Coordenadas ortogonales

En coordenadas cartesianas , los vectores base son fijos (constantes). En el contexto más general de las coordenadas curvilíneas , un punto en el espacio se especifica mediante coordenadas, y en cada punto de este tipo está ligado un conjunto de vectores base, que generalmente no son constantes: esta es la esencia de las coordenadas curvilíneas en general y es un concepto muy importante. Lo que distingue a las coordenadas ortogonales es que, aunque los vectores base varían, siempre son ortogonales entre sí. En otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}$

Estos vectores base son, por definición, los vectores tangentes de las curvas obtenidas al variar una coordenada, manteniendo las demás fijas:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$

donde r es un punto y q ⁱ es la coordenada para la cual se extrae el vector base. En otras palabras, se obtiene una curva fijando todas las coordenadas excepto una; la coordenada no fija se varía como en una curva paramétrica , y la derivada de la curva con respecto al parámetro (la coordenada variable) es el vector base para esa coordenada.

Tenga en cuenta que los vectores no necesariamente tienen la misma longitud. Las funciones útiles conocidas como factores de escala de las coordenadas son simplemente las longitudes.${\displaystyle h_{i}}$de los vectores base${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}}$(véase la tabla a continuación). Los factores de escala a veces se denominan coeficientes de Lamé , que no deben confundirse con los parámetros de Lamé (mecánica de sólidos) .

Los vectores base normalizados se denotan con un sombrero y se obtienen dividiendo por la longitud:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}$

Un campo vectorial puede especificarse mediante sus componentes respecto a los vectores base o a los vectores base normalizados, y es necesario tener claro a qué caso se refiere. Las componentes en la base normalizada son más comunes en las aplicaciones para mayor claridad de las magnitudes (por ejemplo, se puede trabajar con la velocidad tangencial en lugar de la velocidad tangencial multiplicada por un factor de escala); en las derivaciones, la base normalizada es menos común, ya que resulta más compleja.

Los vectores base mostrados arriba son vectores base covariantes (porque "covarían" con los vectores). En el caso de coordenadas ortogonales, los vectores base contravariantes son fáciles de encontrar, ya que estarán en la misma dirección que los vectores covariantes pero con longitud recíproca (por esta razón, se dice que los dos conjuntos de vectores base son recíprocos entre sí):

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}$

Esto se deduce del hecho de que, por definición,${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$, utilizando la delta de Kronecker . Tenga en cuenta que:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$

Ahora nos encontramos ante tres conjuntos de bases diferentes que se utilizan comúnmente para describir vectores en coordenadas ortogonales: la base covariante e _i , la base contravariante e ⁱ , y la base normalizada ê ⁱ . Si bien un vector es una magnitud objetiva , lo que significa que su identidad es independiente de cualquier sistema de coordenadas, las componentes de un vector dependen de la base en la que se representa el vector.

Para evitar confusiones, las componentes del vector x con respecto a la base e _i se representan como x ⁱ , mientras que las componentes con respecto a la base e ⁱ se representan como x _i :

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

La posición de los índices representa cómo se calculan los componentes (los índices superiores no deben confundirse con la exponenciación ). Nótese que los símbolos de sumatoria Σ ( Sigma mayúscula ) y el rango de sumatoria, que indica la sumatoria sobre todos los vectores base ( i = 1, 2, ..., d ), a menudo se omiten . Los componentes se relacionan simplemente mediante:

${\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}$

No existe una notación distintiva generalizada para los componentes vectoriales con respecto a la base normalizada; en este artículo utilizaremos subíndices para los componentes vectoriales y señalaremos que los componentes se calculan en la base normalizada.

El producto escalar en coordenadas cartesianas ( espacio euclidiano con una base ortonormal ) es simplemente la suma de los productos de sus componentes. En coordenadas ortogonales, el producto escalar de dos vectores x e y adopta esta forma familiar cuando las componentes de los vectores se calculan en la base normalizada:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}$

Esto es una consecuencia inmediata del hecho de que la base normalizada en algún punto puede formar un sistema de coordenadas cartesianas: el conjunto de base es ortonormal .

Para los componentes en las bases covariantes o contravariantes,

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}$

Esto se puede obtener fácilmente escribiendo los vectores en forma de componentes, normalizando los vectores base y calculando el producto escalar. Por ejemplo, en 2D:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}$

donde se ha utilizado el hecho de que las bases covariantes y contravariantes normalizadas son iguales.

El producto vectorial en coordenadas cartesianas 3D es:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

La fórmula anterior sigue siendo válida en coordenadas ortogonales si los componentes se calculan en la base normalizada.

Para construir el producto vectorial en coordenadas ortogonales con bases covariantes o contravariantes, simplemente debemos normalizar los vectores base, por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$

que, escrito y ampliado,

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}$

Es posible utilizar una notación concisa para el producto vectorial, que simplifica la generalización a coordenadas no ortogonales y dimensiones superiores, con el tensor de Levi-Civita , que tendrá componentes distintos de ceros y unos si los factores de escala no son todos iguales a uno.

Al observar un desplazamiento infinitesimal desde algún punto, es evidente que

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

Por definición , el gradiente de una función debe satisfacer (esta definición sigue siendo válida si ƒ es cualquier tensor ).

${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

De ello se deduce que el operador del debe ser:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

Y esto se mantiene cierto en coordenadas curvilíneas generales. Cantidades como el gradiente y el laplaciano se obtienen mediante la aplicación adecuada de este operador.

A partir de d r y los vectores base normalizados ê _i , se puede construir lo siguiente. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

dónde

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}$

es el determinante jacobiano , que tiene la interpretación geométrica de la deformación en volumen del cubo infinitesimal d x d y d z al volumen curvo infinitesimal en coordenadas ortogonales.

Utilizando el elemento de línea que se muestra arriba, la integral de línea a lo largo de una trayectoria.${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$de un vector F es:

${\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}$

Un elemento infinitesimal de área para una superficie descrita manteniendo una coordenada q _k constante es:

${\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}$

De manera similar, el elemento de volumen es:

${\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}$

donde el símbolo grande Π ( Pi mayúscula ) indica un producto de la misma manera que una Σ grande indica una suma. Nótese que el producto de todos los factores de escala es el determinante jacobiano .

Como ejemplo, la integral de superficie de una función vectorial F sobre una superficie q ¹ = constante${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$en 3D es:

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}$

Tenga en cuenta que F ¹ / h ₁ es la componente de F normal a la superficie.