funciones ortogonales

En matemáticas , las funciones ortogonales pertenecen a un espacio de funciones que es un espacio vectorial dotado de una forma bilineal . Cuando el espacio de funciones tiene un intervalo como dominio , la forma bilineal puede ser la integral del producto de funciones sobre dicho intervalo:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

Las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son ortogonales cuando esta integral es cero, es decir${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$cuando sea${\displaystyle f\neq g}$Al igual que ocurre con una base de vectores en un espacio de dimensión finita, las funciones ortogonales pueden formar una base infinita para un espacio de funciones. Conceptualmente, la integral anterior es equivalente al producto escalar de dos vectores ; dos vectores son mutuamente independientes (ortogonales) si su producto escalar es cero.

Suponer${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$es una secuencia de funciones ortogonales de normas ^L2 no nulas${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$De ello se deduce que la secuencia${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$es de funciones de norma L ² uno, formando una secuencia ortonormal . Para tener una norma L ² definida , la integral debe estar acotada, lo que restringe las funciones a ser integrables al cuadrado .

Varios conjuntos de funciones ortogonales se han convertido en bases estándar para aproximar funciones. Por ejemplo, las funciones seno sin nx y sin mx son ortogonales en el intervalo${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$cuando${\displaystyle m\neq n}$y n y m son enteros positivos. Entonces

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(mn\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

y la integral del producto de las dos funciones seno se anula. ^{[ 1 ]} Junto con las funciones coseno, estas funciones ortogonales pueden ensamblarse en un polinomio trigonométrico para aproximar una función dada en el intervalo con su serie de Fourier .

Si se comienza con la secuencia monomial${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$en el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$y aplicando el proceso de Gram-Schmidt , se obtienen los polinomios de Legendre . Otra colección de polinomios ortogonales son los polinomios de Legendre asociados .

El estudio de los polinomios ortogonales implica funciones de ponderación.${\displaystyle w(x)}$que se insertan en forma bilineal:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

Para polinomios de Laguerre en${\displaystyle (0,\infty )}$La función de peso es${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$.

Tanto los físicos como los teóricos de la probabilidad utilizan polinomios de Hermite en${\displaystyle (-\infty,\infty)}$donde la función de peso es${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$o${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$.

Los polinomios de Chebyshev se definen en${\displaystyle [-1,1]}$y usar pesas${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$o${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Los polinomios de Zernike se definen en el disco unitario y presentan ortogonalidad tanto en sus partes radiales como angulares.

Las funciones de Walsh y las ondículas de Haar son ejemplos de funciones ortogonales con rangos discretos.

Los polinomios de Legendre y Chebyshev proporcionan familias ortogonales para el intervalo [−1, 1], mientras que ocasionalmente se requieren familias ortogonales en [0, ∞) . En este caso, conviene aplicar primero la transformada de Cayley para llevar el argumento al intervalo [−1, 1] . Este procedimiento da como resultado familias de funciones racionales ortogonales llamadas funciones racionales de Legendre y funciones racionales de Chebyshev .

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de contorno a menudo se pueden escribir como una suma ponderada de funciones de solución ortogonales (también llamadas autofunciones ), lo que da lugar a series de Fourier generalizadas .

• Valores propios y vectores propios
• espacio de Hilbert
• Teorema de Karhunen-Loève
• El teorema de Lauricella
• Función Wannier

• George B. Arfken y Hans J. Weber (2005) Métodos matemáticos para físicos , 6.ª edición, capítulo 10: Teoría de Sturm-Liouville: funciones ortogonales, Academic Press .
• Price, Justin J. (1975). "Temas en funciones ortogonales" . American Mathematical Monthly . 82 : 594–609 . doi : 10.2307/2319690 . Archivado del original el 15 de enero de 2021. Recuperado el 9 de febrero de 2019 .
• Giovanni Sansone (traducido por Ainsley H. Diamond) (1959) Funciones ortogonales , Interscience Publishers .

• Funciones ortogonales , en MathWorld.