Billar exterior

El billar exterior es un sistema dinámico basado en una forma convexa en el plano. Clásicamente, este sistema se define para el plano euclidiano ^[1], pero también se puede considerar el sistema en el plano hiperbólico ^[2] o en otros espacios que generalicen adecuadamente el plano. El billar exterior se diferencia de un billar dinámico habitual en que se trata de una secuencia discreta de movimientos fuera de la forma en lugar de dentro de ella.

Sea P una forma convexa en el plano. Dado un punto x0 fuera de P, normalmente hay un único punto x1 (también fuera de P) de modo que el segmento de recta que une x0 con x1 es tangente a P en su punto medio y una persona que camina de x0 a x1 vería P a la derecha. (Véase la figura). La función F: x0 -> x1 se denomina función de billar exterior .

La función de billar exterior inversa (o al revés) también se define como la función x1 -> x0. La función inversa se obtiene simplemente reemplazando la palabra derecha por la palabra izquierda en la definición dada anteriormente. La figura muestra la situación en el plano euclidiano , pero la definición en el plano hiperbólico es esencialmente la misma.

Una órbita de billar exterior es el conjunto de todas las iteraciones del punto, es decir... x0 ↔ x1 ↔ x2 ↔ x3 ... Es decir, empezar en x0 y aplicar iterativamente tanto el mapa de billar exterior como el mapa de billar exterior inverso. Cuando P es una forma estrictamente convexa, como una elipse , cada punto en el exterior de P tiene una órbita bien definida. Cuando P es un polígono , algunos puntos podrían no tener órbitas bien definidas, debido a la posible ambigüedad de elegir el punto medio de la línea tangente relevante. Sin embargo, en el caso poligonal, casi todos los puntos tienen una órbita bien definida.

• Una órbita se llama periódica si eventualmente se repite.
• Una órbita se llama aperiódica (o no periódica ) si no es periódica.
• Una órbita se denomina acotada (o estable ) si alguna región acotada en el plano contiene toda la órbita.
• Una órbita se llama ilimitada (o inestable ) si no está acotada.

Definir un sistema de billar externo en un espacio de dimensiones superiores está fuera del alcance de este artículo. A diferencia del caso del billar ordinario , la definición no es sencilla. Una configuración natural para el mapa es un espacio vectorial complejo . En este caso, existe una elección natural de línea tangente a un cuerpo convexo en cada punto. Se obtienen estas tangentes comenzando con las normales y usando la estructura compleja para rotar 90 grados. Estas líneas tangentes distinguidas se pueden usar para definir el mapa de billar externo aproximadamente como se indicó anteriormente. ^[1]

La mayoría de la gente atribuye la introducción de los billares exteriores a Bernhard Neumann a finales de los años 1950, ^[3] aunque parece que algunas personas citan una construcción anterior en 1945, debido a M. Day. Jürgen Moser popularizó el sistema en los años 1970 como un modelo de juguete para la mecánica celeste . ^{[4] [5]} Este sistema ha sido estudiado clásicamente en el plano euclidiano , y más recientemente en el plano hiperbólico . También se pueden considerar espacios de dimensiones superiores, aunque todavía no se ha realizado ningún estudio serio. Bernhard Neumann planteó informalmente la cuestión de si se pueden tener o no órbitas ilimitadas en un sistema de billares exteriores, y Moser la puso por escrito en 1973. ^[4] A veces, esta cuestión básica se ha denominado la cuestión de Moser-Neumann . Esta cuestión, planteada originalmente para formas en el plano euclidiano y resuelta solo recientemente, ha sido un problema rector en el campo.

En los años 70, Jürgen Moser esbozó una prueba, basada en la teoría KAM , de que los billares exteriores relativos a una forma 6 veces diferenciable de curvatura positiva tienen todas las órbitas acotadas. En 1982, Raphael Douady dio la prueba completa de este resultado. ^[6] Un gran avance en el caso poligonal se produjo durante un período de varios años cuando tres equipos de autores, Vivaldi-Shaidenko, ^[7] Kolodziej, ^[8] y Gutkin-Simanyi, ^[9] cada uno utilizando diferentes métodos, demostraron que los billares exteriores relativos a un polígono cuasiracional tienen todas las órbitas acotadas. La noción de cuasiracional es técnica (ver referencias) pero incluye la clase de polígonos regulares y polígonos racionales convexos , es decir, aquellos polígonos convexos cuyos vértices tienen coordenadas racionales . En el caso de los polígonos racionales, todas las órbitas son periódicas. En 1995, Sergei Tabachnikov demostró que los billares externos para el pentágono regular tienen algunas órbitas aperiódicas, aclarando así la distinción entre la dinámica en los casos racionales y regulares. ^[1] En 1996, Philip Boyland demostró que los billares externos relativos a algunas formas pueden tener órbitas que se acumulan en la forma. ^[10] En 2005, Daniel Genin demostró que todas las órbitas están acotadas cuando la forma es un trapezoide , mostrando así que la cuasiracionalidad no es una condición necesaria para que el sistema tenga todas las órbitas acotadas. ^[11] (No todos los trapecios son cuasiracionales).

En 2007, Richard Schwartz demostró que el billar exterior tiene algunas órbitas ilimitadas cuando se define en relación con la cometa de Penrose , respondiendo así afirmativamente a la pregunta original de Moser-Neumann. ^[12] La cometa de Penrose es el cuadrilátero convexo de los mosaicos de Penrose de cometas y dardos . Posteriormente, Schwartz demostró que el billar exterior tiene órbitas ilimitadas cuando se define en relación con cualquier cometa irracional. ^[13] Una cometa irracional es un cuadrilátero con la siguiente propiedad: una de las diagonales del cuadrilátero divide la región en dos triángulos de igual área y la otra diagonal divide la región en dos triángulos cuyas áreas no son múltiplos racionales entre sí. En 2008, Dmitry Dolgopyat y Bassam Fayad demostraron que el billar exterior definido en relación con el semidisco tiene órbitas ilimitadas. ^[14] El semidisco es la región que se obtiene cortando un disco por la mitad. La prueba de Dolgopyat-Fayad es robusta y también funciona para regiones obtenidas cortando un disco casi por la mitad, cuando la palabra casi se interpreta adecuadamente.

En 2003, Filiz Doǧru y Sergei Tabachnikov demostraron que todas las órbitas son ilimitadas para una cierta clase de polígonos convexos en el plano hiperbólico . ^[15] Los autores llaman a estos polígonos grandes . (Véase la referencia para la definición.) Filiz Doǧru y Samuel Otten ampliaron este trabajo en 2011 especificando las condiciones bajo las cuales una tabla poligonal regular en el plano hiperbólico tiene todas las órbitas ilimitadas, es decir, son grandes. ^[16]

En el billar poligonal ordinario , la existencia de órbitas periódicas es un importante problema sin resolver. Por ejemplo, se desconoce si cada mesa de forma triangular tiene una trayectoria de billar periódica. Se han logrado más avances en el billar exterior, aunque la situación está lejos de entenderse bien. Como se mencionó anteriormente, todas las órbitas son periódicas cuando el sistema se define en relación con un polígono racional convexo en el plano euclidiano . Además, es un teorema reciente de Chris Culter (escrito por Sergei Tabachnikov) que el billar exterior en relación con cualquier polígono convexo tiene órbitas periódicas, de hecho, una órbita periódica fuera de cualquier región acotada dada. ^[17]

El billar exterior es un tema que aún se encuentra en su fase inicial. La mayoría de los problemas aún no se han resuelto. A continuación se presentan algunos problemas abiertos en el área.

• Demuestre que los billares exteriores relativos a casi todos los polígonos convexos tienen órbitas ilimitadas.
• Demuestre que el billar exterior relativo a un polígono regular tiene casi todas sus órbitas periódicas. Los casos del triángulo equilátero y del cuadrado son triviales, y Tabachnikov respondió a esto para el pentágono regular. Estos son los únicos casos conocidos.
• De manera más amplia, caracterizar la estructura del conjunto de órbitas periódicas en relación con el polígono convexo típico .
• comprender la estructura de las órbitas periódicas en relación con formas simples en el plano hiperbólico, como pequeños triángulos equiláteros.

• Problema de iluminación