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teoría del orden

La teoría del orden es una rama de las matemáticas que investiga la noción intuitiva de orden mediante relaciones binarias . Proporciona un marco formal para describir enunciado...

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La teoría del orden es una rama de las matemáticas que investiga la noción intuitiva de orden mediante relaciones binarias . Proporciona un marco formal para describir enunciados como "esto es menor que aquello" o "esto precede a aquello".

Antecedentes y motivación

El orden está presente en todas partes en matemáticas y campos afines como la informática . El primer orden que se suele tratar en la escuela primaria es el orden estándar de los números naturales, por ejemplo, "2 es menor que 3", "10 es mayor que 5" o "¿Tiene Tom menos galletas que Sally?". Este concepto intuitivo se puede extender a órdenes en otros conjuntos de números , como los enteros y los reales . La idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas numéricos en general (aunque normalmente también interesa la diferencia real entre dos números, que no viene dada por el orden). Otros ejemplos conocidos de orden son el orden alfabético de las palabras en un diccionario y la propiedad genealógica de la descendencia lineal dentro de un grupo de personas.

La noción de orden es muy general y se extiende más allá de contextos que implican una sensación inmediata e intuitiva de secuencia o cantidad relativa. En otros contextos, los órdenes pueden capturar nociones de contención o especialización. En abstracto, este tipo de orden equivale a la relación de subconjunto , por ejemplo, « Los pediatras son médicos » y « Los círculos son simplemente elipses de casos especiales ».

Algunos órdenes, como el de "menor que" en los números naturales y el orden alfabético en las palabras, tienen una propiedad especial: cada elemento puede compararse con cualquier otro, es decir, es menor (anterior) que, mayor (posterior) que o idéntico a. Sin embargo, muchos otros órdenes no la tienen. Consideremos, por ejemplo, el orden de subconjuntos en una colección de conjuntos : aunque el conjunto de pájaros y el conjunto de perros son subconjuntos del conjunto de animales, ni los pájaros ni los perros constituyen un subconjunto del otro. Aquellos órdenes como la relación "subconjunto de" que permiten elementos incomparables se denominan órdenes parciales ; los órdenes para los que cada par de elementos es comparable son órdenes totales .

La teoría del orden capta la intuición del orden que surge de ejemplos similares en un contexto general. Esto se logra especificando las propiedades que debe tener una relación ≤ para ser un orden matemático. Este enfoque más abstracto resulta muy útil, ya que permite derivar numerosos teoremas en el contexto general, sin centrarse en los detalles de ningún orden en particular. Estas ideas pueden transferirse fácilmente a muchas aplicaciones menos abstractas.

Debido al amplio uso práctico de los órdenes, se han definido numerosos tipos especiales de conjuntos ordenados, algunos de los cuales se han convertido en campos matemáticos propios. Además, la teoría del orden no se limita a las diversas clases de relaciones de orden, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo sencillo de una propiedad de la teoría del orden para funciones proviene del análisis, donde las funciones monótonas se encuentran con frecuencia.

Historia

Las primeras menciones explícitas de órdenes parciales probablemente no se encuentren antes del siglo XIX. En este contexto, las obras de George Boole revisten gran importancia. Además, las obras de Charles Sanders Peirce , Richard Dedekind y Ernst Schröder también abordan conceptos de la teoría del orden.

Los autores que contribuyeron a la geometría ordenada fueron mencionados en un libro de texto de 1961 :

Fue Pasch, en 1882, quien señaló por primera vez que se podía desarrollar una geometría del orden sin referencia a la medición. Su sistema de axiomas fue mejorado gradualmente por Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904).

— HSM Coxeter , Introducción a la geometría

En 1901, Bertrand Russell escribió «Sobre la noción de orden» [ 1 ] , explorando los fundamentos de la idea mediante la generación de series . Retomó el tema en la parte IV de Los principios de las matemáticas (1903). Russell observó que la relación binaria aRb tiene un sentido que va de a a b, mientras que la relación inversa tiene un sentido opuesto, y el sentido «es la fuente del orden y de las series» (p. 95). Reconoció que Immanuel Kant [ 2 ] era «consciente de la diferencia entre la oposición lógica y la oposición entre positivo y negativo». Escribió que Kant merece reconocimiento por haber sido el primero en llamar la atención sobre la importancia lógica de las relaciones asimétricas.

El término poset, como abreviatura de conjunto parcialmente ordenado, se atribuye a Garrett Birkhoff en la segunda edición de su influyente libro Teoría de retículos . [ 3 ] [ 4 ]

Definiciones básicas

Esta sección introduce los conjuntos ordenados partiendo de los conceptos de teoría de conjuntos , aritmética y relaciones binarias .

Conjuntos parcialmente ordenados

Los órdenes son relaciones binarias especiales. Supongamos que P es un conjunto y que ≤ es una relación en P (donde "relación en un conjunto" se entiende como "relación entre sus elementos", es decir, ≤ es un subconjunto del producto cartesiano P × P ). Entonces, ≤ es un orden parcial si es reflexivo , antisimétrico y transitivo , es decir, si para todo a , b y c en P , se cumple que:

a ≤ a (reflexividad)
Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría).
Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad).

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado , poset o simplemente conjunto ordenado si el significado es claro. Al comprobar estas propiedades, se observa inmediatamente que los conocidos órdenes en los números naturales , enteros , racionales y reales son todos órdenes en el sentido anterior. Sin embargo, estos ejemplos tienen la propiedad adicional de que cualesquiera dos elementos son comparables; es decir, para todo a y b en P , se cumple que:

a ≤ b o b ≤ a .

Un orden parcial con esta propiedad se denomina orden total . Estos órdenes también pueden llamarse órdenes lineales o cadenas . Si bien muchos órdenes conocidos son lineales, el orden de subconjuntos en conjuntos proporciona un ejemplo donde esto no es así. Otro ejemplo lo da la relación de divisibilidad (o "es un factor de") |. Para dos números naturales n y m , escribimos n | m si n divide a m sin resto. Es fácil ver que esto produce un orden parcial. Por ejemplo, ni 3 divide a 13 ni 13 divide a 3, por lo que 3 y 13 no son elementos comparables de la relación de divisibilidad en el conjunto de los enteros. La relación de identidad = en cualquier conjunto también es un orden parcial en el que cada par de elementos distintos son incomparables. También es la única relación que es a la vez un orden parcial y una relación de equivalencia porque satisface tanto la propiedad de antisimetría de los órdenes parciales como la propiedad de simetría de las relaciones de equivalencia. Muchas propiedades avanzadas de los conjuntos parcialmente ordenados son interesantes principalmente para órdenes no lineales.

Visualización de un poset

Diagrama de Hasse del conjunto de todos los divisores de 60, parcialmente ordenados por divisibilidad.

Los diagramas de Hasse permiten representar visualmente los elementos y las relaciones de un orden parcial. Se trata de diagramas donde los vértices son los elementos del conjunto parcialmente ordenado y la relación de orden se indica mediante las aristas y la posición relativa de los vértices. Los órdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que (precede a) y, entonces existe un camino de x a y que apunta hacia arriba. A menudo es necesario que las aristas que conectan los elementos se crucen, pero los elementos nunca deben estar dentro de una arista. Un ejercicio instructivo consiste en dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de números naturales menores o iguales a 13, ordenados por | (la relación de división ).

Incluso algunos conjuntos infinitos pueden ser diagramados superponiendo una elipsis (...) sobre un suborden finito. Esto funciona bien para los números naturales, pero falla para los reales, donde no hay un sucesor inmediato por encima de 0; sin embargo, con bastante frecuencia se puede obtener una intuición relacionada con diagramas de un tipo similar .

Elementos especiales

En un conjunto parcialmente ordenado, puede haber algunos elementos que desempeñen un papel especial. El ejemplo más básico lo proporciona el elemento mínimo de un conjunto parcialmente ordenado . Por ejemplo, 1 es el elemento mínimo de los enteros positivos y el conjunto vacío es el conjunto mínimo bajo el orden de subconjuntos. Formalmente, un elemento m es un elemento mínimo si:

m ≤ a , para todos los elementos a del orden.

La notación 0 se encuentra frecuentemente para el elemento menor, incluso cuando no hay números involucrados. Sin embargo, en órdenes sobre conjuntos de números, esta notación puede ser inapropiada o ambigua, ya que el número 0 no siempre es el menor. Un ejemplo lo da el orden de divisibilidad anterior |, donde 1 es el elemento menor porque divide a todos los demás números. En cambio, 0 es el número que es divisible por todos los demás números. Por lo tanto, es el elemento mayor del orden. Otros términos frecuentes para los elementos menor y mayor son inferior y superior o cero y unidad .

Los elementos mínimo y máximo pueden no existir, como muestra el ejemplo de los números reales. Pero si existen, siempre son únicos. En contraste, consideremos la relación de divisibilidad | en el conjunto {2,3,4,5,6}. Aunque este conjunto no tiene ni máximo ni mínimo, los elementos 2, 3 y 5 no tienen elementos debajo de ellos, mientras que 4, 5 y 6 no tienen ninguno encima. Dichos elementos se denominan mínimo y máximo , respectivamente. Formalmente, un elemento m es mínimo si:

a ≤ m implica a = m , para todos los elementos a del orden.

Al intercambiar ≤ por ≥ se obtiene la definición de maximalidad . Como muestra el ejemplo, puede haber muchos elementos maximales y algunos elementos pueden ser tanto maximales como mínimos (por ejemplo, el 5 anterior). Sin embargo, si existe un elemento mínimo, entonces es el único elemento mínimo del orden. Nuevamente, en conjuntos parcialmente ordenados infinitos, los elementos maximales no siempre existen; el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto infinito dado, ordenados por inclusión de subconjuntos, proporciona uno de los muchos contraejemplos. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos maximales bajo ciertas condiciones es el lema de Zorn .

Los subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados heredan el orden. Ya aplicamos esto al considerar el subconjunto {2,3,4,5,6} de los números naturales con el orden de divisibilidad inducido. Ahora también hay elementos de un poset que son especiales con respecto a algún subconjunto del orden. Esto lleva a la definición de cotas superiores . Dado un subconjunto S de algún poset P , una cota superior de S es un elemento b de P que está por encima de todos los elementos de S. Formalmente, esto significa que

s ≤ b , para todo s en S.

Los límites inferiores se definen nuevamente invirtiendo el orden. Por ejemplo, −5 es un límite inferior de los números naturales como subconjunto de los enteros. Dado un conjunto de conjuntos, un límite superior para estos conjuntos bajo el orden de subconjuntos viene dado por su unión . De hecho, este límite superior es bastante especial: es el conjunto más pequeño que contiene a todos los conjuntos. Por lo tanto, hemos encontrado el límite superior mínimo de un conjunto de conjuntos. Este concepto también se llama supremo o unión , y para un conjunto S se escribe sup( S ) o⋁S{\displaystyle \bigvee S}por su límite superior más pequeño. Por el contrario, el límite inferior más grande se conoce como ínfimo o punto de encuentro y se denota inf( S ) o⋀S{\displaystyle \bigwedge S}Estos conceptos juegan un papel importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden. Para dos elementos x e y , también se escribe:incógnita∨y{\displaystyle x\vee y}yincógnita∧y{\displaystyle x\wedge y}para sup({ x , y }) e inf({ x , y }), respectivamente.

Por ejemplo, 1 es el ínfimo de los enteros positivos como subconjunto de los enteros.

Para otro ejemplo, consideremos nuevamente la relación | en los números naturales. El límite superior mínimo de dos números es el número más pequeño que divide a ambos, es decir, el mínimo común múltiplo de los números. Los límites inferiores máximos, a su vez, vienen dados por el máximo común divisor .

Dualidad

En las definiciones anteriores, hemos señalado con frecuencia que un concepto puede definirse simplemente invirtiendo el orden de una definición previa. Este es el caso de "menor" y "mayor", de "mínimo" y "máximo", de "límite superior" y "límite inferior", etc. Esta es una situación general en la teoría del orden: un orden dado puede invertirse simplemente cambiando su dirección, lo que gráficamente implica voltear el diagrama de Hasse de arriba hacia abajo. Esto da como resultado el llamado orden dual , inverso u opuesto .

Toda definición en teoría del orden tiene su dual: la noción que se obtiene al aplicar la definición al orden inverso. Dado que todos los conceptos son simétricos, esta operación preserva los teoremas de los órdenes parciales. Para un resultado matemático dado, basta con invertir el orden y reemplazar todas las definiciones por sus duales para obtener otro teorema válido. Esto es importante y útil, ya que se obtienen dos teoremas por el precio de uno. Se pueden encontrar más detalles y ejemplos en el artículo sobre dualidad en la teoría del orden .

Construyendo nuevos órdenes

Existen muchas maneras de construir órdenes a partir de órdenes dados. El orden dual es un ejemplo. Otra construcción importante es el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados, junto con el orden producto de pares de elementos. El orden se define como ( a , x ) ≤ ( b , y ) si (y solo si) a ≤ b y x ≤ y . (Obsérvese que el símbolo de relación ≤ tiene tres significados distintos en esta definición). La unión disjunta de dos conjuntos parcialmente ordenados es otro ejemplo típico de construcción de orden, donde el orden es simplemente la unión (disjunta) de los órdenes originales.

Todo orden parcial ≤ da lugar a un orden estricto <, definiendo a < b si a ≤ b y no b ≤ a . Esta transformación puede invertirse estableciendo a ≤ b si a < b o a = b . Ambos conceptos son equivalentes, aunque en ciertas circunstancias uno puede resultar más conveniente que el otro.

Funciones entre órdenes

Es razonable considerar funciones entre conjuntos parcialmente ordenados que poseen ciertas propiedades adicionales relacionadas con las relaciones de orden de ambos conjuntos. La condición fundamental en este contexto es la monotonicidad . Una función f de un poset P a un poset Q es monótona , o preserva el orden , si a ≤ b en P implica f ( a ) ≤ f ( b ) en Q (observando que, estrictamente hablando, las dos relaciones son diferentes, ya que se aplican a conjuntos distintos). La recíproca de esta implicación da lugar a funciones que reflejan el orden , es decir, funciones f como las anteriores, para las cuales f ( a ) ≤ f ( b ) implica a ≤ b . Por otro lado, una función también puede invertir el orden o ser antitónica , si a ≤ b implica f ( a ) ≥ f ( b ).

Una incrustación de orden es una función f entre órdenes que conserva y refleja el orden. Es fácil encontrar ejemplos de estas definiciones. Por ejemplo, la función que asigna un número natural a su sucesor es claramente monótona con respecto al orden natural. Cualquier función de un orden discreto, es decir, de un conjunto ordenado por el orden identidad, también es monótona. Asignar a cada número natural el número real correspondiente constituye un ejemplo de incrustación de orden. El complemento de un conjunto potencia es un ejemplo de función antitónica.

Una cuestión importante es cuándo dos órdenes son "esencialmente iguales", es decir, cuándo son idénticos salvo por el cambio de nombre de algunos elementos. Los isomorfismos de orden son funciones que definen dicho cambio de nombre. Un isomorfismo de orden es una función biyectiva monótona que tiene una inversa monótona. Esto equivale a ser una incrustación de orden sobreyectiva . Por lo tanto, la imagen f ( P ) de una incrustación de orden siempre es isomorfa a P , lo que justifica el término "incrustación".

Un tipo de funciones más elaboradas las denominadas conexiones de Galois . Las conexiones de Galois monótonas pueden considerarse una generalización de los isomorfismos de orden, ya que están formadas por un par de funciones en direcciones opuestas, que no son exactamente inversas entre sí, pero que aún guardan una estrecha relación.

Otro tipo especial de automapas en un conjunto parcialmente ordenado son los operadores de cierre , que no solo son monótonos, sino también idempotentes , es decir, f ( x ) = f ( f ( x )), y extensivos (o inflacionarios ), es decir, x ≤ f ( x ). Estos tienen muchas aplicaciones en todo tipo de "cierres" que aparecen en matemáticas.

Además de ser compatibles con las relaciones de orden, las funciones entre conjuntos parcialmente ordenados también pueden comportarse bien con respecto a elementos y construcciones especiales. Por ejemplo, al hablar de conjuntos parcialmente ordenados con un elemento mínimo, puede parecer razonable considerar solo funciones monótonas que preserven este elemento, es decir, que mapeen elementos mínimos a otros elementos mínimos. Si existen ínfimos binarios ∧, entonces una propiedad razonable podría ser exigir que f ( x ∧ y ) = f ( x ) ∧ f ( y ), para todo x e y . Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden agruparse bajo la etiqueta de funciones que preservan el límite.

Finalmente, se puede invertir la perspectiva, pasando de funciones de órdenes a órdenes de funciones . De hecho, las funciones entre dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q se pueden ordenar mediante el orden puntual . Para dos funciones f y g , tenemos f ≤ g si f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los elementos x de P. Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de dominios , donde los espacios de funciones desempeñan un papel importante.

Tipos especiales de pedidos

Muchas de las estructuras estudiadas en la teoría del orden emplean relaciones de orden con propiedades adicionales. De hecho, incluso algunas relaciones que no son órdenes parciales revisten especial interés. Cabe mencionar principalmente el concepto de preorden . Un preorden es una relación reflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica. Cada preorden induce una relación de equivalencia entre elementos, donde a es equivalente a b si a ≤ b y b ≤ a . Los preórdenes pueden transformarse en órdenes identificando todos los elementos que son equivalentes con respecto a esta relación.

Se pueden definir varios tipos de orden a partir de datos numéricos sobre los elementos del orden: un orden total resulta de asignar números reales distintos a cada elemento y utilizar las comparaciones numéricas para ordenarlos; en cambio, si se permite que elementos distintos tengan puntuaciones numéricas iguales, se obtiene un orden débil estricto . Exigir que dos puntuaciones estén separadas por un umbral fijo antes de poder compararlas da lugar al concepto de semiorden , mientras que permitir que el umbral varíe para cada elemento produce un orden de intervalo .

La condición de que todos los subconjuntos no vacíos tengan un elemento mínimo es la propiedad que define los llamados órdenes bien fundados . Generalizando los órdenes bien fundados de los lineales a los parciales, un conjunto está bien parcialmente ordenado si todos sus subconjuntos no vacíos tienen un número finito de elementos mínimos.

Surgen muchos otros tipos de órdenes cuando se garantiza la existencia de ínfimos y supremas de ciertos conjuntos. Centrándonos en este aspecto, generalmente denominado completitud de los órdenes, se obtiene:

Sin embargo, se puede ir aún más lejos: si existen todos los ínfimos finitos no vacíos, entonces ∧ puede verse como una operación binaria total en el sentido del álgebra universal . Por lo tanto, en un retículo, están disponibles dos operaciones ∧ y ∨, y se pueden definir nuevas propiedades dando identidades, como

x  ∧  ( y  ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ), para todo x , y , y z .         

Esta condición se llama distributividad y da lugar a retículos distributivos . Hay otras leyes de distributividad importantes que se discuten en el artículo sobre distributividad en la teoría del orden . Algunas estructuras de orden adicionales que a menudo se especifican mediante operaciones algebraicas e identidades definitorias son

Ambas estructuras introducen una nueva operación llamada negación . Ambas desempeñan un papel en la lógica matemática , y las álgebras booleanas, en particular, tienen importantes aplicaciones en la informática . Finalmente, diversas estructuras matemáticas combinan órdenes con operaciones aún más algebraicas, como en el caso de los cuantales , que permiten definir una operación de suma.

Existen muchas otras propiedades importantes de los conjuntos parcialmente ordenados (posets). Por ejemplo, un poset es localmente finito si todo intervalo cerrado [ a , b ] en él es finito . Los posets localmente finitos dan lugar a álgebras de incidencia que, a su vez, pueden utilizarse para definir la característica de Euler de los posets finitos acotados.

Subconjuntos de conjuntos ordenados

En un conjunto ordenado, se pueden definir muchos tipos de subconjuntos especiales según el orden dado. Un ejemplo sencillo son los conjuntos superiores ; es decir, conjuntos que contienen todos los elementos que están por encima de ellos en el orden. Formalmente, la clausura superior de un conjunto S en un conjunto parcialmente ordenado P viene dada por el conjunto { x ∈ P | existe algún y ∈ S tal que y ≤ x }. Un conjunto que es igual a su clausura superior se denomina conjunto superior. Los conjuntos inferiores se definen de forma dual.

Los subconjuntos inferiores más complejos son los ideales , que poseen la propiedad adicional de que cada par de sus elementos tiene una cota superior dentro del ideal. Sus duales vienen dados por filtros . Un concepto relacionado es el de subconjunto dirigido , que, al igual que un ideal, contiene cotas superiores de subconjuntos finitos, pero no tiene por qué ser un conjunto inferior. Además, a menudo se generaliza a conjuntos preordenados.

Un subconjunto que, como subconjunto parcialmente ordenado, está linealmente ordenado, se denomina cadena . El concepto opuesto, la anticadena , es un subconjunto que no contiene dos elementos comparables; es decir, un orden discreto.

Si bien la mayoría de las áreas matemáticas utilizan el concepto de orden de una u otra forma, existen algunas teorías cuyas relaciones van mucho más allá de la mera aplicación. A continuación, se presentan algunas de ellas, junto con sus principales puntos de contacto con la teoría del orden.

Álgebra universal

Como ya se mencionó, los métodos y formalismos del álgebra universal constituyen una herramienta importante para numerosas consideraciones teóricas del orden. Además de formalizar los órdenes en términos de estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades, también se pueden establecer otras conexiones con el álgebra. Un ejemplo es la correspondencia entre álgebras booleanas y anillos booleanos . Otros aspectos se refieren a la existencia de construcciones libres , como retículos libres basados ​​en un conjunto dado de generadores. Asimismo, los operadores de cierre son importantes en el estudio del álgebra universal.

Topología

En topología , los órdenes desempeñan un papel muy importante. De hecho, la colección de conjuntos abiertos proporciona un ejemplo clásico de un retículo completo, más precisamente un álgebra de Heyting completa (o " marco " o " locale "). Los filtros y las redes son nociones estrechamente relacionadas con la teoría del orden, y el operador de cierre de conjuntos puede usarse para definir una topología. Más allá de estas relaciones, la topología puede considerarse únicamente en términos de los retículos de conjuntos abiertos, lo que lleva al estudio de la topología sin sentido . Además, un preorden natural de los elementos del conjunto subyacente de una topología viene dado por el llamado orden de especialización , que en realidad es un orden parcial si la topología es T 0 .

Por el contrario, en la teoría del orden, a menudo se utilizan resultados topológicos. Hay varias maneras de definir subconjuntos de un orden que pueden considerarse como conjuntos abiertos de una topología. Considerando topologías en un poset ( X , ≤) que a su vez inducen ≤ como su orden de especialización, la topología más fina de este tipo es la topología de Alexandrov , dada al tomar todos los conjuntos superiores como abiertos. Por el contrario, la topología más gruesa que induce el orden de especialización es la topología superior , que tiene los complementos de los ideales principales (es decir, conjuntos de la forma { y en X | y ≤ x } para algún x ) como subbase . Además, una topología con orden de especialización ≤ puede ser consistente con el orden , lo que significa que sus conjuntos abiertos son "inaccesibles por supremas dirigidos" (con respecto a ≤). La topología consistente con el orden más fina es la topología de Scott , que es más gruesa que la topología de Alexandrov. Una tercera topología importante en este sentido es la topología de Lawson . Existen estrechas conexiones entre estas topologías y los conceptos de la teoría del orden. Por ejemplo, una función conserva los supremos dirigidos si y solo si es continua con respecto a la topología de Scott (por esta razón, esta propiedad de la teoría del orden también se denomina continuidad de Scott ).

Teoría de categorías

La visualización de órdenes con diagramas de Hasse tiene una generalización sencilla: en lugar de mostrar los elementos menores debajo de los mayores, la dirección del orden también se puede representar asignando direcciones a las aristas de un grafo. De esta forma, cada orden se considera equivalente a un grafo dirigido acíclico , donde los nodos son los elementos del conjunto parcialmente ordenado y existe un camino dirigido de a a b si y solo si a ≤ b . Si se prescinde del requisito de ser acíclico, también se pueden obtener todos los preórdenes.

Cuando se les asignan todas las aristas transitivas, estos grafos son a su vez categorías especiales , donde los elementos son objetos y cada conjunto de morfismos entre dos elementos es como máximo unitario. Las funciones entre órdenes se convierten en funtores entre categorías. Muchas ideas de la teoría del orden son simplemente conceptos de la teoría de categorías en pequeño. Por ejemplo, un ínfimo es simplemente un producto categórico . De manera más general, se pueden capturar ínfimos y supremas bajo la noción abstracta de límite categórico (o colímite , respectivamente). Otro lugar donde aparecen ideas categóricas es el concepto de conexión de Galois (monótona) , que es simplemente lo mismo que un par de funtores adjuntos .

Pero la teoría de categorías también influye en la teoría del orden a mayor escala. Las clases de conjuntos parcialmente ordenados con funciones apropiadas, como se mencionó anteriormente, forman categorías interesantes. A menudo, también se pueden expresar construcciones de órdenes, como el orden producto , en términos de categorías. Se obtienen nuevas perspectivas cuando se encuentra que las categorías de órdenes son categóricamente equivalentes a otras categorías, por ejemplo, de espacios topológicos. Esta línea de investigación conduce a diversos teoremas de representación , a menudo agrupados bajo la denominación de dualidad de Stone .

Véase también

Notas

  1. ↑ Bertrand Russell (1901) Mente 10(2)
  2. ↑ Immanuel Kant (1763) Versuch den Begriff der negativos Grosse in die Weltweisheit einzufuhren
  3. ↑ Birkhoff 1940 , pág. 1.
  4. ↑ "Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (P)" . jeff560.tripod.com .
  5. ↑ Roller, Martin A. (1998), Poc sets, medianan algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem (PDF) , Southampton Preprint Archive, archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016 , consultado el 18 de enero de 2015 .

Referencias

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  • Órdenes en ProvenMath: orden parcial, orden lineal, orden de pozo, segmento inicial; definiciones formales y demostraciones dentro de los axiomas de la teoría de conjuntos.
  • Nagel, Felix (2013). Teoría de conjuntos y topología. Una introducción a los fundamentos del análisis.