Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es un sistema axiomático en el que todos los teoremas ("enunciados verdaderos") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta la llegada de la geometría no euclidiana , estos axiomas se consideraban obviamente verdaderos en el mundo físico, de modo que todos los teoremas serían igualmente verdaderos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides, desde las suposiciones hasta las conclusiones, sigue siendo válido independientemente de la realidad física. ^{[ 4 ]}

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, enunciados en términos de construcciones (según la traducción de Thomas Heath): ^{[ 5 ]}

Postulémonos lo siguiente:

1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
2. Producir (extender) una línea recta finita de forma continua en línea recta.
3. Describir un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. [El postulado de las paralelas ]: Que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Aunque Euclides afirma explícitamente solo la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento también asume implícitamente que son únicos.

Los Elementos también incluyen los siguientes cinco "nociones comunes ":

1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí (la propiedad transitiva de una relación euclidiana ).
2. Si se suman cantidades iguales a cantidades iguales, entonces los totales son iguales (propiedad aditiva de la igualdad).
3. Si se restan números iguales de números iguales, entonces las diferencias son iguales (propiedad de la resta de la igualdad).
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí (propiedad reflexiva).
5. El todo es mayor que la parte.

Los estudiosos modernos coinciden en que los postulados de Euclides no proporcionan el fundamento lógico completo que él requería para su presentación. ^{[ 6 ]} Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos.

Para los antiguos, el postulado de las paralelas parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas, y para ellos, el postulado de las líneas paralelas parecía requerir una demostración a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal demostración es imposible, ya que se pueden construir sistemas de geometría consistentes (que cumplen con los demás axiomas) en los que el postulado de las paralelas es verdadero, y otros en los que es falso. ^{[ 7 ]} El propio Euclides parece haberlo considerado cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos : sus primeras 28 proposiciones son las que pueden demostrarse sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes al postulado paralelo (en el contexto de los demás axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair establece:

En un plano , a través de un punto que no se encuentra en una línea recta dada, se puede trazar como máximo una línea que nunca se cruza con la línea dada.

La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.

La geometría euclidiana es constructiva . Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con nada más que un compás y una regla sin marcar . ^{[ 8 ]} En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos, como la teoría de conjuntos , que a menudo afirman la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirman la existencia de objetos que no se pueden construir dentro de la teoría. ^{[ 9 ]} Estrictamente hablando, las líneas en el papel son modelos de los objetos definidos dentro del sistema formal, en lugar de instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene anchura, pero cualquier línea real dibujada sí la tendrá. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran que las demostraciones no constructivas son tan válidas como las constructivas, a menudo se las considera menos elegantes , intuitivas o prácticamente útiles. Las demostraciones constructivas de Euclides a menudo suplantaron a las demostraciones no constructivas falaces, por ejemplo, algunas demostraciones pitagóricas que asumían que todos los números son racionales, que generalmente requerían una afirmación como "Encuentre la mayor medida común de..." ^{[ 10 ]}

Euclides a menudo utilizaba la demostración por contradicción . ^{[ 11 ]}

Los puntos se nombran habitualmente con letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran indicando un número suficiente de puntos para identificarlas sin ambigüedad en la figura correspondiente; por ejemplo, el triángulo ABC normalmente sería un triángulo con vértices en los puntos A, B y C.

Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se denominan complementarios . Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección intermedia entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos intermedios entre los dos rayos originales es infinito.

Los ángulos cuya suma es un ángulo llano se denominan ángulos suplementarios . Un ángulo suplementario se forma cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección intermedia entre los dos rayos originales que forman el ángulo llano (ángulo de 180 grados). El número de rayos intermedios entre los dos rayos originales es infinito.

En la terminología moderna, los ángulos normalmente se miden en grados o radianes .

Los libros de texto escolares modernos suelen definir figuras geométricas distintas: líneas (infinitas), semirrectas (semiinfinitas) y segmentos de línea (de longitud finita). Euclides, en lugar de hablar de una semirrecta como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, solía usar expresiones como «si la línea se extiende hasta una longitud suficiente», aunque ocasionalmente se refería a «líneas infinitas». Para Euclides, una «línea» podía ser recta o curva, y utilizaba el término más específico «línea recta» cuando era necesario.

El pons asinorum ( puente de asnos ) afirma que en los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales, y, si se prolongan las líneas rectas iguales, los ángulos bajo la base también son iguales . ^{[ 12 ]} Su nombre puede atribuirse a su frecuente papel como primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como puente hacia las proposiciones más difíciles que seguían. También podría llamarse así por el parecido de la figura geométrica con un puente empinado que solo un burro de paso firme podría cruzar. ^{[ 13 ]}

Cuatro configuraciones de congruencia: LAL, ALA, AAL y el caso ambiguo SSA (abajo a la derecha), que puede dar lugar a dos triángulos distintos.

Las dos figuras de la izquierda son congruentes; la tercera es similar a ellas; la última no es ninguna de las dos. La congruencia altera la ubicación y la orientación, pero conserva la distancia y los ángulos , propiedades conocidas como invariantes .

Los triángulos son congruentes si satisfacen cualquiera de las siguientes condiciones (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26):

• SSS — los tres lados son iguales
• LAL (dos lados y el ángulo comprendido) es igual.
• ASA — dos ángulos y el lado comprendido son iguales

Los triángulos con tres ángulos iguales ( AAA ) son semejantes, pero no necesariamente congruentes. Del mismo modo, dos lados iguales y un ángulo no incluido ( SSA ) no garantizan la congruencia.

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$^{[ 14 ]}

Esto significa que un triángulo equilátero tiene tres ángulos interiores de 60°, y que todo triángulo tiene al menos dos ángulos agudos y como máximo un ángulo obtuso o recto .

El célebre teorema de Pitágoras (Libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo con catetos a , b e hipotenusa c :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

El área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los dos catetos.

El teorema de Tales , que recibe su nombre de Tales de Mileto , establece que si A, B y C se encuentran en una circunferencia con diámetro AC, entonces:

${\displaystyle \angle ABC=90^{\circ }}$

Cantor supuso que Tales demostró esto por medio del Libro I de Euclides, Prop. 32, siguiendo el método del Libro III de Euclides, Prop. 31. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

El teorema de Ptolomeo relaciona los lados y las diagonales de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo). Para un cuadrilátero cíclico ABCD:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA}$

Es decir, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. El teorema generaliza el teorema de Pitágoras, recuperado como el caso particular en que el cuadrilátero cíclico es un rectángulo. Ptolomeo, en el Almagesto , utilizó este resultado para construir su tabla de cuerdas , precursora de las tablas trigonométricas modernas .

El Libro XIII de los Elementos , su último libro, está dedicado a la construcción y clasificación de los sólidos platónicos : el tetraedro , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro ; cada uno de ellos es un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares congruentes que se unen en la misma disposición en cada vértice. Las proposiciones 13 a 17 construyen estos cinco sólidos sucesivamente, y para cada uno Euclides halla la razón entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de la arista. ^{[ 17 ]} La proposición 18 argumenta que no existe ningún otro poliedro regular convexo. ^{[ 18 ]}

En la terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, y el volumen de un sólido al cubo:

${\displaystyle A\propto L^{2},\qquad V\propto L^{3}}$

Euclides demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo ^{[ 19 ]} y el volumen de un sólido paralelepipédico. [ ^{20 ] Euclides determinó} algunas, pero no todas, las constantes de proporcionalidad relevantes. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro circunscrito ^. [ ²¹ ]

• Análisis de tensiones : El análisis de tensiones mediante geometría euclidiana es fundamental para determinar la distribución de tensiones en los componentes mecánicos, lo cual es esencial para garantizar la integridad estructural y la durabilidad .

• Diseño de engranajes : Engranaje - El diseño de engranajes, un elemento crucial en muchos sistemas mecánicos , depende en gran medida de la geometría euclidiana para garantizar la forma y el acoplamiento adecuados de los dientes para una transmisión de potencia eficiente .

• Diseño de intercambiadores de calor : En ingeniería térmica , se utiliza la geometría euclidiana para diseñar intercambiadores de calor , donde la configuración geométrica influye considerablemente en la eficiencia térmica . Consulte los intercambiadores de calor de carcasa y tubos y los intercambiadores de calor de placas para obtener más detalles.

• Diseño de lentes : Lentes - En ingeniería óptica, la geometría euclidiana es fundamental en el diseño de lentes, donde las formas geométricas precisas determinan las propiedades de enfoque . La óptica geométrica analiza el enfoque de la luz mediante lentes y espejos .

• Análisis de vibraciones : La geometría euclidiana es fundamental para analizar y comprender las vibraciones en los sistemas mecánicos , lo que ayuda en el diseño de sistemas que puedan soportar o utilizar estas vibraciones de manera eficaz.

• Diseño de alas : Diseño de alas de aeronaves : La aplicación de la geometría euclidiana en aerodinámica es evidente en el diseño de alas de aeronaves , perfiles aerodinámicos e hidrodinámicos, donde la forma geométrica impacta directamente en las características de sustentación y resistencia .

• Órbitas de satélites : La geometría euclidiana ayuda a calcular y predecir las órbitas de los satélites , lo cual es esencial para el éxito de las misiones espaciales y las operaciones satelitales . Véase también astrodinámica , mecánica celeste y órbita elíptica .

• Modelado 3D : En los sistemas CAD (diseño asistido por computadora) , la geometría euclidiana es fundamental para crear modelos 3D precisos de piezas mecánicas. Estos modelos son cruciales para visualizar y probar los diseños antes de la fabricación .

• Diseño y fabricación : Gran parte de la fabricación asistida por ordenador (CAM) se basa en la geometría euclidiana. La geometría de diseño en CAD/CAM suele consistir en formas delimitadas por planos , cilindros , conos , toros y otras formas euclidianas similares. Hoy en día, CAD/CAM es esencial en el diseño de una amplia gama de productos, desde automóviles y aviones hasta barcos y teléfonos inteligentes .

• Evolución de las prácticas de dibujo técnico : Históricamente, la geometría euclidiana avanzada, incluyendo teoremas como el de Pascal y el de Brianchon , era fundamental para las prácticas de dibujo técnico. Sin embargo, con la llegada de los sistemas CAD modernos, un conocimiento tan profundo de estos teoremas es menos necesario en los procesos de diseño y fabricación contemporáneos.

• Diseño de PCB : El diseño de placas de circuito impreso (PCB) utiliza la geometría euclidiana para la colocación y el enrutamiento eficientes de los componentes, lo que garantiza la funcionalidad y optimiza el espacio . La disposición eficiente de los componentes electrónicos en las PCB es fundamental para minimizar la interferencia de la señal y optimizar el rendimiento del circuito .

• Diseño de antenas : El diseño de antenas mediante la geometría euclidiana ayuda a diseñar antenas, donde la disposición espacial y las dimensiones afectan directamente el rendimiento de la antena y del conjunto en la transmisión y recepción de ondas electromagnéticas .

• Teoría de campos : Flujo potencial complejo - En el estudio de campos de flujo no viscoso y campos electromagnéticos , la geometría euclidiana ayuda a visualizar y resolver problemas de flujo potencial . Esto es esencial para comprender las interacciones entre el campo de velocidad del fluido y el campo electromagnético en el espacio tridimensional. La relación entre ambos se caracteriza por un campo solenoidal irrotacional o un campo vectorial conservativo .

• Análisis de sistemas de control : Sistemas de control : La aplicación de la geometría euclidiana en la teoría de control ayuda en el análisis y diseño de sistemas de control , particularmente en la comprensión y optimización de la estabilidad y respuesta del sistema .

• Herramientas de cálculo : Jacobiano - La geometría euclidiana es fundamental para el uso de matrices jacobianas en transformaciones y sistemas de control, tanto en ingeniería mecánica como eléctrica , proporcionando información valiosa sobre el comportamiento y las propiedades del sistema. El jacobiano sirve como matriz de diseño linealizada en regresión estadística y ajuste de curvas ; véase mínimos cuadrados no lineales . El jacobiano también se utiliza en matrices aleatorias , momentos , estadística y diagnóstico .

Arquímedes ( c. 287 a. C. – c. 212 a. C. ), una figura singular sobre la que se conservan numerosas anécdotas históricas, es recordado junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad. Si bien Euclides sentó las bases de su obra, se cree que la suya, a diferencia de la de este último, fue completamente original. ^{[ 25 ]} Demostró ecuaciones para los volúmenes y áreas de diversas figuras en dos y tres dimensiones, y enunció la propiedad arquimediana de los números finitos. 

Apolonio de Perga ( c. 240 a. C. – c. 190 a. C. ) es conocido principalmente por su investigación sobre las secciones cónicas. 

René Descartes (1596–1650) desarrolló la geometría analítica , un método alternativo para formalizar la geometría que se centraba en convertir la geometría en álgebra. ^{[ 26 ]}

En este enfoque, un punto en un plano se representa mediante sus coordenadas cartesianas ( x , y ), una línea se representa mediante su ecuación, y así sucesivamente.

En el enfoque original de Euclides, el teorema de Pitágoras se deduce de sus axiomas. En el enfoque cartesiano, los axiomas son los del álgebra, y la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras es entonces una definición de uno de los términos de los axiomas de Euclides, que ahora se consideran teoremas.

La ecuación

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,}$

La definición de la distancia entre dos puntos P = ( p _x , p _y ) y Q = ( q _x , q _y ) se conoce como métrica euclidiana , y otras métricas definen geometrías no euclidianas .

^{En términos de geometría analítica, la restricción de la geometría clásica a construcciones con compás y regla implica una restricción a ecuaciones de} primer y segundo orden, por ejemplo, y = 2 x + 1 (una línea) o x² + y² = 7 (un círculo).

También en el siglo XVII, Girard Desargues , motivado por la teoría de la perspectiva , introdujo el concepto de puntos, líneas y planos idealizados en el infinito. El resultado puede considerarse un tipo de geometría generalizada, la geometría proyectiva , pero también puede utilizarse para realizar demostraciones en geometría euclidiana ordinaria en la que se reduce el número de casos especiales. ^{[ 27 ]}

Los geómetras del siglo XVIII se esforzaron por definir los límites del sistema euclidiano. Muchos intentaron en vano demostrar el quinto postulado a partir de los cuatro primeros. Para 1763, se habían publicado al menos 28 demostraciones diferentes, pero todas resultaron ser incorrectas. ^{[ 28 ]}

Antes de este período, los geómetras también intentaron determinar qué construcciones podían realizarse en la geometría euclidiana. Por ejemplo, el problema de trisecar un ángulo con regla y compás es uno que surge naturalmente dentro de la teoría, ya que los axiomas se refieren a operaciones constructivas que pueden llevarse a cabo con esas herramientas. Sin embargo, siglos de esfuerzos no lograron encontrar una solución a este problema, hasta que Pierre Wantzel publicó una demostración en 1837 de que tal construcción era imposible. Otras construcciones que se demostraron imposibles incluyen duplicar el cubo y cuadrar el círculo . En el caso de duplicar el cubo, la imposibilidad de la construcción se origina en el hecho de que el método de regla y compás implica ecuaciones cuyo orden es una potencia entera de dos, ^{[ 29 ]} mientras que duplicar un cubo requiere la solución de una ecuación de tercer orden.

Euler analizó una generalización de la geometría euclidiana llamada geometría afín , que conserva el quinto postulado sin modificar, al tiempo que debilita los postulados tres y cuatro de manera que elimina las nociones de ángulo (por lo que los triángulos rectángulos pierden sentido) y de igualdad de longitud de los segmentos de línea en general (por lo que los círculos pierden sentido), mientras que conserva las nociones de paralelismo como una relación de equivalencia entre líneas, y de igualdad de longitud de los segmentos de línea paralelos (de modo que los segmentos de línea continúan teniendo un punto medio).

A principios del siglo XIX, Carnot y Möbius desarrollaron sistemáticamente el uso de ángulos con signo y segmentos de línea como una forma de simplificar y unificar resultados. ^{[ 30 ]}

La teoría de la relatividad especial de Einstein involucra un espacio-tiempo de cuatro dimensiones , el espacio de Minkowski , que no es euclidiano . Esto demuestra que las geometrías no euclidianas, introducidas unos años antes para demostrar que el postulado de las paralelas no se puede probar, también son útiles para describir el mundo físico.

Sin embargo, la parte espacial tridimensional del espacio de Minkowski sigue siendo el espacio de la geometría euclidiana. Esto no ocurre con la relatividad general , para la cual la geometría de la parte espacial del espacio-tiempo no es euclidiana. ^{[ 37 ]} Por ejemplo, si se construye un triángulo a partir de tres rayos de luz, en general los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad. Un campo gravitatorio relativamente débil, como el de la Tierra o el del Sol, se representa mediante una métrica que es aproximadamente, pero no exactamente, euclidiana. Hasta el siglo XX, no existía tecnología capaz de detectar estas desviaciones de los rayos de luz respecto a la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que tales desviaciones existirían. Posteriormente fueron verificadas mediante observaciones como la ligera desviación de la luz estelar por el Sol durante un eclipse solar en 1919, y tales consideraciones son ahora parte integral del software que ejecuta el sistema GPS . ^{[ 38 ]}

Euclides a veces distinguía explícitamente entre «líneas finitas» (p. ej., Postulado 2) y « líneas infinitas » (libro I, proposición 12). Sin embargo, por lo general no hacía tales distinciones a menos que fueran necesarias. Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan el postulado 3, la existencia de un círculo con cualquier radio, como una implicación de que el espacio es infinito. ^{[ 42 ]}

La noción de cantidades infinitesimales había sido ampliamente discutida previamente por la Escuela Eleática , pero nadie había logrado fundamentarla lógicamente, y paradojas como la de Zenón no se habían resuelto de manera universalmente satisfactoria. Euclides empleó el método de agotamiento en lugar de los infinitesimales. ^{[ 44 ]}

Comentaristas antiguos posteriores, como Proclo (410-485 d. C.), trataron muchas cuestiones sobre el infinito como asuntos que requerían demostración y, por ejemplo, Proclo afirmó probar la divisibilidad infinita de una línea, basándose en una demostración por contradicción en la que consideró los casos de números pares e impares de puntos que la constituyen. ^{[ 45 ]}

A principios del siglo XX, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese y otros produjeron trabajos controvertidos sobre modelos no arquimedianos de geometría euclidiana, en los que la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en el sentido newtoniano - leibniziano . ^{[ 46 ]} Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese. ^{[ 47 ]}

Los geómetras antiguos podrían haber considerado el postulado de las paralelas —que dos líneas paralelas nunca se cruzan— menos cierto que los demás porque hace una afirmación sobre regiones infinitamente remotas del espacio y, por lo tanto, no puede verificarse físicamente. ^{[ 48 ]}

La formulación moderna de la demostración por inducción no se desarrolló hasta el siglo XVII, pero algunos comentaristas posteriores la consideran implícita en algunas de las demostraciones de Euclides, por ejemplo, la demostración de la infinitud de los números primos. ^{[ 49 ]}

Las supuestas paradojas que involucran series infinitas, como la paradoja de Zenón , son anteriores a Euclides. Euclides evitó tales discusiones, dando, por ejemplo, la expresión para las sumas parciales de la serie geométrica en IX.35 sin comentar la posibilidad de que el número de términos se vuelva infinito.

Euclides utilizaba frecuentemente el método de demostración por contradicción , y por lo tanto, la presentación tradicional de la geometría euclidiana presupone la lógica clásica , en la que toda proposición es verdadera o falsa; es decir, para cualquier proposición P, la proposición "P o no P" es automáticamente verdadera. ^{[ 50 ]} La demostración por contradicción (o método de reducción al absurdo ) se basa en dos principios cardinales de la lógica clásica: la ley de la contradicción y la ley del tercero excluido . En términos sencillos, la ley de la contradicción establece que si S es cualquier enunciado, entonces S y una contradicción (es decir, la negación) de S no pueden ser válidas simultáneamente . Y la ley del tercero excluido establece que o S o la negación de S deben ser válidas (es decir, no existe una tercera posibilidad, o intermedia). Este método consiste, por lo tanto, en suponer (a modo de hipótesis) que una proposición que se pretende demostrar es falsa; si se produce un absurdo, se concluye que la hipótesis es insostenible y que la proposición original debe ser verdadera. ^{[ 51 ]}

Fundamentar la geometría euclidiana sobre una base axiomática sólida fue una preocupación de los matemáticos durante siglos. ^{[ 52 ]} El papel de las nociones primitivas , o conceptos indefinidos, fue claramente expuesto por Alessandro Padoa de la delegación de Peano en la conferencia de París de 1900: ^{[ 52 ] [ 53 ]}

...cuando comenzamos a formular la teoría, podemos imaginar que los símbolos indefinidos carecen por completo de significado y que las proposiciones no probadas son simplemente condiciones impuestas sobre los símbolos indefinidos.

Entonces, el sistema de ideas que hemos elegido inicialmente es simplemente una interpretación de los símbolos indefinidos; pero... esta interpretación puede ser ignorada por el lector, quien es libre de reemplazarla en su mente por otra interpretación ... que satisfaga las condiciones...

De este modo, las cuestiones lógicas se vuelven completamente independientes de las cuestiones empíricas o psicológicas ...

El sistema de símbolos indefinidos puede considerarse entonces como la abstracción obtenida a partir de las teorías especializadas que resultan cuando... el sistema de símbolos indefinidos es reemplazado sucesivamente por cada una de las interpretaciones...

Es decir, las matemáticas son conocimiento independiente del contexto dentro de un marco jerárquico. Como dijo Bertrand Russell : ^{[ 54 ]}

Si nuestra hipótesis se refiere a cualquier cosa , y no a una o varias cosas particulares, entonces nuestras deducciones constituyen matemáticas. Por lo tanto, las matemáticas pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de qué hablamos ni si lo que decimos es verdad.

La geometría es la ciencia del razonamiento correcto a partir de figuras incorrectas.

• Axiomas de Euclides: En su disertación para el Trinity College de Cambridge, Bertrand Russell resumió el papel cambiante de la geometría euclidiana en la mente de los filósofos hasta ese momento. ^{[ 55 ]} Se trataba de un conflicto entre el conocimiento cierto, independiente de la experimentación, y el empirismo, que requería aportes experimentales. Este problema se hizo evidente cuando se descubrió que el postulado de las paralelas no era necesariamente válido y que su aplicabilidad era una cuestión empírica, que determinaba si la geometría aplicable era euclidiana o no euclidiana .
• Axiomas de Hilbert : Los axiomas de Hilbert tenían como objetivo identificar un conjunto simple y completo de axiomas independientes a partir de los cuales se pudieran deducir los teoremas geométricos más importantes. Los objetivos principales eran hacer rigurosa la geometría euclidiana (evitando suposiciones ocultas) y aclarar las ramificaciones del postulado de las paralelas.
• Axiomas de Birkhoff : Birkhoff propuso cuatro postulados para la geometría euclidiana que pueden confirmarse experimentalmente con regla y transportador. Este sistema se basa en gran medida en las propiedades de los números reales . ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]} Las nociones de ángulo y distancia se convierten en conceptos primitivos. ^{[ 59 ]}
• Axiomas de Tarski : Alfred Tarski (1902–1983) y sus estudiantes definieron la geometría euclidiana elemental como la geometría que puede expresarse en lógica de primer orden y no depende de la teoría de conjuntos para su base lógica, ^{[ 60 ]} en contraste con los axiomas de Hilbert, que involucran conjuntos de puntos. ^{[ 61 ]} Tarski demostró que su formulación axiomática de la geometría euclidiana elemental es consistente y completa en cierto sentido : existe un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrarse verdadero o falso. ^{[ 36 ]} (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que el teorema sea aplicable. ^{[ 62 ]} ) Esto es equivalente a la decidibilidad de los cuerpos cerrados reales , de los cuales la geometría euclidiana elemental es un modelo.