Retrato de la órbita

En matemáticas , un retrato de órbita es una herramienta combinatoria utilizada en dinámica compleja para comprender el comportamiento de mapas cuadráticos de dimensión compleja unidimensional .

En pocas palabras se puede decir que es  :

• una lista de ángulos externos para los cuales los rayos inciden en puntos de esa órbita
• gráfico que muestra la lista anterior

Dado un mapa cuadrático

${\displaystyle f_{c}:z\mapsto z^{2}+c.}$

del plano complejo a sí mismo

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {\mathbb {C} } \to \mathbb {\mathbb {C} } }$

y una órbita periódica repulsiva o parabólica${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{z_{1},\ldots z_{n}\}}$de${\displaystyle f}$, de modo que${\displaystyle f(z_{j})=z_{j+1}}$(donde los subíndices se toman 1 + módulo${\displaystyle n}$), dejar${\displaystyle A_{j}}$sea ​​el conjunto de ángulos cuyos rayos externos correspondientes caen en${\displaystyle z_{j}}$.

Luego el conjunto${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}}$se denomina retrato orbital de la órbita periódica${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.

Todos los conjuntos${\displaystyle A_{j}}$deben tener el mismo número de elementos, lo que se denomina valencia del retrato.

Cada retrato orbital${\displaystyle {\mathcal {P}}}$tiene las siguientes propiedades:

• Cada${\displaystyle A_{j}}$es un subconjunto finito de${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$
• El mapa de duplicación en el círculo da una biyección desde${\displaystyle A_{j}}$a${\displaystyle A_{j+1}}$y conserva el orden cíclico de los ángulos. ^{[ 3 ]}
• Todos los ángulos en todos los conjuntos${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$son periódicos bajo el mapa de duplicación del círculo, y todos los ángulos tienen exactamente el mismo período. Este período debe ser un múltiplo de${\displaystyle n}$, por lo que el período es de la forma${\displaystyle rn}$, dónde${\displaystyle r}$Se denomina período del rayo recurrente.
• Los conjuntos${\displaystyle A_{j}}$no están vinculados por pares, lo que quiere decir que dado cualquier par de ellos, hay dos intervalos disjuntos de${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$donde cada intervalo contiene uno de los conjuntos.

Cualquier colección${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$El conjunto de subconjuntos del círculo que satisfacen las cuatro propiedades anteriores se denomina retrato de órbita formal . Según un teorema de John Milnor , todo retrato de órbita formal se realiza mediante el retrato de órbita real de una órbita periódica de alguna aplicación cuadrática unidimensional compleja. Los retratos de órbita contienen información dinámica sobre cómo se representan los rayos externos y sus puntos de aterrizaje en el plano, pero los retratos de órbita formales no son más que objetos combinatorios. El teorema de Milnor afirma que, en realidad, no existe distinción entre ambos.

Retrato de órbita donde todos los conjuntos${\displaystyle A_{j}}$Los que tienen un solo elemento se denominan triviales, excepto para el retrato de órbita.${\displaystyle {0}}$. Una definición alternativa es que un retrato de órbita no es trivial si es maximal, lo que en este caso significa que no hay ningún retrato de órbita que lo contenga estrictamente (es decir, no existe un retrato de órbita${\displaystyle \{A_{1}^{\prime },\ldots ,A_{n}^{\prime }\}}$de tal manera que${\displaystyle A_{j}\subsetneq A_{j}^{\prime }}$). Es fácil ver que cada retrato de órbita formal trivial se realiza como el retrato de órbita de alguna órbita del mapa${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$Dado que cada rayo externo de este mapa aterriza, y todos aterrizan en puntos distintos del conjunto de Julia . Los retratos de órbita triviales son patológicos en algunos aspectos, y en lo que sigue nos referiremos únicamente a retratos de órbita no triviales.

En un retrato orbital${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$, cada${\displaystyle A_{j}}$es un subconjunto finito del círculo${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, así que cada${\displaystyle A_{j}}$divide el círculo en una serie de intervalos disjuntos, llamados arcos complementarios con base en el punto${\displaystyle z_{j}}$La longitud de cada intervalo se denomina su anchura angular. Cada${\displaystyle z_{j}}$tiene un arco más grande único basado en él, que se llama su arco crítico. El arco crítico siempre tiene una longitud mayor que${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Estos arcos tienen la propiedad de que cada arco basado en${\displaystyle z_{j}}$, excepto por el arco crítico, se mapea difeomórficamente a un arco basado${\displaystyle z_{j+1}}$y el arco crítico cubre todos los arcos basados ​​en${\displaystyle z_{j+1}}$una vez, excepto por un solo arco, que cubre dos veces. El arco que cubre dos veces se llama arco de valor crítico para${\displaystyle z_{j+1}}$Esto no es necesariamente distinto del arco crítico.

Cuando${\displaystyle c}$escapa al infinito bajo iteración de${\displaystyle f_{c}}$o cuando${\displaystyle c}$está en el conjunto de Julia, entonces${\displaystyle c}$tiene un ángulo externo bien definido. Llamemos a este ángulo${\displaystyle \theta _{c}}$. ${\displaystyle \theta _{c}}$está en cada arco de valor crítico. Además, las dos imágenes inversas de${\displaystyle c}$bajo el mapa de duplicación (${\displaystyle {\frac {\theta _{c}}{2}}}$y${\displaystyle {\frac {\theta _{c}+1}{2}}}$) están presentes en cada arco crítico.

Entre todos los arcos de valor crítico para todos los${\displaystyle A_{j}}$Existe un arco de valor crítico mínimo único.${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}}$, llamado arco característico , que está estrictamente contenido dentro de cualquier otro arco de valor crítico. El arco característico es un invariante completo de un retrato de órbita, en el sentido de que dos retratos de órbita son idénticos si y solo si tienen el mismo arco característico.

Así como los rayos que inciden en la órbita dividen el círculo, también dividen el plano complejo. Para cada punto${\displaystyle z_{j}}$de la órbita, los rayos externos que aterrizan en${\displaystyle z_{j}}$dividir el plano en${\displaystyle v}$conjuntos abiertos llamados sectores basados ​​en${\displaystyle z_{j}}$Los sectores se identifican naturalmente con los arcos complementarios que parten del mismo punto. El ancho angular de un sector se define como la longitud de su arco complementario correspondiente. Los sectores se denominan sectores críticos o sectores de valor crítico cuando los arcos correspondientes son, respectivamente, arcos críticos y arcos de valor crítico. ^{[ 4 ]}

Los sectores también tienen la interesante propiedad de que${\displaystyle 0}$está en el sector crítico de cada punto, y${\displaystyle c}$, el valor crítico de${\displaystyle f_{c}}$, pertenece al sector de valor crítico.

Rayos de dos parámetros con ángulos${\displaystyle t_{-}}$y${\displaystyle t_{+}}$aterrizará en el mismo punto del conjunto de Mandelbrot en el espacio de parámetros si y solo si existe un retrato de órbita.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$con el intervalo${\displaystyle [t_{-},t_{+}]}$como su arco característico. Para cualquier retrato de órbita${\displaystyle {\mathcal {P}}}$dejar${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$sea ​​el punto de aterrizaje común de los dos ángulos externos en el espacio de parámetros correspondiente al arco característico de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$Estos dos rayos de parámetros, junto con su punto de aterrizaje común, dividen el espacio de parámetros en dos componentes abiertas. Sea la componente que no contiene el punto${\displaystyle 0}$ser llamado el${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-despertar y denotado como${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$Un polinomio cuadrático${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$realiza el retrato de la órbita${\displaystyle {\mathcal {P}}}$con una órbita repulsiva exactamente cuando${\displaystyle c\in {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$se realiza con una órbita parabólica solo para el valor único${\displaystyle c=r_{\mathcal {P}}}$ durante aproximadamente

Aparte del retrato cero, existen dos tipos de retratos orbitales: primitivo y satélite. Si ${\displaystyle v}$es la valencia de un retrato orbital${\displaystyle {\mathcal {P}}}$y${\displaystyle r}$es el período del rayo recurrente, entonces estos dos tipos pueden caracterizarse de la siguiente manera:

• Los retratos de órbita primitivos tienen${\displaystyle r=1}$y${\displaystyle v=2}$Cada rayo del retrato se mapea a sí mismo mediante${\displaystyle f^{n}}$. Cada${\displaystyle A_{j}}$es un par de ángulos, cada uno en una órbita distinta del mapa de duplicación. En este caso,${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$es el punto base de un conjunto de Mandelbrot bebé en el espacio de parámetros.
• Los retratos de órbita de satélites tienen${\displaystyle r=v\geq 2}$En este caso, todos los ángulos forman una única órbita bajo el mapa de duplicación. Además, ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$es el punto base de una bifurcación parabólica en el espacio de parámetros.

Los retratos de órbita resultan ser objetos combinatorios útiles para estudiar la conexión entre la dinámica y los espacios de parámetros de otras familias de mapas. En particular, se han utilizado para estudiar los patrones de todos los rayos dinámicos periódicos que aterrizan en un ciclo periódico de un polinomio antiholomorfo unicrítico. ^{[ 5 ]}

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