Base ortogonal

El concepto de base ortogonal es aplicable a un espacio vectorial.${\displaystyle V}$(sobre cualquier campo ) equipado con una forma bilineal simétrica${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, donde la ortogonalidad de dos vectores${\displaystyle v}$y${\displaystyle w}$significa​${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$⁠ . Para una base ortogonal ⁠${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$:​ $${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle q}$es una forma cuadrática asociada con${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :} ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$(en un espacio de producto interno ,${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$⁠ ).

Por lo tanto, para una base ortogonal${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$⁠ , $${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _ {k}q(e_ {k})v_ {k}w_ {k},}$$ dónde${\displaystyle v_{k}}$y${\displaystyle w_{k}}$son componentes de${\displaystyle v}$y${\displaystyle w}$en la base.

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a un espacio vectorial sobre cualquier campo de característica distinta de 2 equipado con una forma cuadrática .${\displaystyle q(v)}$⁠ . Partiendo de la observación de que, cuando la característica del campo subyacente no es 2, la forma bilineal simétrica asociada${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$permite vectores${\displaystyle v}$y${\displaystyle w}$ser definido como ortogonal con respecto a${\displaystyle q}$cuando​${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$.​