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En el análisis matemático , una curva de Osgood es una curva que no se interseca consigo misma y que tiene un área positiva . A pesar de su área, no es posible que una curva de este tipo cubra ninguna región bidimensional , lo que las distingue de las curvas que llenan el espacio . Las curvas de Osgood reciben su nombre de William Fogg Osgood .
Definición y propiedades
Una curva en el plano euclidiano se define como una curva de Osgood cuando no se autointersecta (es decir, es una curva de Jordan o un arco de Jordan ) y tiene un área positiva. [1] Más formalmente, debe tener una medida de Lebesgue bidimensional positiva .
Las curvas de Osgood tienen dimensión Hausdorff dos, como las curvas que llenan el espacio . Sin embargo, no pueden ser curvas que llenan el espacio: según el teorema de Netto , cubrir todos los puntos del plano, o de cualquier región bidimensional del plano, conduciría a autointersecciones. [2]
Historia
Los primeros ejemplos de curvas de Osgood fueron encontrados por William Fogg Osgood (1903) y Henri Lebesgue (1903). Ambos ejemplos tienen área positiva en partes de la curva, pero área cero en otras partes; este defecto fue corregido por Knopp (1917), quien encontró una curva que tiene área positiva en cada entorno de cada uno de sus puntos, basándose en una construcción anterior de Wacław Sierpiński . El ejemplo de Knopp tiene la ventaja adicional de que su área puede hacerse arbitrariamente cercana al área de su envoltura convexa . [3]
Construcción
Es posible modificar la construcción recursiva de ciertos fractales y curvas que llenan el espacio para obtener una curva de Osgood. [4] Por ejemplo, la construcción de Knopp implica dividir recursivamente triángulos en pares de triángulos más pequeños, que se encuentran en un vértice compartido, eliminando cuñas triangulares. Cuando cada nivel de esta construcción elimina la misma fracción del área de sus triángulos, el resultado es un fractal de Cesàro como el copo de nieve de Koch . En cambio, reducir la fracción de área eliminada por nivel, lo suficientemente rápido como para dejar una fracción constante del área sin eliminar, produce una curva de Osgood. [3]
Otra forma de construir una curva de Osgood es formar una versión bidimensional del conjunto Smith-Volterra-Cantor , un conjunto de puntos totalmente desconectado con un área distinta de cero, y luego aplicar el teorema de Denjoy-Riesz según el cual cada subconjunto acotado y totalmente desconectado del plano es un subconjunto de una curva de Jordan. [5]
Notas
- ^ Radó (1948).
- ^ Sagan (1994), pág. 131
- ^ ab Knopp (1917); Sagan (1994), Sección 8.3, Las curvas de Osgood de Sierpínski y Knopp, págs. 136-140.
- ^ Knopp (1917); Lanza y Thomas (1991); Sagán (1993)
- ^ Balcerzak y Kharazishvili (1999).
Referencias
- Balcerzak, M.; Kharazishvili, A. (1999), "Sobre uniones e intersecciones incontables de conjuntos mensurables", Georgian Mathematical Journal , 6 (3): 201–212, doi :10.1515/GMJ.1999.201, MR 1679442.
- Knopp, K. (1917), "Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch", Archiv der Mathematik und Physik , 26 : 103-115.
- Lance, Timothy; Thomas, Edward (1991), "Arcos con medida positiva y una curva que llena el espacio", American Mathematical Monthly , 98 (2): 124–127, doi :10.2307/2323941, JSTOR 2323941, MR 1089456.
- Lebesgue, H. (1903), "Sur le problème des aires", Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 31 : 197–203, doi : 10.24033/bsmf.694
- Osgood, William F. (1903), "Una curva de Jordan de área positiva", Transactions of the American Mathematical Society , 4 (1): 107–112, doi : 10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5 , ISSN 0002-9947, JFM 34.0533.02, JSTOR 1986455, MR 1500628.
- Radó, Tibor (1948), Longitud y área, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 30, American Mathematical Society, Nueva York, pág. 157, ISBN 9780821846216, Sr. 0024511.
- Sagan, Hans (1993), "Una geometrización de la curva de Lebesgue que llena el espacio", The Mathematical Intelligencer , 15 (4): 37–43, doi :10.1007/BF03024322, MR 1240667, S2CID 122497728, Zbl 0795.54022.
- Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio, Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, Sr. 1299533.
Enlaces externos
- Dickau, Robert, Knopp's Osgood Curve Construction, Proyecto de demostraciones de Wolfram , consultado el 20 de octubre de 2013