Complemento ortogonal

En los campos matemáticos del álgebra lineal y el análisis funcional , el complemento ortogonal de un subespacio${\displaystyle W}$de un espacio vectorial${\displaystyle V}$equipado con una forma bilineal${\displaystyle B}$es el conjunto${\displaystyle W^{\perp }}$de todos los vectores en${\displaystyle V}$que son ortogonales a cada vector en${\displaystyle W}$. De manera informal, se le llama perp , abreviatura de complemento perpendicular . Es un subespacio de${\displaystyle V}$.

Dejar${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$Sea el espacio vectorial equipado con el producto escalar usual.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$(convirtiéndolo así en un espacio de producto interno ), y dejar$${\displaystyle W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}$$con $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.}$$ y luego su complemento ortogonal$${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \en V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \en W\}}$$también puede definirse como$${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}$$ser $${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

El hecho de que cada vector columna en${\displaystyle \mathbf {A} }$es ortogonal a cada vector columna en${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} }$Esto se puede comprobar mediante cálculo directo. El hecho de que los espacios generados por estos vectores sean ortogonales se deduce de la bilinealidad del producto escalar. Finalmente, el hecho de que estos espacios sean complementos ortogonales se deduce de las relaciones dimensionales que se indican a continuación.

Dejar${\displaystyle V}$sea ​​un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle \mathbb {F} }$equipado con una forma bilineal${\displaystyle B.}$ Nosotros definimos${\displaystyle \mathbf {u} }$ser ortogonal a la izquierda${\displaystyle \mathbf {v} }$, y${\displaystyle \mathbf {v} }$ser ortogonal a la derecha${\displaystyle \mathbf {u} }$, cuando${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.}$ Para un subconjunto${\displaystyle W}$de${\displaystyle V,}$Definir el complemento ortogonal izquierdo${\displaystyle W^{\perp }}$ser $${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.}$$

Existe una definición correspondiente del complemento ortogonal derecho. Para una forma bilineal reflexiva , donde${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implica B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$, los complementos izquierdo y derecho coinciden. Este será el caso si${\displaystyle B}$es una forma simétrica o alternada .

La definición se extiende a una forma bilineal en un módulo libre sobre un anillo conmutativo , y a una forma sesquilineal extendida para incluir cualquier módulo libre sobre un anillo conmutativo con conjugación . ^{[ 1 ]}

Esta sección considera los complementos ortogonales en un espacio de producto interno.${\displaystyle H}$. ^{[ 2 ]}

Dos vectores${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle \mathbf {y} }$se denominan ortogonales si${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$, lo cual sucede si y solo si${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall }$escalares${\displaystyle s}$. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle C}$es cualquier subconjunto de un espacio de producto interno${\displaystyle H}$entonces sucomplemento ortogonal en${\displaystyle H}$es el subespacio vectorial $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}}$$ que siempre es un subconjunto cerrado (por lo tanto, un subespacio vectorial cerrado) de${\displaystyle H}$^{[ 3 ] [ prueba 1 ]} que satisface:

• ${\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$.

Si${\displaystyle C}$es un subespacio vectorial de un espacio con producto interno${\displaystyle H}$entonces $${\displaystyle C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.}$$ Si${\displaystyle C}$es un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$entonces ^{[ 3 ]}$${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ y }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C}$$ dónde${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$se llama eldescomposición ortogonal de${\displaystyle H}$en${\displaystyle C}$y${\displaystyle C^{\bot }}$y eso indica que${\displaystyle C}$es un subespacio complementado de${\displaystyle H}$con complemento${\displaystyle C^{\bot }.}$

Existe un análogo natural de esta noción en espacios de Banach generales . En este caso se define el complemento ortogonal de${\displaystyle W}$ser un subespacio del dual de${\displaystyle V}$definido de manera similar como el aniquilador$${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$$

Siempre es un subespacio cerrado de${\displaystyle V^{*}}$También existe un análogo de la propiedad del doble complemento.${\displaystyle W^{\perp \perp }}$ahora es un subespacio de${\displaystyle V^{**}}$(que no es idéntico a${\displaystyle V}$). Sin embargo, los espacios reflexivos tienen un isomorfismo natural.${\displaystyle i}$entre${\displaystyle V}$y${\displaystyle V^{**}}$. En este caso tenemos$${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.}$$

Esta es una consecuencia bastante directa del teorema de Hahn-Banach .

En la relatividad especial, el complemento ortogonal se utiliza para determinar el hiperplano simultáneo en un punto de una línea de universo . La forma bilineal${\displaystyle \eta }$El espacio de Minkowski determina un espacio pseudoeuclidiano de eventos. ^{[ 5 ]} El origen y todos los eventos en el cono de luz son autoortogonales. Cuando un evento temporal y un evento espacial se evalúan a cero bajo la forma bilineal, entonces son hiperbólico-ortogonales . Esta terminología proviene del uso de hipérbolas conjugadas en el plano pseudoeuclidiano: los diámetros conjugados de estas hipérbolas son hiperbólico-ortogonales.

• Retículo complementado : Retículo ligado en el que cada elemento tiene un complemento. 
• Subespacio complementado : concepto en análisis funcional 
• Teorema de proyección de Hilbert – Sobre subconjuntos convexos cerrados en el espacio de Hilbert 
• Proyección ortogonal : transformación lineal idempotente de un espacio vectorial a sí mismo. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Álgebra: Un enfoque a través de la teoría de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  136, Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003 
• Halmos, Paul R. (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Textos de pregrado en matemáticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002 
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Formas bilineales simétricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol.  73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016 
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 

• Complemento ortogonal ; minuto 9:00 del vídeo de YouTube
• Vídeo instructivo que describe los complementos ortogonales (Khan Academy)