Geometría proyectiva orientada

La geometría proyectiva orientada es una versión orientada de la geometría proyectiva real .

Mientras que el plano proyectivo real describe el conjunto de todas las líneas no orientadas que pasan por el origen en ^R³ , el plano proyectivo orientado describe líneas con una orientación determinada. Existen aplicaciones en gráficos por computadora y visión artificial donde es necesario distinguir entre rayos de luz emitidos o absorbidos por un punto.

Los elementos en un espacio proyectivo orientado se definen utilizando coordenadas homogéneas con signo . Sea${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{n}}$ser el conjunto de elementos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$excluyendo el origen.

1. Línea proyectiva orientada ,${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$:${\displaystyle (x,w)\in \mathbb {R} _{*}^{2}}$, con la relación de equivalencia${\displaystyle (x,w)\sim (ax,aw)\,}$a pesar de${\displaystyle a>0}$.
2. Plano proyectivo orientado ,${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$:${\displaystyle (x,y,w)\in \mathbb {R} _{*}^{3}}$, con${\displaystyle (x,y,w)\sim (ax,ay,aw)\,}$a pesar de${\displaystyle a>0}$.

Estos espacios pueden considerarse extensiones del espacio euclidiano .${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$puede verse como la unión de dos copias de${\displaystyle \mathbb {R} }$, los conjuntos ( x , 1) y ( x , -1), más dos puntos adicionales en el infinito, (1, 0) y (-1, 0). De igual modo${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$puede verse como dos copias de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, ( x , y ,1) y ( x , y ,-1), más una copia de${\displaystyle \mathbb {T} }$( x , y ,0).

Una forma alternativa de ver los espacios es como puntos en el círculo o esfera, dados por los puntos ( x , y , w ) con

x² + y² + ^w² = ¹ .^​

Sea n un entero no negativo. El espacio proyectivo (real) orientado (modelo analítico de , o canónico ^{[ 1 ]} ) o espacio proyectivo bilateral (canónico ^{[ 2 ] ) [ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$se define como

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}.}$^{[ 4 ]}

Aquí usamos${\displaystyle \mathbb {T} }$representar dos caras .

Sea n un entero no negativo. El espacio proyectivo complejo orientado${\displaystyle {\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}}$se define como

${\displaystyle {\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}}$. ^{[ 6 ]} Aquí escribimos${\displaystyle S^{1}}$representar la 1-esfera .

• Análisis variacional

• Stolfi, Jorge (1991). Geometría proyectiva orientada . Academic Press . ISBN 978-0-12-672025-9.De la disertación original de doctorado de Stanford , Primitives for Computational Geometry , disponible comoArchivado el 11 de junio de 2021 en Wayback Machine .
• Ghali, Sherif (2008). Introducción a la computación geométrica . Springer . ISBN 978-1-84800-114-5.Excelente introducción a la geometría proyectiva orientada en los capítulos 14 y 15. Más información en la página web del autor: Sherif Ghali .
• Yamaguchi, Fujio (2002). Diseño geométrico asistido por ordenador: un enfoque totalmente tetradimensional . Springer. ISBN 978-4-431-68007-9.
• Abajo, Alejandro; Krummeck, Vanessa; Richter-Gebert, Jurgen (2003). "Matroides complejas: firótopos y sus realizaciones en el rango 2". En Aronov, Boris ; Basu, Saugata; Pach, Janos ; Sharir, Micha (eds.). Geometría discreta y computacional: el Festschrift de Goodman-Pollack . Saltador. págs. 203–233 . doi : 10.1007/978-3-642-55566-4 . ISBN  978-3-642-62442-1.
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• Werner, Tomas (2003). "Restricciones combinatorias en múltiples proyecciones de puntos de referencia" (PDF) . Actas de la Novena Conferencia Internacional IEEE sobre Visión por Computadora . pp. 1011–1016 . doi : 10.1109/ICCV.2003.1238459 . ISBN  0-7695-1950-4.