Morfismo externo

En álgebra geométrica , el exteriormorfismo de una función lineal entre espacios vectoriales es una extensión natural del mapeo a multivectores arbitrarios . ^{[ 1 ]} Es el único homomorfismo de álgebras exteriores unitarias cuya restricción a los espacios vectoriales es la función original. ^{[ a ]} ​​Un exteriormorfismo también se conoce como exomorfismo porque preserva la estructura del producto exterior . ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle f}$frijol${\displaystyle \mathbb {R} }$-mapa lineal de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$. La extensión de${\displaystyle f}$a un outromorfismo es el mapa único${\displaystyle \textstyle {\underline {\mathsf {f}}}:\bigwedge (V)\to \bigwedge (W)}$satisfactorio

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(x)=f(x)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A\wedge B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)\wedge {\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A+B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)+{\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

para todos los vectores${\displaystyle x}$y todos los multivectores${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, dónde${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$denota el álgebra exterior sobre${\displaystyle V}$. Es decir, un morfismo externo es un homomorfismo de álgebra unitaria entre álgebras exteriores.

El morfismo externo hereda las propiedades de linealidad del mapa lineal original. Por ejemplo, vemos que para escalares${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$y vectores${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$, el morfismo exterior es lineal sobre bivectores:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\alpha \,{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge z)+\beta \,{\underline {\mathsf {f}}}(y\wedge z),\end{aligned}}}$

que se extiende a través del axioma de distributividad sobre la suma anterior a la linealidad sobre todos los multivectores.

Dejar${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}}$sea ​​un morfismo externo. Definimos el adjunto de${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}}$ser el exteriormorfismo que satisface la propiedad

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)\cdot b=a\cdot {\underline {\mathsf {f}}}(b)}$

para todos los vectores${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, dónde${\displaystyle \cdot }$es la forma bilineal simétrica no degenerada (producto escalar de vectores).

Esto da como resultado la propiedad que

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(A)*B=A*{\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

para todos los multivectores${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, dónde${\displaystyle *}$es el producto escalar de multivectores .

Si se dispone de cálculo geométrico , entonces el adjunto se puede extraer de forma más directa:

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)=\nabla _{b}\left\langle a{\underline {\mathsf {f}}}(b)\right\rangle .}$

La definición anterior de adjunto es similar a la definición de transpuesta en la teoría de matrices. Cuando el contexto es claro, a menudo se omite el subrayado debajo de la función.

De la definición inicial se deduce que el exteriormorfismo de un multivector${\displaystyle A}$es preservador de calificaciones: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(\left\langle A\right\rangle _{r})=\left\langle {\underline {\mathsf {f}}}(A)\right\rangle _{r}}$

donde la notación${\displaystyle \langle ~\rangle _{r}}$indica el${\displaystyle r}$-parte vectorial de${\displaystyle A}$.

Dado que cualquier vector${\displaystyle x}$puede escribirse como${\displaystyle x=1\wedge x}$De ello se deduce que los escalares no se ven afectados por${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$. ^{[ b ]} De manera similar, dado que solo hay un pseudoescalar salvo un multiplicador escalar, debemos tener${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(I)\propto I}$. El determinante se define como el factor de proporcionalidad: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \det {\mathsf {f}}={\underline {\mathsf {f}}}(I)I^{-1}}$

El subrayado no es necesario en este contexto porque el determinante de una función es el mismo que el determinante de su adjunta. El determinante de la composición de funciones es el producto de los determinantes:

${\displaystyle \det({\mathsf {f}}\circ {\mathsf {g}})=\det {\mathsf {f}}\det {\mathsf {g}}}$

Si el determinante de una función es distinto de cero, entonces la función tiene una inversa dada por

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}}(XI)I^{-1}}{\det {\mathsf {f}}}}={\overline {\mathsf {f}}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1},}$

y también su adjunto, con

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).}$

Los conceptos de autovalores y autovectores pueden generalizarse a los morfismos externos.${\displaystyle \lambda }$sea ​​un número real y deje que${\displaystyle B}$ser una hoja (distinta de cero) de grado${\displaystyle r}$Decimos que un${\displaystyle B}$es una hoja propia de la función con valor propio${\displaystyle \lambda }$si ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(B)=\lambda B.}$

Puede parecer extraño considerar únicamente los autovalores reales, ya que en álgebra lineal los autovalores de una matriz con entradas reales pueden ser complejos. Sin embargo, en álgebra geométrica, las hojas de diferentes grados pueden presentar una estructura compleja. Dado que tanto los vectores como los pseudovectores pueden actuar como hojas de autovalores, cada uno puede tener un conjunto de autovalores que coincida con los grados de libertad de los autovalores complejos que se encontrarían en el álgebra lineal ordinaria.

Mapas sencillos

La aplicación identidad y el operador de proyección escalar son morfismos externos.

Versores

Una rotación de un vector por un rotor${\displaystyle R}$es dado por

${\displaystyle f(x)=RxR^{-1}}$

con morfismo externo

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(X)=RXR^{-1}.}$

Verificamos que esta es la forma correcta del exteriormorfismo. Dado que las rotaciones se construyen a partir del producto geométrico, que tiene la propiedad distributiva, deben ser lineales. Para ver que las rotaciones también son exterioresmorfismos, recordamos que las rotaciones preservan los ángulos entre vectores: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle x\cdot y=(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})}$

A continuación, intentamos introducir un elemento de grado superior y comprobar que sea coherente con la rotación original de los vectores:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge y)&=R(x\wedge y)R^{-1}\\&=R(xy-x\cdot y)R^{-1}\\&=RxyR^{-1}-R(x\cdot y)R^{-1}\\&=RxR^{-1}RyR^{-1}-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+x\cdot y-x\cdot y\\&=f(x)\wedge f(y)\end{aligned}}}$

operadores de proyección ortogonal

El operador de proyección ortogonal${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}}$sobre una cuchilla${\displaystyle B}$es un morfismo externo:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(x\wedge y)={\mathcal {P}}_{B}(x)\wedge {\mathcal {P}}_{B}(y).}$

No ejemplo: operador de rechazo ortogonal

A diferencia del operador de proyección ortogonal, el rechazo ortogonal${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }}$por una cuchilla${\displaystyle B}$es lineal pero no es un morfismo externo:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(1)=1-{\mathcal {P}}_{B}(1)=0\neq 1.}$

Ninguno de los operadores de proyección de grado

Un ejemplo de una función multivectorial de multivectores que es lineal pero no es un morfismo exterior es la proyección de grado donde el grado es distinto de cero, por ejemplo, la proyección sobre grado 1:

${\displaystyle \langle x\wedge y\rangle _{1}=0}$

${\displaystyle \langle x\rangle _{1}\wedge \langle y\rangle _{1}=x\wedge y}$

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