Retículo complementado

En la disciplina matemática de la teoría del orden , un retículo complementado es un retículo acotado (con el elemento mínimo 0 y el elemento máximo 1), en el que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b que satisface a  ∨ b = 1 y a ∧ b = 0. Los complementos no tienen por qué ser únicos.       

Una red relativamente complementada es una red tal que cada intervalo [ c , d ], visto como una red acotada por derecho propio, es una red complementada. 

Una ortocomplementación en un retículo complementado es una involución que invierte el orden y asigna a cada elemento un complemento. Un retículo ortocomplementado que satisface una forma débil de la ley modular se denomina retículo ortomodular .

En los retículos distributivos acotados , los complementos son únicos. Cada retículo distributivo complementado tiene una ortocomplementación única y es, de hecho, un álgebra booleana .

Un retículo complementado es un retículo acotado (con el elemento mínimo 0 y el elemento máximo 1), en el que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b tal que

a ∨ b = 1 y a ∧ b = 0.        

En general, un elemento puede tener más de un complemento. Sin embargo, en un retículo distributivo (acotado) , cada elemento tendrá como máximo un complemento. ^{[ 1 ]} Un retículo en el que cada elemento tiene exactamente un complemento se denomina retículo con complemento único. ^{[ 2 ]}

Una red con la propiedad de que cada intervalo (visto como una subred) es complementado se llama red relativamente complementada . En otras palabras, una red relativamente complementada se caracteriza por la propiedad de que para cada elemento a en un intervalo [ c , d ] existe un elemento b tal que

a ∨ b = d y a ∧ b = c .        

Dicho elemento b se denomina complemento de a con respecto al intervalo.

Un retículo distributivo es complementado si y solo si es acotado y relativamente complementado. ^{[ 3 ] [ 4 ]} El retículo de subespacios de un espacio vectorial proporciona un ejemplo de un retículo complementado que no es, en general, distributivo.

Una ortocomplementación en un retículo acotado es una función que asigna a cada elemento a un "ortocomplemento" a ^⊥ de tal manera que se satisfacen los siguientes axiomas: ^{[ 5 ]}

Ley complementaria

a ^⊥ ∨ a = 1 y a ^⊥ ∧ a = 0.

Ley de involución

a ^⊥⊥ = a .

Inversión de orden

Si a ≤ b, entonces b ^⊥ ≤ a ^⊥ .

Un retículo ortocomplementado u ortoretículo es un retículo acotado dotado de una ortocomplementación. El retículo de subespacios de un espacio con producto interno y la operación de complemento ortogonal constituyen un ejemplo de retículo ortocomplementado que, en general, no es distributivo. ^{[ 6 ]}

• 
  En la red pentagonal N ₅ , el nodo del lado derecho tiene dos complementos.
• 
  La red de diamante M ₃ no admite ortocomplementación.
• 
  La red M ₄ admite 3 ortocomplementaciones.
• 
  La red hexagonal admite una ortocomplementación única, pero no está complementada de forma única.

Las álgebras booleanas son un caso especial de retículos ortocomplementados, que a su vez son un caso especial de retículos complementados (con estructura adicional). Los ortoretículos se utilizan con mayor frecuencia en lógica cuántica , donde los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable representan proposiciones cuánticas y se comportan como un retículo ortocomplementado.

Los retículos ortocomplementados, al igual que las álgebras booleanas, satisfacen las leyes de De Morgan :

• ( a ∨ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∧ b ^⊥
• ( a ∧ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∨ b ^⊥ .

Una red se denomina modular si para todos los elementos a , b y c se cumple la implicación

Si a ≤ c , entonces a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c

se cumple. Esto es más débil que la distributividad ; por ejemplo, la red M ₃ mostrada anteriormente es modular, pero no distributiva.

Un debilitamiento natural adicional de esta condición para retículos ortocomplementados, necesario para aplicaciones en lógica cuántica, es requerirla solo en el caso especial b = a ^⊥ . Por lo tanto, un retículo ortomodular se define como un retículo ortocomplementado tal que para cualesquiera dos elementos la implicación

Si a ≤ c , entonces a ∨ ( a ^⊥ ∧ c ) = c

sostiene.

Las retículas de esta forma son de crucial importancia para el estudio de la lógica cuántica , ya que forman parte de la axiomización de la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica . Garrett Birkhoff y John von Neumann observaron que el cálculo proposicional en lógica cuántica es "formalmente indistinguible del cálculo de subespacios lineales [de un espacio de Hilbert] con respecto a productos de conjuntos , sumas lineales y complementos ortogonales" que corresponden a los roles de y , o y no en retículas booleanas. Esta observación ha impulsado el interés en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, que forman una retícula ortomodular. ^{[ 7 ]}

• Retículo pseudocomplementado

• Birkhoff, Garrett (1961). Teoría de retículos . Sociedad Matemática Americana.
• Grätzer, George (1971). Teoría de retículos: primeros conceptos y retículos distributivos . WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
• Grätzer, George (1978). Teoría general de retículos . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
• Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introducción a la teoría de retículos . Oliver y Boyd.

• "Retículo complementado" . PlanetMath .
• "Complemento relativo" . PlanetMath .
• "Retículo complementado de forma única" . PlanetMath .
• "Retículo ortocomplementado" . PlanetMath .