Proyección cartográfica ortográfica

La proyección ortográfica en cartografía se utiliza desde la antigüedad. Al igual que la proyección estereográfica y la gnomónica , la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o secante . El punto de perspectiva para la proyección ortográfica se sitúa a distancia infinita . Representa un hemisferio del globo tal como aparece desde el espacio exterior , donde el horizonte es un círculo máximo . Las formas y áreas se distorsionan , especialmente cerca de los bordes. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La proyección ortográfica se conoce desde la antigüedad y sus usos cartográficos están bien documentados. Hiparco la utilizó en el siglo II a. C. para determinar los puntos de salida y puesta de las estrellas. Hacia el año 14 a. C., el ingeniero romano Marco Vitruvio Polión la empleó para construir relojes de sol y calcular la posición del sol. ^{[ 2 ]}

Vitruvio también parece haber ideado el término ortográfico (del griego orthos (= “recto”) y graphē (= “dibujo”)) para la proyección. Sin embargo, el nombre analemma , que también significaba reloj de sol que mostraba latitud y longitud, fue el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613. ^{[ 2 ]}

Los mapas más antiguos que se conservan sobre esta proyección aparecen como dibujos toscos grabados en madera de globos terráqueos de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner), y 1524 y 1551 (Apian). Un mapa muy refinado, diseñado por el polímata renacentista Albrecht Dürer y ejecutado por Johannes Stabius , apareció en 1515. ^{[ 2 ]}

Las fotografías de la Tierra y otros planetas tomadas desde naves espaciales han inspirado un renovado interés en la proyección ortográfica en astronomía y ciencias planetarias .

Las fórmulas para la proyección ortográfica esférica se derivan mediante trigonometría . Se escriben en términos de longitud ( λ ) y latitud ( φ ) en la esfera . Se define el radio de la esfera R y el punto central (y origen ) de la proyección ( λ₀ _, φ₀ ) . Las _ecuaciones para la proyección ortográfica sobre el plano tangente ( x , y ) se reducen a lo siguiente: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R {\big (}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{alineado}}}$$

Las latitudes que quedan fuera del alcance del mapa deben recortarse calculando la distancia angular c desde el centro de la proyección ortográfica. Esto garantiza que no se representen puntos del hemisferio opuesto. $${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,.}$$ El punto debe ser recortado del mapa si cos( c ) es negativo. Es decir, todos los puntos que están incluidos en el mapeo satisfacen: $${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}.}$$

Las fórmulas inversas vienen dadas por: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$$

Para el cálculo de las fórmulas inversas, se recomienda utilizar la forma atan2 de dos argumentos de la función tangente inversa (en lugar de atan ). Esto garantiza que el signo de la proyección ortográfica, tal como se escribe, sea correcto en todos los cuadrantes .

Las fórmulas inversas son particularmente útiles al intentar proyectar una variable definida en una cuadrícula ( λ , φ ) sobre una cuadrícula rectilínea en ( x , y ) . La aplicación directa de la proyección ortográfica produce puntos dispersos en ( x , y ) , lo que genera problemas para la representación gráfica y la integración numérica . Una solución consiste en partir del plano de proyección ( x , y ) y construir la imagen a partir de los valores definidos en ( λ , φ ) utilizando las fórmulas inversas de la proyección ortográfica.

Consulte las referencias para obtener una versión elipsoidal de la proyección cartográfica ortográfica. ^{[ 3 ]}

Comparación de la proyección cartográfica ortográfica y algunas proyecciones azimutales centradas en 90 °  N a la misma escala, ordenadas por altitud de proyección en radios terrestres ( haga clic  para  ver más detalles ).

En sentido amplio, todas las proyecciones con el punto de perspectiva en el infinito (y, por lo tanto, con líneas de proyección paralelas) se consideran ortográficas, independientemente de la superficie sobre la que se proyecten. Dichas proyecciones distorsionan los ángulos y las áreas cercanas a los polos.

Un ejemplo de proyección ortográfica sobre un cilindro es la proyección cilíndrica de Lambert de áreas iguales .

• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección estereográfica en cartografía

• Proyección ortográfica—de MathWorld