Monotonic function

In mathematics, a monotonic function (or monotone function) is a function between ordered sets that preserves or reverses the given order.^[1][2][3] This concept first arose in calculus, and was later generalized to the more abstract setting of order theory.

In calculus, a function ${\displaystyle f}$ defined on a subset of the real numbers with real values is called monotonic if it is either entirely non-decreasing, or entirely non-increasing.^[2] That is, as per Fig. 1, a function that increases monotonically does not exclusively have to increase, it simply must not decrease.

A function is termed monotonically increasing (also increasing or non-decreasing)^[3] if for all ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ such that ${\displaystyle x\leq y}$ one has ${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$, so ${\displaystyle f}$ preserves the order (see Figure 1). Likewise, a function is called monotonically decreasing (also decreasing or non-increasing)^[3] if, whenever ${\displaystyle x\leq y}$, then ${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$, so it reverses the order (see Figure 2).

If the order ${\displaystyle \leq }$ in the definition of monotonicity is replaced by the strict order ${\displaystyle <}$, one obtains a stronger requirement. A function with this property is called strictly increasing (also increasing).^[3][4] Again, by inverting the order symbol, one finds a corresponding concept called strictly decreasing (also decreasing).^[3][4] A function with either property is called strictly monotone. Functions that are strictly monotone are one-to-one (because for ${\displaystyle x}$ not equal to ${\displaystyle y}$, either ${\displaystyle x<y}$ or ${\displaystyle x>y}$ and so, by monotonicity, either ${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$ or ${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$, thus ${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$.

To avoid ambiguity, the terms weakly monotone, weakly increasing and weakly decreasing are often used to refer to non-strict monotonicity.

Los términos «no decreciente» y «no creciente» no deben confundirse con las calificaciones negativas (mucho más débiles) «no decreciente» y «no creciente». Por ejemplo, la función no monótona que se muestra en la figura 3 primero disminuye, luego aumenta y luego vuelve a disminuir. Por lo tanto, no es decreciente ni creciente, pero tampoco es no decreciente ni no creciente.

Una función${\displaystyle f}$Se dice que es absolutamente monótono durante un intervalo.${\displaystyle \left(a,b\right)}$si las derivadas de todos los órdenes de${\displaystyle f}$son no negativos o todos no positivos en todos los puntos del intervalo.

Algunas aplicaciones básicas y resultados

Las siguientes propiedades son verdaderas para una función monótona.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$:

• ${\displaystyle f}$tiene límites por la derecha y por la izquierda en cada punto de su dominio ;
• ${\displaystyle f}$tiene un límite en el infinito positivo o negativo (${\displaystyle \pm \infty }$) de un número real,${\displaystyle \infty }$, o${\displaystyle -\infty }$.
• ${\displaystyle f}$Solo puede tener discontinuidades de salto y removibles .
• ${\displaystyle f}$Solo puede tener una cantidad numerable de discontinuidades en su dominio. Sin embargo, las discontinuidades no necesariamente consisten en puntos aislados e incluso pueden ser densas en un intervalo ( a , b ). Por ejemplo, para cualquier secuencia sumable$(ai})$de números positivos y cualquier enumeración${\displaystyle (q_{i})}$de los números racionales , la función monótonamente creciente$${\displaystyle f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}}$$es continua exactamente en cada número irracional (véase la imagen). Es la función de distribución acumulativa de la medida discreta en los números racionales, donde${\displaystyle a_{i}}$es el peso de${\displaystyle q_{i}}$.
• Si${\displaystyle f}$es diferenciable en${\displaystyle x^{*}\in {\mathbb {R}}}$y${\displaystyle f'(x^{*})>0}$, entonces existe un intervalo no degenerado I tal que${\displaystyle x^{*}\in I}$y${\displaystyle f}$está aumentando en I.
• Como recíproco parcial, si${\displaystyle f}$es diferenciable y creciente en un intervalo,${\displaystyle I}$, entonces su derivada es no negativa en cada punto de${\displaystyle I}$Además, el conjunto${\displaystyle A=\{x\in I:f'(x)>0\}}$es denso con medida de Lebesgue positiva . No se puede decir mucho más sobre${\displaystyle A}$; por ejemplo,${\displaystyle A}$puede ser escaso , como en el caso de un derivado de Pompeiu , y para fijo${\displaystyle I}$, la medida de Lebesgue de${\displaystyle A}$puede hacerse arbitrariamente cerca de${\displaystyle 0}$mediante una elección adecuada de${\displaystyle f}$.

Estas propiedades son la razón por la que las funciones monótonas son útiles en el trabajo técnico de análisis . Otras propiedades importantes de estas funciones incluyen:

• si${\displaystyle f}$es una función monótona definida en un intervalo${\displaystyle I}$, entonces${\displaystyle f}$es diferenciable en casi todas partes${\displaystyle I}$; es decir, el conjunto de números${\displaystyle x}$en${\displaystyle I}$de tal manera que${\displaystyle f}$no es diferenciable en${\displaystyle x}$tiene medida de Lebesgue cero . Además, este resultado no se puede mejorar a numerable: véase la función de Cantor .
• Si este conjunto es numerable, entonces${\displaystyle f}$es absolutamente continuo
• si${\displaystyle f}$es una función monótona definida en un intervalo${\displaystyle \left[a,b\right]}$, entonces${\displaystyle f}$es integrable de Riemann .

Una aplicación importante de las funciones monótonas se encuentra en la teoría de la probabilidad . Si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria , su función de distribución acumulativa${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$es una función monótonamente creciente.

Una función es unimodal si es monótonamente creciente hasta cierto punto (la moda ) y luego monótonamente decreciente.

Cuando${\displaystyle f}$es una función estrictamente monótona , entonces${\displaystyle f}$es inyectivo en su dominio, y si${\displaystyle T}$es el rango de${\displaystyle f}$, entonces hay una función inversa en${\displaystyle T}$para${\displaystyle f}$. Por el contrario, cada función constante es monótona, pero no inyectiva, ^{[ 7 ]} y por lo tanto no puede tener una inversa.

El gráfico muestra seis funciones monótonas. Sus formas más simples se muestran en el área de la gráfica y las expresiones utilizadas para crearlas se muestran en el eje y .

Un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que es monótono si cada una de sus fibras está conectada ; es decir, para cada elemento${\displaystyle y\in Y,}$el conjunto (posiblemente vacío)${\displaystyle f^{-1}(y)}$es un subespacio conexo de${\displaystyle X.}$

En el análisis funcional sobre un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$, un operador (posiblemente no lineal)${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}}$Se dice que es un operador monótono si

$${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$$El teorema de Kachurovskii demuestra que las funciones convexas en espacios de Banach tienen operadores monótonos como sus derivadas.

Un subconjunto${\displaystyle G}$de${\displaystyle X\times X^{*}}$Se dice que es un conjunto monótono si por cada par${\displaystyle [u_{1},w_{1}]}$y${\displaystyle [u_{2},w_{2}]}$en${\displaystyle G}$,

$${\displaystyle (w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.}$$${\displaystyle G}$Se dice que un conjunto es monótono maximal si es maximal entre todos los conjuntos monótonos en el sentido de inclusión de conjuntos. La gráfica de un operador monótono${\displaystyle G(T)}$es un conjunto monótono. Se dice que un operador monótono es maximal monótono si su gráfica es un conjunto maximal monótono .

La teoría del orden trata conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios y conjuntos preordenados como una generalización de los números reales. La definición anterior de monotonicidad también es relevante en estos casos. Sin embargo, se evitan los términos "creciente" y "decreciente", ya que su representación gráfica convencional no se aplica a órdenes que no son totales . Además, las relaciones estrictas${\displaystyle <}$y${\displaystyle >}$Son de poca utilidad en muchos pedidos que no son totales y, por lo tanto, no se introduce terminología adicional para ellos.

Alquiler${\displaystyle \leq }$denota la relación de orden parcial de cualquier conjunto parcialmente ordenado, una función monótona , también llamada isótona , opreservando el orden , satisface la propiedad

$${\displaystyle x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}$$

para todo x e y en su dominio. La composición de dos aplicaciones monótonas también es monótona.

La noción dual se denomina a menudo antitono , antimonótono o inversión de orden . Por lo tanto, una función antitono f satisface la propiedad

$${\displaystyle x\leq y\implies f(y)\leq f(x),}$$

para todos los valores de x e y en su dominio.

Una función constante es a la vez monótona y antitónica; recíprocamente, si f es a la vez monótona y antitónica, y si el dominio de f es una red , entonces f debe ser constante.

Las funciones monótonas son fundamentales en la teoría del orden. Aparecen en la mayoría de los artículos sobre el tema y en ellos se encuentran ejemplos de aplicaciones especiales. Algunas funciones monótonas especiales notables son las incrustaciones de orden (funciones para las cuales${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle f(x)\leq f(y))}$y isomorfismos de orden ( incrustaciones de orden sobreyectivo ).

En el contexto de los algoritmos de búsqueda, la monotonicidad (también llamada consistencia) es una condición que se aplica a las funciones heurísticas . Una heurística${\displaystyle h(n)}$es monótona si, para cada nodo n y cada sucesor n' de n generado por cualquier acción a , el costo estimado de alcanzar el objetivo desde n no es mayor que el costo del paso para llegar a n' más el costo estimado de alcanzar el objetivo desde n' ,

$${\displaystyle h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).}$$

Esta es una forma de desigualdad triangular , con n , n' y el objetivo G _n más cercano a n . Dado que toda heurística monótona también es admisible , la monotonicidad es un requisito más estricto que la admisibilidad. Algunos algoritmos heurísticos, como A*, pueden demostrarse óptimos siempre que la heurística que utilizan sea monótona. ^{[ 8 ]}

En álgebra booleana , una función monótona es aquella que, para todo a _i y b _i en {0,1} , si a ₁ ≤ b ₁ , a ₂ ≤ b ₂ , ..., a _n ≤ b _n (es decir, el producto cartesiano {0, 1} ⁿ está ordenado por coordenadas ), entonces f( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f( b ₁ , ..., b _n ) . En otras palabras, una función booleana es monótona si, para cada combinación de entradas, cambiar una de las entradas de falso a verdadero solo puede hacer que la salida cambie de falso a verdadero y no de verdadero a falso. Gráficamente, esto significa que una función booleana n -aria es monótona cuando su representación como un n -cubo etiquetado con valores de verdad no tiene arista ascendente de verdadero a falso . (Este diagrama de Hasse etiquetado es el dual del diagrama de Venn etiquetado de la función , que es la representación más común para n ≤ 3 ).

Las funciones booleanas monótonas son precisamente aquellas que pueden definirse mediante una expresión que combine las entradas (que pueden aparecer más de una vez) utilizando únicamente los operadores " y " y "o " (en particular , "no " está prohibido). Por ejemplo, "al menos dos de a , b , c se cumplen" (la función de mayoría ternaria ) es una función monótona de a , b , c , ya que puede escribirse, por ejemplo, como (( a y b ) o ( a y c ) o ( b y c )).

El número de tales funciones en n variables se conoce como el número de Dedekind de n .

La resolución de problemas SAT , generalmente una tarea NP-difícil , puede lograrse de manera eficiente cuando todas las funciones y predicados involucrados son monótonos y booleanos. ^{[ 9 ]}

• interpolación cúbica monótona
• Operador pseudomonótono
• Coeficiente de correlación de rangos de Spearman : medida de monotonicidad en un conjunto de datos.
• Monotonicidad total
• Monotonía cíclica
• Función monótona del operador
• Función de ajuste monocromático
• Funciones y secuencias absolutamente y completamente monótonas

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• Grätzer, George (1971). Teoría de retículos: primeros conceptos y retículos distributivos . WH Freeman. ISBN 0-7167-0442-0.
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