Análisis de escalas (matemáticas)

El análisis de escala (o análisis de orden de magnitud ) es una herramienta poderosa que se utiliza en las ciencias matemáticas para simplificar ecuaciones con muchos términos. Primero se determina la magnitud aproximada de cada término en la ecuación. Luego, algunos términos insignificantes pueden ignorarse.

Consideremos, por ejemplo, la ecuación de momento de las ecuaciones de Navier-Stokes en la dirección de la coordenada vertical de la atmósfera.

donde R es el radio de la Tierra , Ω es la frecuencia de rotación de la Tierra, g es la aceleración gravitacional , φ es la latitud, ρ es la densidad del aire y ν es la viscosidad cinemática del aire (podemos despreciar la turbulencia en la atmósfera libre ).

En escala sinóptica podemos esperar velocidades horizontales de aproximadamente U = 10 ¹  m·s ⁻¹ y verticales de aproximadamente W = 10 ⁻²  m·s ⁻¹ . La escala horizontal es L = 10 ⁶  m y la escala vertical es H = 10 ⁴  m. La escala de tiempo típica es T = L / U = 10 ⁵  s. Las diferencias de presión en la troposfera son Δ P = 10 ⁴  Pa ​​y la densidad del aire ρ = 10 ⁰  kg⋅m ⁻³ . Otras propiedades físicas son aproximadamente:

R = 6,378 × 10⁶ ^m ;

Ω = 7,292 × 10 ⁻⁵ rad⋅s ^−1;

ν = 1,46 × 10 ⁻⁵ m ² ⋅s ^−1;

g = 9,81 m⋅s ^−2.

Las estimaciones de los diferentes términos de la ecuación ( A1 ) se pueden realizar utilizando sus escalas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}$

Ahora podemos introducir estas escalas y sus valores en la ecuación ( A1 ):

Podemos observar que todos los términos —excepto el primero y el segundo del lado derecho— son despreciablemente pequeños. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación de momento vertical a la ecuación de equilibrio hidrostático :

El análisis de escala es una herramienta muy útil y ampliamente utilizada para resolver problemas en el área de transferencia de calor y mecánica de fluidos, chorros de pared impulsados ​​por presión, flujos de separación detrás de escalones descendentes, llamas de difusión de chorro y estudio de dinámica lineal y no lineal. El análisis de escala es un atajo eficaz para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones que a menudo son demasiado complicadas para resolverse con exactitud. El objetivo del análisis de escala es utilizar los principios básicos de la transferencia de calor por convección para producir estimaciones del orden de magnitud de las cantidades de interés. Cuando se realiza correctamente, el análisis de escala anticipa, con un factor de orden uno, los costosos resultados producidos por los análisis exactos. Las reglas del análisis de escala son las siguientes:

Regla 1: El primer paso en el análisis de escala es definir el dominio de extensión en el que se aplica dicho análisis. Cualquier análisis de escala de una región de flujo que no esté definido de forma unívoca no es válido.

Regla 2: Una ecuación constituye una equivalencia entre las escalas de dos términos dominantes que aparecen en la ecuación. Por ejemplo,

${\displaystyle \rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}.}$

En el ejemplo anterior, el lado izquierdo podría tener el mismo orden de magnitud que el lado derecho.

Regla 3: Si en la suma de dos términos dados por

${\displaystyle c=a+b}$

El orden de magnitud de un término es mayor que el orden de magnitud del otro término.

${\displaystyle O(a)>O(b)}$

Entonces, el orden de magnitud de la suma viene determinado por el término dominante.

${\displaystyle O(c)=O(a)}$

La misma conclusión se mantiene si tenemos la diferencia de dos términos.

${\displaystyle c=a-b}$

Regla 4: En la suma de dos términos, si dos términos son del mismo orden de magnitud,

${\displaystyle c=a+b}$

${\displaystyle O(a)=O(b)}$

entonces la suma también es del mismo orden de magnitud:

${\displaystyle O(a)\thicksim O(b)\thicksim O(c)}$

Regla 5 - En caso de producto de dos términos

${\displaystyle p=ab}$

El orden de magnitud del producto es igual al producto de los órdenes de magnitud de los dos factores.

${\displaystyle O(p)=O(a)O(b)}$

para proporciones

${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$

entonces

${\displaystyle O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}}$

Aquí O(a) representa el orden de magnitud de a.

~ representa que dos términos son del mismo orden de magnitud.

> representa mayor que, en el sentido de orden de magnitud.

Consideremos el flujo laminar estacionario de un fluido viscoso dentro de un tubo circular. Supongamos que el fluido entra con una velocidad uniforme en la sección transversal del flujo. A medida que el fluido se mueve por el tubo, se forma y crece una capa límite de fluido de baja velocidad en la superficie, ya que el fluido inmediatamente adyacente a la superficie tiene velocidad cero. Una característica particular y simplificadora del flujo viscoso dentro de tubos cilíndricos es que la capa límite debe encontrarse consigo misma en el eje central del tubo, y la distribución de velocidad establece entonces un patrón fijo e invariante. La longitud de entrada hidrodinámica es la parte del tubo en la que crece la capa límite de momento y la distribución de velocidad cambia con la longitud. La distribución de velocidad fija en la región completamente desarrollada se denomina perfil de velocidad completamente desarrollado. Las ecuaciones de continuidad y conservación del momento en estado estacionario en dos dimensiones son:

Estas ecuaciones se pueden simplificar utilizando el análisis de escala. En cualquier punto${\displaystyle x\sim L}$en la zona totalmente desarrollada, tenemos${\displaystyle y\sim \delta }$y${\displaystyle u\sim U_{\infty }}$Ahora, a partir de la ecuación ( 1 ), la componente de velocidad transversal en la región completamente desarrollada se simplifica utilizando el escalado como

En la región totalmente desarrollada${\displaystyle L\gg \delta }$, de modo que la escala de la velocidad transversal es despreciable según la ecuación ( 4 ). Por lo tanto, en flujo completamente desarrollado, la ecuación de continuidad requiere que

Basándonos en la ecuación ( 5 ), la ecuación de momento en y ( 3 ) se reduce a

Esto significa que P es función solo de x . A partir de esto, la ecuación de momento en x se convierte en:

Cada término debe ser constante, porque el lado izquierdo es función solo de x y el derecho es función de y . Resolviendo la ecuación ( 7 ) sujeta a la condición de contorno

Esto da como resultado la conocida solución de Hagen-Poiseuille para el flujo completamente desarrollado entre placas paralelas.

donde y se mide desde el centro del canal. La velocidad debe ser parabólica y proporcional a la presión por unidad de longitud del conducto en la dirección del flujo.

• Aproximación
• Análisis dimensional

• Barenblatt, GI (1996). Escalamiento, autosimilitud y asintótica intermedia . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.
• Tennekes, H.; Lumley, John L. (1972). Un primer curso sobre turbulencia . MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Transferencia de calor por convección . John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Kays, WM, Crawford ME (2012). Transferencia de calor y masa por convección . McGraw Hill Education (India). ISBN 978-1-25-902562-4.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

• Análisis de escala y números de Reynolds. Archivado el 10 de abril de 2006 en Wayback Machine.