Proyección ortográfica

La proyección ortográfica , o proyección ortogonal (también analema ^{[ a ]} ), es un método para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones . La proyección ortográfica es una forma de proyección paralela en la que todas las líneas de proyección son ortogonales al plano de proyección , ^{[ 2 ]} lo que da como resultado que cada plano de la escena aparezca en una transformación afín sobre la superficie de visualización. El reverso de una proyección ortográfica es una proyección oblicua , que es una proyección paralela en la que las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.

El término ortográfico a veces se refiere a una técnica de proyección multivista en la que los ejes principales o los planos del sujeto también son paralelos al plano de proyección para crear las vistas primarias . ^{[ 2 ]} Si los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, la representación se denomina axonométrica o vista auxiliar . ( La proyección axonométrica es sinónimo de proyección paralela ). Los subtipos de vistas primarias incluyen plantas , alzados y secciones ; los subtipos de vistas auxiliares incluyen proyecciones isométricas , dimétricas y trimétricas .

Una lente que proporciona una proyección ortográfica es una lente telecéntrica en el espacio objeto .

Una proyección ortográfica simple sobre el plano z = 0 se puede definir mediante la siguiente matriz :

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Para cada punto v = ( v _x , v _y , v _z ), el punto transformado Pv sería

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}}$

A menudo, es más útil usar coordenadas homogéneas . La transformación anterior se puede representar para coordenadas homogéneas como

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Para cada vector homogéneo v = ( v _x , v _y , v _z , 1 ), el vector transformado Pv sería

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

En gráficos por computadora , una de las matrices más comunes utilizadas para la proyección ortográfica se puede definir mediante una 6-tupla , ( izquierda , derecha , abajo , arriba , cerca , lejos ), que define los planos de recorte . Estos planos forman una caja con la esquina mínima en ( izquierda , abajo , cerca ) y la esquina máxima en ( derecha , arriba , lejos ). ^{[ 3 ]}

La caja se traslada de manera que su centro esté en el origen, luego se escala al cubo unitario que se define por tener una esquina mínima en (−1,−1,−1) y una esquina máxima en (1,1,1).

La transformación ortográfica se puede expresar mediante la siguiente matriz:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{derecha}}-{\text{izquierda}}}}&0&0&-{\frac {{\text{derecha}}+{\text{izquierda}}}{{\text{derecha}}-{\text{izquierda}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{arriba}}-{\text{abajo}}}}&0&-{\frac {{\text{arriba}}+{\text{abajo}}}{{\text{arriba}}-{\text{abajo}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{lejos}}-{\text{cerca}}}}&-{\frac {{\text{lejos}}+{\text{cerca}}}{{\text{lejos}}-{\text{cerca}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

que puede expresarse como un escalamiento S seguido de una traslación T de la forma

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{derecha}}-{\text{izquierda}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{arriba}}-{\text{abajo}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{lejos}}-{\text{cerca}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{izquierda}}+{\text{derecha}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{arriba}}+{\text{abajo}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{lejos}}+{\text{cerca}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Se define la inversión de la matriz de proyección P ⁻¹ , que puede utilizarse como matriz de desproyección:

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Tres subtipos de proyección ortográfica son la proyección isométrica , la proyección dimétrica y la proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. ^{[ 2 ] [ 4 ]} Típicamente en el dibujo axonométrico, como en otros tipos de representaciones pictóricas, un eje del espacio se muestra como vertical.

En la proyección isométrica , la forma más común de proyección axonométrica en el dibujo técnico, ^{[ 5 ]} la dirección de visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados , y existe un ángulo común de 120° entre ellos. Como la distorsión causada por el acortamiento es uniforme, se conserva la proporcionalidad entre las longitudes y los ejes comparten una escala común; esto facilita la toma de medidas directamente del dibujo. Otra ventaja es que los ángulos de 120° se construyen fácilmente utilizando solo un compás y una regla .

En la proyección dimétrica , la dirección de visualización es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados, y la escala y los ángulos de presentación correspondientes se determinan según el ángulo de visualización; la escala de la tercera dirección se determina por separado.

En la proyección trimétrica , la dirección de visión es tal que los tres ejes del espacio aparecen acortados de forma desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según el ángulo de visión. La perspectiva trimétrica rara vez se utiliza en dibujos técnicos. ^{[ 4 ]}

En la proyección multivista , se generan hasta seis imágenes de un objeto, denominadas vistas primarias , con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se posicionan entre sí según dos esquemas: proyección en primer ángulo o en tercer ángulo . En ambos casos, las vistas se proyectan sobre planos que forman una caja hexagonal alrededor del objeto. Si bien se pueden dibujar seis lados diferentes, generalmente tres vistas de un dibujo proporcionan suficiente información para representar un objeto tridimensional. Estas vistas se conocen como vista frontal (también alzado ), vista superior (también planta ) y vista lateral . Cuando el plano o eje del objeto representado no es paralelo al plano de proyección, y se aprecian varios lados del objeto en la misma imagen, se denomina vista auxiliar . Por lo tanto, la proyección isométrica , la proyección dimétrica y la proyección trimétrica se consideran vistas auxiliares en la proyección multivista. Una característica típica de la proyección multivista es que un eje del espacio se suele representar como vertical.

Un mapa de proyección ortográfica es una proyección cartográfica . Al igual que la proyección estereográfica y la proyección gnomónica , la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva (o azimutal) , en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o secante . El punto de perspectiva para la proyección ortográfica se encuentra a distancia infinita . Representa un hemisferio del globo tal como aparece desde el espacio exterior , donde el horizonte es un círculo máximo . Las formas y áreas se distorsionan , particularmente cerca de los bordes. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

La proyección ortográfica se conoce desde la antigüedad y sus usos cartográficos están bien documentados. Hiparco la utilizó en el siglo II a. C. para determinar los puntos de salida y puesta de las estrellas. Hacia el año 14 a. C., el ingeniero romano Marco Vitruvio Polión la empleó para construir relojes de sol y calcular la posición del sol. ^{[ 7 ]}

Vitruvio también parece haber ideado el término ortográfico —del griego orthos («recto») y graphē («dibujo»)— para la proyección. Sin embargo, el nombre analemma , que también significaba reloj de sol que mostraba latitud y longitud, fue el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613. ^{[ 7 ]}

Los mapas más antiguos que se conservan sobre esta proyección aparecen como dibujos grabados en madera de globos terráqueos de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner), y 1524 y 1551 (Apian). ^{[ 7 ]}

• Normale (ortogonale) Axonometrie (en alemán)
• Vídeo y matemáticas de proyección ortográfica