Estado del mineral

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , la condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un cuerpo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo . La condición de Ore derecha para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . Un dominio (no conmutativo) para el cual el conjunto de elementos no nulos satisface la condición de Ore derecha se llama dominio de Ore derecho . El caso izquierdo se define de manera similar. ^{[ 1 ]}

El objetivo es construir el anillo derecho de fracciones R [ S ⁻¹ ] con respecto a un subconjunto multiplicativo S . En otras palabras, queremos trabajar con elementos de la forma as ⁻¹ y tener una estructura de anillo en el conjunto R [ S ⁻¹ ]. El problema es que no hay una interpretación obvia del producto ( as ⁻¹ )( bt ⁻¹ ); de hecho, necesitamos un método para "mover" s ⁻¹ más allá de b . Esto significa que necesitamos poder reescribir s ⁻¹ b como un producto b ₁ s ₁ ⁻¹ . ^{[ 2 ]} Supongamos que s ⁻¹ b = b ₁ s ₁ ⁻¹ entonces multiplicando a la izquierda por s y a la derecha por s ₁ , obtenemos bs ₁ = sb ₁ . Por lo tanto, vemos la necesidad, para un a y s dados , de la existencia de a ₁ y s ₁ con s ₁ ≠ 0 y tal que as ₁ = sa ₁ .

Dado que es bien sabido que cada dominio de integridad es un subanillo de un cuerpo de fracciones (mediante una inmersión) de tal forma que cada elemento es de la forma rs ⁻¹ con s distinto de cero, es natural preguntarse si la misma construcción puede tomar un dominio no conmutativo y asociarle un anillo de división (un cuerpo no conmutativo) con la misma propiedad. Resulta que la respuesta a veces es "no", es decir, existen dominios que no tienen un "anillo de división derecho de fracciones" análogo.

Para cada dominio de Ore derecho R , existe un único anillo de división D (salvo R -isomorfismo natural) que contiene a R como un subanillo, de modo que cada elemento de D es de la forma rs ⁻¹ para r en R y s distinto de cero en R. Dicho anillo de división D se denomina anillo de fracciones derechas de R , y R se denomina orden derecho en D. La noción de anillo de fracciones izquierdas y orden izquierdo se define de forma análoga, con elementos de D de la forma s ⁻¹ r .

Es importante recordar que la definición de R como un orden derecho en D incluye la condición de que D debe consistir enteramente en elementos de la forma rs ⁻¹ . Cualquier dominio que satisfaga una de las condiciones de Ore puede considerarse un subanillo de un anillo de división; sin embargo, esto no significa automáticamente que R sea un orden izquierdo en D , ya que es posible que D tenga un elemento que no sea de la forma s ⁻¹ r . Por lo tanto, es posible que R sea un dominio de Ore derecho pero no izquierdo. Intuitivamente, la condición de que todos los elementos de D sean de la forma rs ⁻¹ dice que R es un R -submódulo "grande" de D . De hecho, la condición asegura que R _R es un submódulo esencial de D _R . Por último, incluso hay un ejemplo de un dominio en un anillo de división que no satisface ninguna de las condiciones de Ore (véanse los ejemplos a continuación).

Otra pregunta natural es: "¿Cuándo es un subanillo de un anillo de división un dominio de Ore derecho?" Una caracterización es que un subanillo R de un anillo de división D es un dominio de Ore derecho si y solo si D es un R -módulo izquierdo plano ( Lam 2007 , Ej. 10.20) .

Generalmente se da una versión diferente y más estricta de las condiciones de Ore para el caso en que R no es un dominio, a saber, que debe haber un múltiplo común.

c = au = bv

con u , v divisores distintos de cero . En este caso, el teorema de Ore garantiza la existencia de un sobreanillo llamado anillo clásico (derecho o izquierdo) de cocientes .

Los dominios conmutativos son automáticamente dominios de Ore, ya que para a y b distintos de cero , ab es distinto de cero en aR ∩ bR . Los dominios noetherianos derechos , como los dominios de ideales principales derechos , también son dominios de Ore derechos. De forma aún más general, Alfred Goldie demostró que un dominio R es de Ore derecho si y solo si R ∩ _R tiene dimensión uniforme finita . También es cierto que los dominios de Bézout derechos son dominios de Ore derechos.

Un subdominio de un anillo de división que no es derecho ni izquierdo. Mineral: Si F es cualquier cuerpo, y${\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}$es el monoide libre sobre dos símbolos x e y , entonces el anillo monoide${\displaystyle F[G]\,}$no satisface ninguna condición de Ore, pero es un anillo ideal libre y, por lo tanto, un subanillo de un anillo de división, según ( Cohn 1995 , Cor 4.5.9) . Nótese que Cohn usa "campo" para referirse a un campo sesgado .

La condición de Ore se puede generalizar a otros subconjuntos multiplicativos y se presenta en forma de libro de texto en ( Lam 1999 , §10) y ( Lam 2007 , §10) . Un subconjunto S de un anillo R se llama conjunto denominador derecho si satisface las siguientes tres condiciones para cada a , b en R y s , t en S :

1. st en S ; (El conjunto S es multiplicativamente cerrado .)
2. aS ∩ sR no está vacío; (El conjunto S es permutable por la derecha ).
3. Si sa = 0 , entonces existe algún u en S tal que au = 0 ; (El conjunto S es reversible por la derecha ).

Si S es un conjunto de denominador derecho, entonces se puede construir el anillo de fracciones derechas RS ⁻¹ de forma similar al caso conmutativo. Si S se considera el conjunto de elementos regulares (aquellos elementos a en R tales que si b en R es distinto de cero, entonces ab y ba son distintos de cero), entonces la condición de Ore derecha es simplemente el requisito de que S sea un conjunto de denominador derecho.

Muchas propiedades de la localización conmutativa se mantienen en este contexto más general. Si S es un conjunto denominador derecho para un anillo R , entonces el R -módulo izquierdo RS ⁻¹ es plano . Además, si M es un R -módulo derecho, entonces la S -torsión, tor _S ( M ) = { m en M  : ms = 0 para algún s en S }, es un R -submódulo isomorfo a Tor ₁ ( M , RS ⁻¹ ) , y el módulo M ⊗ _R RS ⁻¹ es naturalmente isomorfo a un módulo MS ⁻¹ que consiste en "fracciones" como en el caso conmutativo.

• Cohn, PM (1991), Álgebra , vol.  3 (2.ª  ed.), Chichester: John Wiley & Sons, pp.  xii+474, ISBN 0-471-92840-2, MR 1098018 , Zbl 0719.00002  
• Cohn, PM (1961), "Sobre la incrustación de anillos en cuerpos sesgados", Proc. London Math. Soc. , 11 : 511– 530, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.511 , MR 0136632 , Zbl 0104.03203  
• Cohn, PM (1995), Skew fields, Theory of general division rings , Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol.  57, Cambridge University Press , ISBN 0-521-43217-0, Zbl 0840.16001 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Zbl 0911.16001 
• Lam, Tsit-Yuen (2007), Ejercicios sobre módulos y anillos , Libros de problemas de matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849 , Zbl 1121.16001  
• Stenström, Bo (1971), Anillos y módulos de cocientes , Lecture Notes in Mathematics, vol.  237, Berlín: Springer-Verlag , pp.  vii+136, doi : 10.1007/BFb0059904 , ISBN 978-3-540-05690-4, MR 0325663 , Zbl 0229.16003  

• Estado del mineral en PlanetMath .
• El teorema de Ore en PlanetMath .
• Anillo clásico de cocientes en PlanetMath .