoria radial ) con el cuerpo central ubicado en uno de los dos focos , o el foco ( primera ley de Kepler ).

Si la sección cónica interseca el cuerpo central, entonces la trayectoria real solo puede ser la parte que está por encima de la superficie, pero para esa parte la ecuación de la órbita y muchas fórmulas relacionadas siguen siendo aplicables, siempre que sea una caída libre (situación de ingravidez ).

Consideremos un sistema de dos cuerpos que consta de un cuerpo central de masa M y un cuerpo orbital mucho más pequeño de masa${\displaystyle m}$y supongamos que los dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central de ley inversa al cuadrado (como la gravitación ). En coordenadas polares , la ecuación de la órbita se puede escribir como ^{[ 1 ].}$${\displaystyle r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}}$$ dónde

• ${\displaystyle r}$es la distancia de separación entre los dos cuerpos y
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo que${\displaystyle \mathbf {r} }$se forma con el eje del periapsis (también llamado anomalía verdadera ).
• El parámetro${\displaystyle \ell }$es el momento angular del cuerpo en órbita alrededor del cuerpo central, y es igual a${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}}$, o la masa multiplicada por la magnitud del producto vectorial de los vectores de posición y velocidad relativos de los dos cuerpos. ^{[ nota 1 ]}
• El parámetro${\displaystyle \mu }$es la constante para la cual${\displaystyle \mu /r^{2}}$iguala la aceleración del cuerpo más pequeño (por gravedad,${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar ,${\displaystyle -GM}$). Para una órbita dada, cuanto mayor sea${\displaystyle \mu }$Cuanto más rápido se mueva el cuerpo en órbita dentro de ella: el doble de rápido si la atracción es cuatro veces más fuerte.
• El parámetro${\displaystyle e}$es la excentricidad de la órbita, y viene dada por ^{[ 1 ]}

  ${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}}$

  dónde${\displaystyle E}$es la energía de la órbita.

La relación anterior entre${\displaystyle r}$y${\displaystyle \theta }$describe una sección cónica . ^{[ 1 ]} El valor de${\displaystyle e}$controla qué tipo de sección cónica es la órbita:

• cuando${\displaystyle e<1}$, la órbita es elíptica (los círculos son elipses con${\displaystyle e=0}$);
• cuando${\displaystyle e=1}$, la órbita es parabólica ;
• cuando${\displaystyle e>1}$, la órbita es hiperbólica .

El valor mínimo de${\displaystyle r}$En la ecuación está: $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}}$$ mientras, si${\displaystyle e<1}$, el valor máximo es: $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$

Si el máximo es menor que el radio del cuerpo central, entonces la sección cónica es una elipse que se encuentra completamente dentro del cuerpo central y ninguna parte de ella es una trayectoria posible. Si el máximo es mayor, pero el mínimo es menor que el radio, parte de la trayectoria es posible:

• Si la energía es no negativa (órbita parabólica o hiperbólica): el movimiento es o bien alejándose del cuerpo central, o bien acercándose a él.
• si la energía es negativa: el movimiento puede ser primero alejándose del cuerpo central, hasta$${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$tras lo cual el objeto vuelve a caer.

Si${\displaystyle r}$Si el cuerpo en órbita entra en una atmósfera, entonces las suposiciones estándar ya no se aplican, como en el caso de la reentrada atmosférica .

Si el cuerpo central es la Tierra y la energía es solo ligeramente mayor que la energía potencial en la superficie terrestre, entonces la órbita es elíptica con una excentricidad cercana a 1 y un extremo de la elipse justo más allá del centro de la Tierra, y el otro extremo justo por encima de la superficie. Solo una pequeña parte de la elipse es aplicable.

Si la velocidad horizontal es${\displaystyle v\,\!}$, entonces la distancia del periapsis es${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$. La energía en la superficie de la Tierra corresponde a la de una órbita elíptica con${\displaystyle a=R/2\,\!}$(con${\displaystyle R\,\!}$el radio de la Tierra), que en realidad no puede existir porque es una elipse completamente debajo de la superficie. La energía aumenta con el aumento de${\displaystyle a}$está a una tasa${\displaystyle 2g\,\!}$La altura máxima sobre la superficie de la órbita es la longitud de la elipse, menos${\displaystyle R\,\!}$, menos la parte "debajo" del centro de la Tierra, por lo tanto, el doble del aumento de${\displaystyle a\,\!}$menos la distancia del periapsis. En la parte superior la energía potencial es${\displaystyle g}$veces esta altura, y la energía cinética es${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$Esto se suma al aumento de energía que acabamos de mencionar. El ancho de la elipse es de 19 minutos por${\displaystyle v\,\!}$.

La parte de la elipse que se encuentra por encima de la superficie puede aproximarse mediante una parte de una parábola, que se obtiene en un modelo donde se supone que la gravedad es constante. Esto debe distinguirse de la órbita parabólica en el sentido de la astrodinámica, donde la velocidad es la velocidad de escape .

Véase también trayectoria .

Consideremos órbitas que en un punto son horizontales, cerca de la superficie de la Tierra. Para velocidades crecientes en este punto, las órbitas son sucesivamente:

• parte de una elipse con eje mayor vertical, con el centro de la Tierra como foco lejano (lanzar una piedra, vuelo espacial suborbital , misil balístico )
• un círculo justo por encima de la superficie de la Tierra ( órbita terrestre baja )
• una elipse con eje mayor vertical, con el centro de la Tierra como foco cercano
• una parábola
• una hipérbola

Tenga en cuenta que en la secuencia anterior ,${\displaystyle h}$,${\displaystyle \epsilon }$y${\displaystyle a}$aumentan monótonamente, pero${\displaystyle e}$Primero disminuye de 1 a 0, luego aumenta de 0 a infinito. La inversión ocurre cuando el centro de la Tierra cambia de ser el foco lejano a ser el foco cercano (el otro foco comienza cerca de la superficie y pasa por el centro de la Tierra). Tenemos

${\displaystyle e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|}$

Extendiendo esto a órbitas horizontales a otra altura, y órbitas cuya extrapolación es horizontal por debajo de la superficie de la Tierra, obtenemos una categorización de todas las órbitas, excepto las trayectorias radiales , para las cuales, por cierto, no se puede usar la ecuación de la órbita. En esta categorización, las elipses se consideran dos veces, así que para las elipses con ambos lados por encima de la superficie, uno puede restringirse a tomar el lado que está más bajo como lado de referencia, mientras que para las elipses de las cuales solo un lado está por encima de la superficie, se toma ese lado.

• Primera ley de Kepler
• Órbita circular
• Órbita elíptica
• trayectoria parabólica
• trayectoria hiperbólica
• ecuación del cohete de Tsiolkovsky
• Velocidad orbital
• Velocidad de escape
• Mecánica celeste