Teorema de Ostrowski

En teoría de números , el teorema de Ostrowski , debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que cada valor absoluto no trivial de los números racionales es equivalente al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p -ádico . ^[1]${\displaystyle \mathbb {Q}}$

Se define que dos valores absolutos y racionales son equivalentes si inducen la misma topología; se puede demostrar que esto es equivalente a la existencia de un número real positivo tal que ${\estilo de visualización |\cdot |}$${\displaystyle |\cdot |_{*}}$ ${\displaystyle \lambda \en (0,\infty )}$

${\displaystyle \para todo x\en K:\quad |x|_{*}=|x|^{\lambda }.}$

(Nota: En general, si es un valor absoluto, ya no es necesariamente un valor absoluto; sin embargo, si dos valores absolutos son equivalentes, entonces cada uno es una potencia positiva del otro. ^[2] ) El valor absoluto trivial en cualquier campo K se define como ${\estilo de visualización |x|}$${\displaystyle |x|^{\lambda }}$

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0&x=0,\\1&x\neq 0.\end{cases}}}$

El valor absoluto real de los racionales es el valor absoluto estándar de los reales, definido como ${\displaystyle \mathbb {Q}}$

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0,\\-x&x<0.\end{cases}}}$

Esto a veces se escribe con un subíndice 1 en lugar de infinito .

Para un número primo p , el valor absoluto p -ádico de on se define de la siguiente manera: cualquier racional x distinto de cero se puede escribir de forma única como , donde a y b son números enteros coprimos no divisibles por p , y n es un número entero; por lo que definimos ${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{cases}}}$

La siguiente demostración sigue la del Teorema 10.1 de Schikhof (2007).

Sea un valor absoluto en los racionales. Comenzamos la prueba mostrando que está completamente determinado por los valores que toma en los números primos . ${\displaystyle |\cdot |_{*}}$

Del hecho de que y de la propiedad de multiplicidad del valor absoluto, inferimos que . En particular, tiene que ser 0 o 1 y como , se debe tener . Un argumento similar muestra que . ${\displaystyle 1\times 1=1}$${\displaystyle |1|_{*}^{2}=|1|_{*}}$$estilo de visualización {\displaystyle |1|_{*}}$${\estilo de visualización 1\neq 0}$${\displaystyle |1|_{*}=1}$${\displaystyle |-1|_{*}=1}$

Para todo entero positivo n , la propiedad de multiplicidad implica . En otras palabras, el valor absoluto de un entero negativo coincide con el de su opuesto. ${\displaystyle |-n|_{*}=|-1|_{*}\times |n|_{*}=|n|_{*}}$

Sea n un entero positivo. Del hecho de que y de la propiedad de multiplicidad, concluimos que . ${\displaystyle n^{-1}\times n=1}$${\displaystyle |n^{-1}|_{*}=|n|_{*}^{-1}}$

Sea ahora r un racional positivo. Existen dos números enteros positivos coprimos p y q tales que . Las propiedades anteriores muestran que . En conjunto, el valor absoluto de un racional positivo está determinado completamente a partir del valor de su numerador y denominador. ${\displaystyle r=pq^{-1}}$${\displaystyle |r|_{*}=|p|_{*}|q^{-1}|_{*}=|p|_{*}|q|_{*}^{-1}}$

Finalmente, sea el conjunto de números primos. Para todo entero positivo n , podemos escribir ${\displaystyle \mathbb {P}}$

${\displaystyle n=\prod_{p\in \mathbb {P}}p^{v_{p}(n)},}$

donde es la valoración p-ádica de n . La propiedad de multiplicatividad permite calcular el valor absoluto de n a partir del de los números primos utilizando la siguiente relación $estilo de visualización v_{p}(n)}$

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}\right|_{*}=\prod _{p\in \mathbb {P} }|p|_{*}^{v_{p}(n)}.}$

Continuamos la prueba separando dos casos:

1. Existe un entero positivo n tal que ; o${\displaystyle |n|_{*}>1}$
2. Para todo entero n , se tiene .${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

Supóngase que existe un entero positivo n tal que Sea k un entero no negativo y b un entero positivo mayor que . Expresamos en base b : existen un entero positivo m y enteros tales que para todo i , y . En particular, entonces . ${\displaystyle |n|_{*}>1.}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n^{k}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{0\leq i<m}}$${\displaystyle 0\leq c_{i}<b}$${\displaystyle n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}}$${\displaystyle n^{k}\geq b^{m-1}}$${\displaystyle m\leq 1+k\log _{b}n}$

Cada término es menor que . (Por la propiedad multiplicativa, , entonces usando el hecho de que es un dígito, se escribe así por la desigualdad triangular, .) Además, es menor que . Por la desigualdad triangular y el límite anterior en m , se deduce: ${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}}$${\displaystyle (b-1)|b|_{*}^{i}}$${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}=|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}=1+1+\cdots +1}$${\displaystyle |c_{i}|\leq |1|+|1|+\cdots +|1|=c_{i}\leq b-1}$${\displaystyle |b|_{*}^{i}}$${\displaystyle \max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, elevando ambos lados a la potencia , obtenemos ${\displaystyle 1/k}$

${\displaystyle |n|_{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

Finalmente, tomando el límite cuando k tiende a infinito se muestra que

${\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

Junto con la condición a la que conduce el argumento anterior independientemente de la elección de b (de lo contrario implica ). Como resultado, todos los números enteros mayores que uno tienen un valor absoluto estrictamente mayor que uno. Por lo tanto, generalizando lo anterior, para cualquier elección de números enteros n y b mayores o iguales a 2, obtenemos ${\displaystyle |n|_{*}>1,}$${\displaystyle |b|_{*}>1}$${\displaystyle |b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1}$${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

${\displaystyle |n|_{*}\leq |b|_{*}^{\log _{b}n},}$

es decir

${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}\leq \log _{b}|b|_{*}.}$

Por simetría, esta desigualdad es una igualdad. En particular, para todos los , , es decir . Como la desigualdad triangular implica que para todos los enteros positivos n tenemos , en este caso obtenemos de forma más precisa que . ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}=\log _{2}|2|_{*}=\lambda }$${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$${\displaystyle |n|_{*}\leq n}$${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$

De acuerdo con el resultado anterior sobre la determinación de un valor absoluto por sus valores en los números primos, vemos fácilmente que para todo r racional , se demuestra así la equivalencia con el valor absoluto real. ${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{\infty }^{\lambda }}$

Supongamos que para todo entero n , se tiene . Como nuestro valor absoluto no es trivial, debe existir un entero positivo n para el cual Descomponiendo en los números primos se muestra que existe tal que . Afirmamos que, de hecho, esto es así solo para un número primo. ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$${\displaystyle |n|_{*}<1.}$${\displaystyle |n|_{*}}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle |p|_{*}<1}$

Supóngase por el contrario que p y q son dos primos distintos con valor absoluto estrictamente menor que 1. Sea k un entero positivo tal que y son menores que . Por la identidad de Bézout , puesto que y son coprimos , existen dos enteros a y b tales que Esto produce una contradicción, ya que ${\displaystyle |p|_{*}^{k}}$${\displaystyle |q|_{*}^{k}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle q^{k}}$${\displaystyle ap^{k}+bq^{k}=1.}$

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{k}+|b|_{*}|q|_{*}^{k}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1.}$

Esto significa que existe un único primo p tal que y que para todos los demás primos q , se tiene (a partir de la hipótesis de este segundo caso). Sea . De , inferimos que . (Y de hecho en este caso, todos los positivos dan valores absolutos equivalentes al p-ádico). ${\displaystyle |p|_{*}<1}$${\displaystyle |q|_{*}=1}$${\displaystyle \lambda =-\log _{p}|p|_{*}}$${\displaystyle |p|_{*}<1}$${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$${\displaystyle \lambda }$

Finalmente verificamos que y que para todos los demás primos q , . Según el resultado anterior sobre la determinación de un valor absoluto por sus valores en los números primos, concluimos que para todos los racionales r , lo que implica que este valor absoluto es equivalente al p -ádico.${\displaystyle |p|_{p}^{\lambda }=p^{-\lambda }=|p|_{*}}$${\displaystyle |q|_{p}^{\lambda }=1=|q|_{*}}$${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{p}^{\lambda }}$${\displaystyle \blacksquare }$

Otro teorema establece que cualquier cuerpo, completo con respecto a un valor absoluto de Arquímedes , es (algebraica y topológicamente) isomorfo a los números reales o a los números complejos . A veces también se lo denomina teorema de Ostrowski. ^[3]

• Valoración (álgebra)

• Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006  .
• Janusz, Gerald J. (1996). Campos numéricos algebraicos (2.ª ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Álgebra básica II (2.ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Schikhof, WH (2007). Cálculo ultramétrico (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-03287-2.
• Ostrowski, Alejandro (1916). "Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy)". Acta Matemática . 41 (1) (2ª ed.): 271–284. doi : 10.1007/BF02422947 . ISSN  0001-5962.