inestabilidad de Ostrogradsky

En matemáticas aplicadas , la inestabilidad de Ostrogradsky es una característica de algunas soluciones de teorías con ecuaciones de movimiento con más de dos derivadas temporales (teorías de derivadas superiores). Se sugiere mediante un teorema de Mikhail Ostrogradsky en mecánica clásica , según el cual un lagrangiano no degenerado dependiente de derivadas temporales superiores a la primera corresponde a un hamiltoniano no acotado inferiormente . Como es habitual, el hamiltoniano se asocia con el lagrangiano mediante una transformada de Legendre . La inestabilidad de Ostrogradsky se ha propuesto como explicación de por qué no parecen existir ecuaciones diferenciales de orden superior a dos que describan fenómenos físicos. ^{[ 1 ]} Sin embargo, el teorema de Ostrogradsky no implica que todas las soluciones de las teorías de derivadas superiores sean inestables, ya que se conocen muchos contraejemplos. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

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Los puntos principales de la demostración se pueden aclarar considerando un sistema unidimensional con un lagrangiano.${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})}$La ecuación de Euler-Lagrange es

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}=0.}$

No degeneración de${\displaystyle L}$significa que las coordenadas canónicas pueden expresarse en términos de las derivadas de${\displaystyle {q}}$y viceversa. Por lo tanto,${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$es una función de${\displaystyle {\ddot {q}}}$(si no fuera así, el jacobino${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$desaparecería, lo que significaría que${\displaystyle L}$es degenerado), lo que significa que podemos escribir${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$o, invirtiendo,${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})}$. Desde la evolución de${\displaystyle q}$depende de cuatro parámetros iniciales, lo que significa que hay cuatro coordenadas canónicas. Podemos escribirlas como

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}}$

y utilizando la definición del momento conjugado,

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

Los resultados anteriores se pueden obtener de la siguiente manera. Primero, reescribimos el lagrangiano en su forma "ordinaria" introduciendo un multiplicador de Lagrange como una nueva variable dinámica.${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$,

de donde, las ecuaciones de Euler-Lagrange para${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\lambda }$leer

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$,

${\displaystyle Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0}$,

${\displaystyle \lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0}$,

Ahora, el momento canónico${\displaystyle P_{1},P_{2}}$con respecto a${\displaystyle {\tilde {L}}}$se demuestra fácilmente que

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

mientras

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

Estas son precisamente las definiciones dadas anteriormente por Ostrogradski. Se puede proceder a evaluar el hamiltoniano.

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$,

donde se utilizan las ecuaciones de Euler-Lagrange anteriores para la segunda igualdad. Observamos que, debido a la no degeneración, podemos escribir${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$como${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$Aquí, solo se necesitan tres argumentos ya que el lagrangiano en sí solo tiene tres parámetros libres. Por lo tanto, la última expresión solo depende de${\displaystyle P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}}$, efectivamente sirve como el hamiltoniano de la teoría original , a saber,

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$.

Ahora observamos que el hamiltoniano es lineal en${\displaystyle P_{1}}$y, por lo tanto, no tiene límites inferiores. Esta es una fuente de la inestabilidad de Ostrogradsky, y se debe a que el lagrangiano depende de menos coordenadas que las coordenadas canónicas (que corresponden a los parámetros iniciales necesarios para especificar el problema). La extensión a sistemas de dimensiones superiores es análoga, y la extensión a derivadas de orden superior simplemente significa que el espacio de fases tiene una dimensión aún mayor que el espacio de configuración.