Coordenadas curvilíneas

En geometría , las coordenadas curvilíneas son un sistema de coordenadas euclidianas en el que las líneas de coordenadas pueden ser curvas. Estas coordenadas se pueden obtener a partir de un sistema de coordenadas cartesianas mediante una transformación localmente invertible (una transformación biyectiva) en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesianas a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas , acuñado por el matemático francés Lamé , deriva del hecho de que las superficies de coordenadas de los sistemas curvilíneos son curvas.

Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclidiano tridimensional ( R³ ) son las coordenadas cilíndricas y esféricas . Una superficie de coordenadas cartesianas en este espacio es un plano de coordenadas ; por ejemplo, ^z= 0 define el plano x - y . En el mismo espacio, la superficie de coordenadas r = 1 en coordenadas esféricas es la superficie de una esfera unitaria , que es curva. El formalismo de las coordenadas curvilíneas proporciona una descripción unificada y general de los sistemas de coordenadas estándar.

Las coordenadas curvilíneas se utilizan frecuentemente para definir la ubicación o distribución de magnitudes físicas, como escalares , vectores o tensores . Las expresiones matemáticas que involucran estas magnitudes en el cálculo vectorial y el análisis tensorial (como el gradiente , la divergencia , el rotacional y el laplaciano ) pueden transformarse de un sistema de coordenadas a otro, según las reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. De esta manera, dichas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneas.

Un sistema de coordenadas curvilíneas puede ser más sencillo de usar que el sistema de coordenadas cartesianas para algunas aplicaciones. El movimiento de partículas bajo la influencia de ^fuerzascentrales suele ser más fácil de resolver en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas; esto se cumple en muchos problemas físicos con simetría esférica definida en R³ . Las ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneas particular pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, es más fácil describir el movimiento en una esfera con coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son los sistemas de coordenadas curvilíneas más comunes y se utilizan en ciencias de la Tierra , cartografía , mecánica cuántica , relatividad e ingeniería .

Coordenadas curvilíneas ortogonales en 3 dimensiones

Coordenadas, base y vectores

Por ahora, consideremos ^elespacio 3D . Un punto P en el espacio 3D (o su vector de posición ^r) se puede definir usando coordenadas cartesianas ( x , y , z ) [escrito equivalentemente ( x₁ , x₂ , x₃ ⁾ ], mediante $\mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$ donde e _x , e _y , e _z son los vectores base estándar .

También puede definirse mediante sus coordenadas curvilíneas ( q₁ ^,q₂ , q₃ ^{) si esta terna de números define un único}^punto de forma inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada entonces por las funciones de transformación invertibles :

x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})

q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)

Las superficies q₁ = constante, q₂ = constante, q₃ = ^constante se denominan superficies de coordenadas ; y las curvas espaciales formadas por su intersección de dos en dos se denominan ^curvasde coordenadas . Los ejes ^decoordenadas se determinan mediante las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como sí ocurre con las coordenadas cartesianas simples, por lo que, en general, no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

En el sistema cartesiano, los vectores base estándar se pueden obtener a partir de la derivada de la posición del punto P con respecto a la coordenada local.

\mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\z parcial}}.

Aplicando las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto P se definen los vectores base naturales:

\mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.

Una base cuyos vectores cambian de dirección y/o magnitud de un punto a otro se denomina base local . Todas las bases asociadas a coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores base que son los mismos en todos los puntos son bases globales y solo pueden asociarse a sistemas de coordenadas lineales o afines .

En este artículo, la letra e se reserva para la base estándar (cartesiana) y la letra h o b para la base curvilínea.

Estos pueden no tener longitud unitaria, y también pueden no ser ortogonales. En el caso de que sean ortogonales en todos los puntos donde las derivadas están bien definidas, definimos los coeficientes de Lamé.(según Gabriel Lamé ) por

h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|

y los vectores base ortonormales curvilíneos por

\mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.

Estos vectores base bien pueden depender de la posición de P ; por lo tanto, es necesario que no se suponga que son constantes en una región. (Técnicamente forman una base para el espacio tangente de $\mathbb {R} ^{3}$ en P , y por lo tanto son locales a P. )

En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores base naturales h _i no sean todos perpendiculares entre sí, ni necesariamente de longitud unitaria: pueden tener magnitud y dirección arbitrarias. El uso de una base ortogonal simplifica la manipulación de vectores en comparación con las bases no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y la ingeniería , en particular la mecánica de fluidos y la mecánica de medios continuos , requieren bases no ortogonales para describir deformaciones y transporte de fluidos, y así tener en cuenta las complejas dependencias direccionales de las magnitudes físicas. Más adelante en esta página se presenta un análisis del caso general.

cálculo vectorial

Elementos diferenciales

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es

d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}

por lo que los factores de escala son $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$

En coordenadas no ortogonales la longitud de $d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}$ es la raíz cuadrada positiva de $d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}$ (con la convención de suma de Einstein ). Los seis productos escalares independientes g _ij = h _i . h _j de los vectores de la base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para coordenadas ortogonales. Los nueve g _ij son los componentes del tensor métrico , que tiene solo tres componentes no nulas en coordenadas ortogonales: g ₁₁ = h ₁h ₁ , g ₂₂ = h ₂h ₂ , g ₃₃ = h ₃h ₃ .

Bases covariantes y contravariantes

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas temporales y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores base:

Vectores base que son localmente tangentes a su trayectoria de coordenadas asociada: $\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$ son vectores contravariantes (denotados por índices reducidos), y
Vectores base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas: $\mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}$ son vectores covariantes (denotados por índices elevados), ∇ es el operador del .

Nótese que, debido a la convención de sumatoria de Einstein, la posición de los índices de los vectores es la opuesta a la de las coordenadas.

En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneas general tiene dos conjuntos de vectores base para cada punto: { b ₁ , b ₂ , b ₃ } es la base contravariante, y { b ¹ , b ² , b ³ } es la base covariante (también llamada recíproca). Los tipos de vectores base covariante y contravariante tienen la misma dirección para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero, como es habitual, tienen unidades invertidas entre sí.

Tenga en cuenta la siguiente igualdad importante: $\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}$ donde $\delta _{j}^{i}$ denota la delta de Kronecker generalizada .

Prueba

En el sistema de coordenadas cartesianas $(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})$ Podemos escribir el producto escalar como:

\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}

Consideremos un desplazamiento infinitesimal. $d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}$ . Sean dq ₁ , dq ₂ y dq ₃ los cambios infinitesimales correspondientes en las coordenadas curvilíneas q ₁ , q ₂ y q ₃ respectivamente.

Según la regla de la cadena, dq ₁ se puede expresar como:

dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)

Si el desplazamiento d r es tal que dq ₂ = dq ₃ = 0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal a lo largo del eje de coordenadas q ₂ =const y q ₃ =const, entonces:

dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}

Dividiendo por dq ₁ y tomando el límite dq ₁ → 0:

1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}

o equivalentemente:

\mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1

Ahora bien, si el desplazamiento d r es tal que dq ₁ = dq ₃ =0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal a lo largo del eje de coordenadas q ₁ =const y q ₃ =const, entonces:

0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}

Dividiendo por dq ₂ y tomando el límite dq ₂ → 0:

0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}

o equivalentemente:

\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0

Y lo mismo ocurre con los demás productos escalares.

Prueba alternativa:

\delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}

y se sobreentiende la convención de suma de Einstein .

Un vector v puede especificarse en términos de cualquiera de las bases, es decir,

\mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}

Utilizando la convención de suma de Einstein, los vectores base se relacionan con los componentes mediante ^{[ 2 ]}^{: 30–32}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}

y

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}

donde g es el tensor métrico (véase más abajo).

Un vector puede especificarse con coordenadas covariantes (índices en minúscula, escritos v _k ) o coordenadas contravariantes (índices en mayúscula, escritos v ^k ). A partir de las sumas de vectores anteriores, se puede observar que las coordenadas contravariantes están asociadas con vectores base covariantes, y las coordenadas covariantes están asociadas con vectores base contravariantes.

Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexadas y vectores base es la invariancia, en el sentido de que las componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores base que se transforman de manera contravariante (o covariante).

Integración

Construcción de una base covariante en una dimensión

Consideremos la curva unidimensional mostrada en la Fig. 3. En el punto P , tomado como origen , x es una de las coordenadas cartesianas y q ¹ es una de las coordenadas curvilíneas. El vector base local (no unitario) es b ₁ (denotado h ₁ arriba, con b reservado para vectores unitarios) y está construido sobre el eje q ¹ , que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto P. El eje q ¹ y, por lo tanto, el vector b ₁ forman un ángulo $\alpha$ con el eje x cartesiano y el vector base cartesiano e ₁ .

Se puede observar en el triángulo PAB que

\cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha

donde | e ₁ |, | b ₁ | son las magnitudes de los dos vectores base, es decir, las intersecciones escalares PB y PA . PA es también la proyección de b ₁ sobre el eje x .

Sin embargo, este método para transformaciones de vectores base mediante cosenos direccionales no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:

Al aumentar la distancia desde P , el ángulo entre la línea curva q ¹ y el eje cartesiano x se desvía cada vez más de $\alpha$ .
A la distancia PB el ángulo verdadero es aquel que forma la tangente en el punto C con el eje x y este último ángulo es claramente diferente de $\alpha$ .

Los ángulos que la línea q ¹ y ese eje forman con el eje x se vuelven más cercanos en valor a medida que uno se acerca al punto P y se vuelven exactamente iguales en P.

Supongamos que el punto E está muy cerca de P , tan cerca que la distancia PE es infinitesimalmente pequeña. Entonces, PE medido en el eje q ¹ casi coincide con PE medido en la línea q ^1. Al mismo tiempo, la razón PD/PE ( siendo PD la proyección de PE en el eje x ) se vuelve casi exactamente igual a $\cos \alpha$ .

Sean las intersecciones infinitesimalmente pequeñas PD y PE etiquetadas, respectivamente, como dx y d q ¹ . Entonces

\cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}

.

Por lo tanto, los cosenos directores pueden sustituirse en transformaciones con las razones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitesimalmente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b ₁ en el eje x es

p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}

.

Si q ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y x _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las razones de transformación se pueden escribir como ${\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}$ y ${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}$ . Es decir, esas razones son derivadas parciales de coordenadas pertenecientes a un sistema con respecto a coordenadas pertenecientes al otro sistema.

Construcción de una base covariante en tres dimensiones

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, b ₁ se puede expresar como:

\mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}

Ecuaciones similares se cumplen para b ₂ y b _3, de modo que la base estándar { e ₁ , e ₂ , e ₃ } se transforma en una base local (ordenada y normalizada ) { b ₁ , b ₂ , b ₃ } mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}

Mediante un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de la base local a la base estándar:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}

Jacobiano de la transformación

Los sistemas de ecuaciones lineales anteriores se pueden escribir en forma matricial utilizando la convención de suma de Einstein como

{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}

.

Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana (y su inversa) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden usar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea, y viceversa.

En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}

En la transformación inversa (segundo sistema de ecuaciones), las incógnitas son los vectores base curvilíneos. Para cualquier ubicación específica, solo puede existir un único conjunto de vectores base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y solo si el sistema de ecuaciones tiene una única solución. En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución (no trivial) solo si el determinante de su matriz del sistema es distinto de cero.

\det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0

lo cual muestra la lógica detrás del requisito anterior con respecto al determinante jacobiano inverso.

Generalización a n dimensiones

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera.

Consideremos el espacio euclidiano real n -dimensional, es decir R ⁿ = R × R × ... × R ( n veces) donde R es el conjunto de los números reales y × denota el producto cartesiano , que es un espacio vectorial .

Las coordenadas de este espacio se pueden denotar por: x = ( x ₁ , x ₂ ,..., x _n ). Dado que se trata de un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}

donde e ¹ = (1,0,0...,0), e ² = (0,1,0...,0), e ³ = (0,0,1...,0),..., e ⁿ = (0,0,0...,1) es el conjunto base estándar de vectores para el espacio R ⁿ , e i = 1, 2,... n es un índice que etiqueta los componentes. Cada vector tiene exactamente un componente en cada dimensión (o "eje") y son mutuamente ortogonales ( perpendiculares ) y normalizados (tienen magnitud unitaria ).

De forma más general, podemos definir vectores base b _i de modo que dependan de q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ), es decir, que cambien de un punto a otro: b _i = b _i ( q ). En tal caso, para definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: las coordenadas con respecto a esta base v _i también dependen necesariamente de x , es decir, v _i = v _i ( x ). Entonces, un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas y vectores base alternativos, puede expandirse como una combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada vector base e _i por un número v _i – multiplicación escalar ):

\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )

La suma vectorial que describe a v en la nueva base está compuesta por diferentes vectores, aunque la suma en sí misma sigue siendo la misma.

Transformación de coordenadas

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneas es simplemente un parche de coordenadas en la variedad diferenciable E ^{n (}espacio euclidiano n-dimensional ) que es difeomorfo al parche de coordenadas cartesianas en la variedad. ^{[ 3 ]} Dos parches de coordenadas difeomorfos en una variedad diferencial no necesitan superponerse de forma diferenciable. Con esta sencilla definición de un sistema de coordenadas curvilíneas, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en topología diferencial .

Las funciones de transformación son tales que existe una relación biunívoca entre los puntos en las coordenadas "antiguas" y "nuevas", es decir, esas funciones son biyecciones , y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus dominios :

Son funciones suaves : q ⁱ = q ⁱ ( x )
El determinante jacobiano inverso
$J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$
no es cero; lo que significa que la transformación es invertible : x _i ( q ) según el teorema de la función inversa . La condición de que el determinante jacobiano no sea cero refleja el hecho de que tres superficies de familias diferentes se intersecan en un único punto y, por lo tanto, determinan la posición de este punto de forma única. ^{[ 4 ]}

Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales.

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en algunas de las obras científicas más antiguas de mecánica y física , y puede ser indispensable para comprender trabajos de principios y mediados del siglo XX, como por ejemplo el texto de Green y Zerna. ^{[ 5 ]} En esta sección se presentan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido provienen principalmente de Ogden, ^{[ 6 ]} Naghdi, ^{[ 7 ]} Simmonds, ^{[ 2 ]} Green y Zerna, ^{[ 5 ]} Basar y Weichert, ^{[ 8 ]} y Ciarlet. ^{[ 9 ]}

Tensores en coordenadas curvilíneas

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

{\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}

dónde $\scriptstyle \otimes$ denota el producto tensorial . Los componentes S ^ij se denominan componentes contravariantes , S ⁱ_j componentes covariantes derechas mixtas , S _i^j componentes covariantes izquierdas mixtas y S _ij componentes covariantes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }

El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales

En cada punto, se puede construir un pequeño elemento de línea $d x$ , de modo que el cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar d x • d x y se denomina métrica del espacio , dada por:

d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}

.

La siguiente parte de la ecuación anterior

{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}

es un tensor simétrico llamado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Los índices pueden subirse y bajarse mediante la siguiente métrica:

v^{i}=g^{ik}v_{k}

Relación con los coeficientes de Lamé

Definir los factores de escala h _i por

h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|

da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé, y

g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}

donde h _ij son los coeficientes de Lamé. Para una base ortogonal también tenemos:

g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J

Ejemplo: Coordenadas polares

Si consideramos coordenadas polares para R ² ,

(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ) es r .

Los vectores de base ortogonales son b _r = (cos θ, sin θ), b _θ = (−r sin θ, r cos θ). Los factores de escala son h _r = 1 y h _θ = r . El tensor fundamental es g ₁₁ =1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ =0.

El tensor alternante

En una base ortonormal dextrógira, el tensor alternante de tercer orden se define como

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}

En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}

También se puede demostrar que

{\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}

Símbolos de Christoffel

Símbolos de Christoffel de primera clase $\Gamma _{kij}$

\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}

donde la coma denota una derivada parcial (ver Cálculo de Ricci ). Para expresar Γ _kij en términos de g _ij ,

{\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}

Desde

\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}

utilizando estos para reorganizar las relaciones anteriores se obtiene

\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]

Símbolos de Christoffel de segunda clase $\Gamma ^{k}{}_{ji}$

\Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}

Esto implica que

\Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad

desde

\quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0

.

Otras relaciones que siguen son

{\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}

Operaciones vectoriales

Producto escalar : El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es^{[ 2 ]}^{: 32}
$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}$
Producto vectorial : El producto vectorial de dos vectores viene dado por^{[ 2 ]}^{: 32–34}
$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}$
dónde $\epsilon _{ijk}$ es el símbolo de permutación y $\mathbf {e} _{i}$ es un vector base cartesiano. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es
$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$
dónde ${\mathcal {E}}_{ijk}$ es el tensor alternante de tercer orden .

Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

Es necesario realizar ajustes en el cálculo de las integrales de línea , superficie y volumen . Para simplificar, lo siguiente se limita a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos son válidos para espacios n- dimensionales. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, aparecen algunos términos adicionales en las expresiones.

Simmonds, ^{[ 2 ]} en su libro sobre análisis tensorial , cita a Albert Einstein diciendo ^{[ 10 ]}

La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que la haya comprendido verdaderamente; representa un auténtico triunfo del método del cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial en variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en la relatividad general , ^{[ 11 ]} en la mecánica de cáscaras curvas , ^{[ 9 ]} en el examen de las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell, que ha sido de interés en metamateriales ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} y en muchos otros campos.

En esta sección se presentan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido provienen principalmente de Ogden, ^{[ 14 ]} Simmonds, ^{[ 2 ]} Green y Zerna, ^{[ 5 ]} Basar y Weichert, ^{[ 8 ]} y Ciarlet. ^{[ 9 ]}

Sea φ = φ( x ) un campo escalar bien definido y v = v ( x ) un campo vectorial bien definido , y sean λ ₁ , λ ₂ ... parámetros de las coordenadas.

Elementos geométricos

Vector tangente : Si x ( λ ) parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, entonces
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}$
es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas (usando la regla de la cadena ). Usando la definición de los coeficientes de Lamé, y que para la métrica g _ij = 0 cuando i ≠ j , la magnitud es:
$\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}$
Elemento plano tangente : Si x ( λ ₁ , λ ₂ ) parametriza una superficie S en coordenadas cartesianas, entonces el siguiente producto vectorial de vectores tangentes es un vector normal a S con la magnitud de un elemento plano infinitesimal, en coordenadas curvilíneas. Usando el resultado anterior,
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}$
dónde ${\mathcal {E}}$ es el símbolo de permutación . En forma de determinante:
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}$

Integración

Diferenciación

Las expresiones para el gradiente, la divergencia y el laplaciano se pueden extender directamente a n dimensiones; sin embargo, el rotacional solo está definido en 3D.

El campo vectorial b _i es tangente a la curva de coordenadas q ⁱ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se explicó al inicio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante . También podemos definir una base recíproca , o base curvilínea contravariante , b ⁱ . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores base, como se explicó en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican a la base natural y a su recíproca en cada punto x .

Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales

Por definición, si una partícula sin fuerzas actuando sobre ella tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas inerciales, ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , t ), entonces allí no tendrá aceleración (d ²x _j /d t ² = 0). ^[¹⁵^] En este contexto, un sistema de coordenadas puede no ser "inercial" debido a ejes temporales o espaciales no rectos (o ambos). En otras palabras, los vectores base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en tiempos fijos, o ambas cosas. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inerciales (en este sentido), aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en mecánica clásica ⁾, pero también podemos optar por seguir considerando d²xj ^/_dt² como la aceleración (como si las coordenadas fueran inerciales) y tratar los términos adicionales como si fueran fuerzas, en cuyo caso se denominan fuerzas ficticias. ^[¹⁶^] La componente de cualquier fuerza ficticia de este tipo normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de la curvatura de la trayectoria se denomina entonces fuerza centrífuga . ^[¹⁷^]

Este contexto más general aclara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga en sistemas de coordenadas rotatorias y en sistemas de coordenadas curvilíneas estacionarias. (Ambos conceptos aparecen con frecuencia en la literatura. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} ) Para un ejemplo sencillo, considérese una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w con respecto a un sistema de coordenadas polares que rota con velocidad angular W . La ecuación de movimiento radial es mr ” = F _r + mr ( w + W ) ² . Por lo tanto, la fuerza centrífuga es mr multiplicada por el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta A = w + W de la partícula. Si elegimos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W = A y w = 0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA ² , mientras que si elegimos un sistema de coordenadas estacionario tenemos W = 0 y w = A , en cuyo caso la fuerza centrífuga es nuevamente mrA ² . La razón de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores base en la ubicación de la partícula cambian en el tiempo exactamente de la misma manera. Por lo tanto, estas son realmente solo dos maneras diferentes de describir exactamente lo mismo, una descripción en términos de coordenadas giratorias y la otra en términos de coordenadas curvilíneas estacionarias, ambas no inerciales según el significado más abstracto de ese término.

Al describir el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula suelen referirse al círculo osculador instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento. Este círculo, en general, no está centrado en una posición fija, por lo que la descomposición en componentes centrífugas y de Coriolis cambia constantemente. Esto se cumple independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas fijas o giratorias.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

Spiegel, señor (1959). Análisis vectorial . Nueva York: Serie de esquemas de Schaum. ISBN 0-07-084378-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Arfken, George (1995). Métodos matemáticos para físicos . Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.

Enlaces externos

Planetmath.org Derivación de vectores unitarios en coordenadas curvilíneas
Página de MathWorld sobre coordenadas curvilíneas
Libro electrónico del profesor R. Brannon sobre coordenadas curvilíneas
Wikiversidad: Introducción a la elasticidad/tensores# La divergencia de un campo tensorial – Wikiversidad , Introducción a la elasticidad/tensores.

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