Promedio ponderado ordenado

En matemáticas aplicadas , específicamente en lógica difusa , los operadores de promedio ponderado ordenado (OWA) proporcionan una clase parametrizada de operadores de agregación de tipo media. Fueron introducidos por Ronald R. Yager . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Muchos operadores de media notables, como el máximo, el promedio aritmético , la mediana y el mínimo, pertenecen a esta clase. Se han utilizado ampliamente en inteligencia computacional debido a su capacidad para modelar instrucciones de agregación expresadas lingüísticamente.

Un operador OWA de dimensión${\displaystyle \ n}$es un mapeo${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$que tiene una colección de pesos asociada${\displaystyle \ W=[w_{1},\ldots,w_{n}]}$que se encuentran en el intervalo unitario y suman uno y con

${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j}}$

dónde${\displaystyle b_{j}}$es el j ^-ésimo más grande de los${\displaystyle a_{i}}$.

Al elegir diferentes W se pueden implementar diferentes operadores de agregación. El operador OWA es un operador no lineal como resultado del proceso de determinación de b _j .

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ldots ,a_{n})}$si${\displaystyle \ w_{1}=1}$y${\displaystyle \ w_{j}=0}$para${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1},\ldots ,a_{n})}$si${\displaystyle \ w_{n}=1}$y${\displaystyle \ w_{j}=0}$para${\displaystyle j\neq n}$

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\mathrm {promedio} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$si${\displaystyle \ w_{j}={\frac {1}{n}}}$a pesar de${\displaystyle j\in [1,n]}$

El operador OWA es un operador de media. Es acotado , monótono , simétrico e idempotente , como se define a continuación.

Se han utilizado dos características para caracterizar a los operadores OWA. La primera es el carácter actitudinal, también llamado orness . ^{[ 1 ]} Esto se define como

${\displaystyle A-C(W)={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(n-j)w_{j}.}$

Se sabe que${\displaystyle A-C(W)\in [0,1]}$.

Además, A − C (máx) = 1, A − C (promedio) = A − C (med) = 0,5 y A − C (mín) = 0. Por lo tanto, A − C va de 1 a 0 a medida que pasamos de la agregación máxima a la mínima. El carácter actitudinal caracteriza la similitud de la agregación con la operación OR (OR se define como el máximo).          

La segunda característica es la dispersión. Esta se define como

${\displaystyle H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).}$

Una definición alternativa es${\displaystyle E(W)=\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{2}.}$La dispersión caracteriza la uniformidad con la que se utilizan los argumentos.

Los operadores OWA de Yager mencionados anteriormente se utilizan para agregar valores nítidos. ¿Es posible agregar conjuntos difusos en el mecanismo OWA? Para ello, se han propuesto los operadores OWA de tipo 1. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Por lo tanto, los operadores OWA de tipo 1 nos brindan una nueva técnica para agregar directamente información incierta con ponderaciones inciertas mediante el mecanismo OWA en la toma de decisiones blandas y la minería de datos , donde estos objetos inciertos se modelan mediante conjuntos difusos.

El operador OWA de tipo 1 se define de acuerdo con los cortes alfa de los conjuntos difusos de la siguiente manera:

Dados los n pesos lingüísticos${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$en forma de conjuntos difusos definidos en el dominio del discurso${\displaystyle U=[0,\;\;1]}$, luego para cada${\displaystyle \alpha \in [0,\;1]}$, un${\displaystyle \alpha }$Operador OWA de nivel tipo 1 con${\displaystyle \alpha }$conjuntos de nivel${\displaystyle \left\{{W_{\alpha }^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$agregar el${\displaystyle \alpha }$-recortes de conjuntos difusos${\displaystyle \left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$se da como

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}}$

dónde${\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha }^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}}$, y${\displaystyle \sigma$ :\{\;1,\ldots ,n\;\}\to \{\;1,\ldots ,n\;\}} es una función de permutación tal que${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\ldots ,n-1}$, es decir,${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$es el${\displaystyle i}$el elemento más grande del conjunto${\displaystyle \left\{{a_{1},\ldots ,a_{n}}\right\}}$.

El cálculo de la salida OWA de tipo 1 se implementa calculando los puntos finales izquierdo y derecho de los intervalos.${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)}$: ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}}$y${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+},}$ dónde${\displaystyle A_{\alpha }^{i}=[A_{\alpha -}^{i},A_{\alpha +}^{i}],W_{\alpha }^{i}=[W_{\alpha -}^{i},W_{\alpha +}^{i}]}$Entonces, la función de pertenencia del conjunto difuso de agregación resultante es:

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\mathop {\vee } _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha }$

Para los extremos izquierdos, necesitamos resolver el siguiente problema de programación:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\min \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

Para obtener los puntos finales correctos, necesitamos resolver el siguiente problema de programación:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\max \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

Zhou et al. presentaron un método rápido para resolver dos problemas de programación de manera que la operación de agregación OWA de tipo 1 pueda realizarse de manera eficiente. ^{[ 5 ]}

Amanatidis, Barrot, Lang, Markakis y Ries presentan reglas de votación para votaciones de múltiples temas , basadas en OWA y la distancia de Hamming . ^{[ 6 ]} Barrot, Lang y Yokoo estudian la manipulabilidad de estas reglas. ^{[ 7 ]}

• Liu, Xinwang (mayo de 2007). "La equivalencia de soluciones de los problemas de disparidad minimax y varianza mínima para operadores OWA". International Journal of Approximate Reasoning . 45 (1): 68– 81. doi : 10.1016/j.ijar.2006.06.004 .
• Modelado de decisiones . Tecnologías cognitivas. 2007. doi : 10.1007/978-3-540-68791-7 . ISBN 978-3-540-68789-4.
• Majlender, Péter (noviembre de 2005). "Operadores OWA con máxima entropía de Rényi". Conjuntos y sistemas difusos . 155 (3): 340– 360. doi : 10.1016/j.fss.2005.04.006 .
• Buczolich, Zoltán; Székely, Gábor J. (diciembre de 1989). "¿Cuándo es un promedio ponderado de elementos de muestra ordenados un estimador de máxima verosimilitud del parámetro de localización?". Advances in Applied Mathematics . 10 (4): 439– 456. doi : 10.1016/0196-8858(89)90024-9 .