axiomas de Peano

En lógica matemática , los axiomas de Peano ( / p i ˈ ɑː n oʊ / ; ^{[ 1 ]} [ peˈaːno ] ), también conocidos como axiomas de Dedekind-Peano o postulados de Peano , son axiomas para los números naturales presentados por el matemático italiano del siglo XIX Giuseppe Peano . Estos axiomas se han utilizado casi sin cambios en varias investigaciones metamatemáticas , incluyendo investigaciones sobre cuestiones fundamentales de si la teoría de números es consistente y completa .

La axiomatización de la aritmética proporcionada por los axiomas de Peano se conoce comúnmente como aritmética de Peano .

La importancia de formalizar la aritmética no fue bien apreciada hasta el trabajo de Hermann Grassmann , quien mostró en la década de 1860 que muchos hechos en aritmética podían derivarse de hechos más básicos sobre la operación de sucesor y la inducción . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó una axiomatización de la aritmética de números naturales. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} En 1888, Richard Dedekind propuso otra axiomatización de la aritmética de números naturales, y en 1889, Peano publicó una versión simplificada de ellos como una colección de axiomas en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método ( en latín : Arithmetices principia, nova methodo exposita ).

Los axiomas de Peano se pueden dividir en grupos según su temática. El primer axioma afirma la existencia de al menos un elemento del conjunto de los números naturales. Los cuatro siguientes son enunciados generales sobre la igualdad ; en los tratamientos modernos, estos a menudo no se consideran parte de los axiomas de Peano, sino más bien axiomas de la "lógica subyacente". ^{[ 6 ]} Los tres siguientes axiomas son enunciados de primer orden sobre los números naturales que expresan las propiedades fundamentales de la operación de sucesor. El noveno y último axioma es un enunciado de segundo orden del principio de inducción matemática sobre los números naturales, lo que hace que esta formulación sea cercana a la aritmética de segundo orden . Se obtiene un sistema de primer orden más débil añadiendo explícitamente los símbolos de las operaciones de suma y multiplicación y reemplazando el axioma de inducción de segundo orden por un esquema de axioma de primer orden . El término aritmética de Peano se utiliza a veces para nombrar específicamente este sistema restringido.

Formulación histórica de segundo orden

Cuando Peano formuló sus axiomas, el lenguaje de la lógica matemática estaba en sus inicios. El sistema de notación lógica que creó para presentarlos no tuvo éxito, aunque fue el origen de la notación moderna para la pertenencia a un conjunto (∈, que proviene de la ε de Peano). Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos, algo que aún no era común en matemáticas; dicha separación se había introducido por primera vez en el Begriffsschrift de Gottlob Frege , publicado en 1879. ^{[ 7 ]} Peano desconocía la obra de Frege y recreó de forma independiente su aparato lógico basándose en el trabajo de Boole y Schröder . ^{[ 8 ]}

Los axiomas de Peano definen las propiedades aritméticas de los números naturales , generalmente representados como un conjunto N o $\mathbb {N} .$ Los símbolos no lógicos para los axiomas consisten en un símbolo constante 0 y un símbolo de función unaria S.

El primer axioma establece que la constante 0 es un número natural:

0 es un número natural.

La formulación original de los axiomas de Peano utilizaba el 1 en lugar del 0 como el "primer" número natural, ^{[ 9 ]} mientras que los axiomas de Formulario mathematico incluyen el cero. ^{[ 10 ]}

Los siguientes cuatro axiomas describen la relación de igualdad . Dado que son lógicamente válidos en lógica de primer orden con igualdad, no se consideran parte de los "axiomas de Peano" en los tratamientos modernos. ^[⁸^]

Para cada número natural x , x = x . Es decir, la igualdad es reflexiva .
Para todos los números naturales x e y , si x = y , entonces y = x . Es decir, la igualdad es simétrica .
Para todos los números naturales x , y y z , si x = y e y = z , entonces x = z . Es decir, la igualdad es transitiva .
Para todo a y b , si b es un número natural y a = b , entonces a también es un número natural. Es decir, los números naturales son cerrados bajo la igualdad.

Los axiomas restantes definen las propiedades aritméticas de los números naturales. Se supone que los números naturales son cerrados bajo una función " sucesor " unívoca S.

Para cada número natural n , S ( n ) es un número natural. Es decir, los números naturales son cerrados bajo S.
Para todos los números naturales m y n , si S ( m ) = S ( n ) , entonces m = n . Es decir, S es una inyección .
Para todo número natural n , S ( n ) = 0 es falso. Es decir, no existe ningún número natural cuyo sucesor sea 0.

Los axiomas 1, 6, 7 y 8 definen una representación unaria de la noción intuitiva de números naturales: el número 1 se puede definir como S (0), el 2 como S ( S (0)), etc. Sin embargo, considerando la noción de números naturales definida por estos axiomas, los axiomas 1, 6, 7 y 8 no implican que la función sucesora genere todos los números naturales distintos de 0.

La noción intuitiva de que cada número natural se puede obtener aplicando el sucesor suficientes veces a cero requiere un axioma adicional, que a veces se denomina axioma de inducción .

Si K es un conjunto tal que:
- 0 está en K y
- para cada número natural n , que n esté en K implica que S ( n ) está en K ,
entonces K contiene todos los números naturales.

El axioma de inducción a veces se enuncia de la siguiente forma:

Si φ es un predicado unario tal que:
- φ (0) es verdadero, y
- para cada número natural n , que φ ( n ) sea verdadero implica que φ ( S ( n )) es verdadero,
entonces φ ( n ) es verdadera para todo número natural n .

En la formulación original de Peano, el axioma de inducción es de segundo orden . Actualmente, es común reemplazar este principio de segundo orden por un esquema de inducción de primer orden más débil . Existen diferencias importantes entre las formulaciones de segundo y primer orden, como se analiza en la sección « La aritmética de Peano como teoría de primer orden» más adelante.

Definición de operaciones y relaciones aritméticas

Si se utiliza el axioma de inducción de segundo orden, es posible definir la suma , la multiplicación y el ordenamiento total (lineal) en N directamente mediante los axiomas. Sin embargo, con la inducción de primer orden, esto no es posible y la suma y la multiplicación suelen añadirse como axiomas. Las funciones y relaciones correspondientes se construyen en la teoría de conjuntos o en la lógica de segundo orden , y se puede demostrar su unicidad utilizando los axiomas de Peano.

Suma

La suma es una función que asigna a dos números naturales (dos elementos de N ) otro número natural. Se define recursivamente como:

{\begin{aligned}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2)}}\end{aligned}}

Por ejemplo:

{\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{by definition}}\\&=S(a+0)&{\mbox{using (2)}}\\&=S(a),&{\mbox{using (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{by definition}}\\&=S(a+1)&{\mbox{using (2)}}\\&=S(S(a))&{\mbox{using }}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+S(2)&{\mbox{by definition}}\\&=S(a+2)&{\mbox{using (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{\mbox{using }}a+2=S(S(a))\\{\text{etc.}}&\\\end{aligned}}

Para demostrar la conmutatividad de la suma, primero demuestre $0+b=b$ y $S(a)+b=S(a+b)$ , cada uno por inducción en $b$ Utilizando ambos resultados, demuéstrelo. $a+b=b+a$ por inducción en $b$ . La estructura ( N , +) es un monoide conmutativo con elemento identidad 0. ( N , +) es también un magma cancelativo y, por lo tanto, embebible en un grupo . El grupo más pequeño que embebirá N son los enteros .

Multiplicación

De manera similar, la multiplicación es una función que asigna a dos números naturales otro. Dada la suma, se define recursivamente como:

{\begin{aligned}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{aligned}}

Es fácil ver que $S(0)$ es la identidad derecha multiplicativa :

a\cdot S(0)=a+(a\cdot 0)=a+0=a

Para demostrar que $S(0)$ Además, la identidad izquierda multiplicativa requiere el axioma de inducción debido a la forma en que se define la multiplicación:

$S(0)$ es la identidad izquierda de 0: $S(0)\cdot 0=0$ .
Si $S(0)$ es la identidad izquierda de $a$ (eso es $S(0)\cdot a=a$ ), entonces $S(0)$ es también la identidad izquierda de $S(a)$ : $S(0)\cdot S(a)=S(0)+S(0)\cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+0)=S(a)$ , utilizando la propiedad conmutativa de la suma.

Por lo tanto, por el axioma de inducción $S(0)$ es la identidad izquierda multiplicativa de todos los números naturales. Además, se puede demostrar ^{[ 14 ]} que la multiplicación es conmutativa y se distribuye sobre la suma:

a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

.

De este modo, $(\mathbb {N} ,+,0,\cdot ,S(0))$ es un semianillo conmutativo .

Desigualdades

La relación de orden total usual ≤ en los números naturales se puede definir de la siguiente manera, suponiendo que 0 es un número natural:

Para todo a , b ∈ N , a ≤ b si y solo si existe algún c ∈ N tal que a + c = b .

Esta relación es estable bajo la suma y la multiplicación: para $a,b,c\in \mathbb {N}$ , si a ≤ b , entonces:

a + c ≤ b + c y
a · c ≤ b · c .

Por lo tanto, la estructura ( N , +, ·, 1, 0, ≤) es un semianillo ordenado ; como no hay ningún número natural entre 0 y 1, es un semianillo ordenado discreto.

El axioma de inducción a veces se enuncia de la siguiente forma, que utiliza una hipótesis más fuerte, haciendo uso de la relación de orden "≤":

Para cualquier predicado φ , si

φ (0) es verdadero, y
para cada n ∈ N , si φ ( k ) es verdadero para cada k ∈ N tal que k ≤ n , entonces φ ( S ( n )) es verdadero,
entonces para cada n ∈ N , φ ( n ) es verdadero.

Esta forma del axioma de inducción, llamada inducción fuerte , es una consecuencia de la formulación estándar, pero suele ser más adecuada para razonar sobre el orden ≤. Por ejemplo, para demostrar que los números naturales están bien ordenados —todo subconjunto no vacío de N tiene un elemento mínimo— se puede razonar de la siguiente manera. Sea dado un conjunto no vacío X ⊆ N y supongamos que X no tiene ningún elemento mínimo.

Dado que 0 es el elemento más pequeño de N , debe ser que 0 ∉ X.
Para cualquier n ∈ N , supongamos que para todo k ≤ n , k ∉ X. Entonces S ( n ) ∉ X , porque de lo contrario sería el elemento más pequeño de X.

Por lo tanto, según el principio de inducción fuerte, para todo n ∈ N , n ∉ X. Así, X ∩ N = ∅ , lo cual contradice que X sea un subconjunto no vacío de N. Por lo tanto, X tiene un elemento mínimo.

Modelos

Un modelo de los axiomas de Peano es una terna ( N , 0, S ) , donde N es un conjunto (necesariamente infinito), 0 ∈ N y S : N → N satisface los axiomas anteriores. Dedekind demostró en su libro de 1888, La naturaleza y el significado de los números ( en alemán : Was sind und was sollen die Zahlen? , es decir, "¿Qué son los números y para qué sirven?") que cualesquiera dos modelos de los axiomas de Peano (incluido el axioma de inducción de segundo orden) son isomorfos . En particular, dados dos modelos ( N _A , 0 _A , S _A ) y ( N _B , 0 _B , S _B ) de los axiomas de Peano, existe un homomorfismo único f : N _A → N _B que satisface

{\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned}}

y es una biyección . Esto significa que los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos . (Esto no ocurre con ninguna reformulación de primer orden de los axiomas de Peano, que se presenta más adelante).

modelos basados en la teoría de conjuntos

Los axiomas de Peano se pueden derivar de construcciones de la teoría de conjuntos de los números naturales y axiomas de la teoría de conjuntos como ZF . ^{[ 15 ]} La construcción estándar de los naturales, debida a John von Neumann , parte de una definición de 0 como el conjunto vacío, ∅, y un operador s sobre conjuntos definido como:

s(a)=a\cup \{a\}

El conjunto de los números naturales N se define como la intersección de todos los conjuntos cerrados bajo s que contienen el conjunto vacío. Cada número natural es igual (como conjunto) al conjunto de los números naturales menores que él:

{\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{aligned}}

y así sucesivamente. El conjunto N junto con 0 y la función sucesora s : N → N satisface los axiomas de Peano.

La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos. ^{[ 16 ]} Uno de estos sistemas es ZFC con el axioma de infinito reemplazado por su negación. Otro sistema consiste en la teoría general de conjuntos ( extensionalidad , existencia del conjunto vacío y el axioma de adjunción ), aumentada por un esquema axiomático que establece que una propiedad que se cumple para el conjunto vacío y se cumple para una adjunción siempre que se cumpla para el adjunto debe cumplirse para todos los conjuntos.

Interpretación en la teoría de categorías

Los axiomas de Peano también pueden entenderse utilizando la teoría de categorías . Sea C una categoría con objeto terminal 1 _C , y definamos la categoría de sistemas unarios apuntados , US ₁ ( C ) de la siguiente manera:

Los objetos de US ₁ ( C ) son triples ( X , 0 _X , S _X ) donde X es un objeto de C , y 0 _X : 1 _C → X y S _X : X → X son C -morfismos.
Un morfismo φ : ( X , 0 _X , S _X ) → ( Y , 0 _Y , S _Y ) es un C -morfismo φ : X → Y con φ 0 _X = 0 _Y y φ S _X = S _Y φ .

Entonces se dice que C satisface los axiomas de Dedekind-Peano si US ₁ ( C ) tiene un objeto inicial; este objeto inicial se conoce como un objeto de número natural en C . Si ( N , 0, S ) es este objeto inicial, y ( X , 0 _X , S _X ) es cualquier otro objeto, entonces la aplicación única u : ( N , 0, S ) → ( X , 0 _X , S _X ) es tal que

{\begin{aligned}u(0)&=0_{X},\\u(S)&=S_{X}(u).\end{aligned}}

Esta es precisamente la definición recursiva de 0 _X y S _X .

Consistencia

Cuando se propusieron por primera vez los axiomas de Peano, Bertrand Russell y otros coincidieron en que estos axiomas definían implícitamente lo que entendemos por "número natural". ^{[ 17 ]} Henri Poincaré fue más cauto, afirmando que solo definían los números naturales si eran consistentes ; si existe una demostración que parte únicamente de estos axiomas y deriva una contradicción como 0 = 1, entonces los axiomas son inconsistentes y no definen nada. ^{[ 18 ]} En 1900, David Hilbert planteó el problema de demostrar su consistencia utilizando solo métodos finitistas como el segundo de sus veintitrés problemas . ^{[ 19 ]} En 1931, Kurt Gödel demostró su segundo teorema de incompletitud , que muestra que tal prueba de consistencia no puede formalizarse dentro de la propia aritmética de Peano, si la aritmética de Peano es consistente. ^{[ 20 ]}

Aunque se afirma ampliamente que el teorema de Gödel descarta la posibilidad de una prueba de consistencia finitista para la aritmética de Peano, esto depende de lo que se entienda exactamente por prueba finitista. El propio Gödel señaló la posibilidad de dar una prueba de consistencia finitista de la aritmética de Peano o sistemas más fuertes utilizando métodos finitistas que no son formalizables en la aritmética de Peano, y en 1958, Gödel publicó un método para probar la consistencia de la aritmética usando la teoría de tipos . [ ^{21 ] En} 1936, Gerhard Gentzen dio una prueba de la consistencia de los axiomas de Peano, usando inducción transfinita hasta un ordinal llamado ε _0.^{[ 22 ]} Gentzen explicó: "El objetivo del presente artículo es probar la consistencia de la teoría elemental de números o, mejor dicho, reducir la cuestión de la consistencia a ciertos principios fundamentales". La demostración de Gentzen es posiblemente finitista, ya que el ordinal transfinito ε₀ _puede codificarse en términos de objetos finitos (por ejemplo, como una máquina de Turing que describe un orden adecuado en los enteros, o de forma más abstracta como árboles finitos ordenados linealmente de manera apropiada). No está claro si la demostración de Gentzen cumple o no con los requisitos que Hilbert previó: no existe una definición generalmente aceptada de lo que se entiende exactamente por una demostración finitista, y el propio Hilbert nunca dio una definición precisa.

La gran mayoría de los matemáticos contemporáneos creen que los axiomas de Peano son consistentes, basándose en la intuición o en la aceptación de una prueba de consistencia como la de Gentzen . Un pequeño número de filósofos y matemáticos, algunos de los cuales también defienden el ultrafinitismo , rechazan los axiomas de Peano porque aceptarlos equivale a aceptar la colección infinita de números naturales. En particular, se asume que la suma (incluida la función sucesor) y la multiplicación son totales . Curiosamente, existen teorías autoverificables similares a PA pero que tienen resta y división en lugar de suma y multiplicación, las cuales están axiomatizadas de tal manera que evitan probar enunciados que correspondan a la totalidad de la suma y la multiplicación, pero que aún así son capaces de probar todas las verdades. $\Pi _{1}$ teoremas de PA, y sin embargo pueden extenderse a una teoría consistente que prueba su propia consistencia (enunciada como la no existencia de una prueba al estilo de Hilbert de "0=1"). ^{[ 23 ]}

La aritmética de Peano como teoría de primer orden

Todos los axiomas de Peano, excepto el noveno (el axioma de inducción), son enunciados en lógica de primer orden . ^{[ 24 ]} Las operaciones aritméticas de suma y multiplicación, así como la relación de orden, también pueden definirse mediante axiomas de primer orden. El axioma de inducción mencionado anteriormente es de segundo orden , puesto que cuantifica sobre predicados (o, equivalentemente, sobre conjuntos de números naturales en lugar de números naturales). Como alternativa, se puede considerar un esquema de axioma de inducción de primer orden . Dicho esquema incluye un axioma por predicado definible en el lenguaje de primer orden de la aritmética de Peano, lo que lo hace más débil que el axioma de segundo orden. ^{[ 25 ]} La razón de su debilidad radica en que el número de predicados en el lenguaje de primer orden es contable, mientras que el número de conjuntos de números naturales es incontable. Por lo tanto, existen conjuntos que no pueden describirse en el lenguaje de primer orden (de hecho, la mayoría de los conjuntos poseen esta propiedad).

Las axiomatizaciones de primer orden de la aritmética de Peano presentan otra limitación técnica. En la lógica de segundo orden, es posible definir las operaciones de suma y multiplicación a partir de la operación sucesora , pero esto no es posible en el contexto más restrictivo de la lógica de primer orden. Por lo tanto, las operaciones de suma y multiplicación se incluyen directamente en la signatura de la aritmética de Peano, junto con axiomas que relacionan las tres operaciones entre sí.

La siguiente lista de axiomas (junto con los axiomas habituales de igualdad), que contiene seis de los siete axiomas de la aritmética de Robinson , es suficiente para este propósito: ^{[ 26 ]}

$\forall x\ (0\neq S(x))$
$\forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)$
$\forall x\ (x+0=x)$
$\forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))$
$\forall x\ (x\cdot 0=0)$
$\forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)$

Además de esta lista de axiomas numéricos, la aritmética de Peano contiene el esquema de inducción, que consiste en un conjunto de axiomas recursivamente enumerable e incluso decidible . Para cada fórmula φ ( x , y ₁ , ..., y _k ) en el lenguaje de la aritmética de Peano, el axioma de inducción de primer orden para φ es la oración

\forall {\bar {y}}{\Bigg (}{\bigg (}\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x{\Big (}\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}}){\Big )}{\bigg )}\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}){\Bigg )}

dónde ${\bar {y}}$ es una abreviatura de y ₁ ,..., y _k . El esquema de inducción de primer orden incluye cada instancia del axioma de inducción de primer orden; es decir, incluye el axioma de inducción para cada fórmula φ .

Axiomatizaciones equivalentes

La axiomatización anterior de la aritmética de Peano utiliza una signatura que solo tiene símbolos para el cero, así como para las operaciones de sucesor, suma y multiplicación. Existen muchas otras axiomatizaciones diferentes, pero equivalentes. Una de estas alternativas ^{[ 27 ]} utiliza un símbolo de relación de orden en lugar de la operación de sucesor y el lenguaje de semianillos discretamente ordenados (axiomas 1-7 para semianillos, 8-10 sobre el orden, 11-13 sobre compatibilidad y 14-15 sobre la discreción):

$\forall x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z))$ , es decir, la suma es asociativa .
$\forall x,y\ (x+y=y+x)$ , es decir, la suma es conmutativa .
$\forall x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))$ , es decir, la multiplicación es asociativa.
$\forall x,y\ (x\cdot y=y\cdot x)$ , es decir, la multiplicación es conmutativa.
$\forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z))$ , es decir, la multiplicación se distribuye sobre la suma.
$\forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0)$ , es decir, el cero es una identidad para la suma y un elemento absorbente para la multiplicación (en realidad superfluo ^{[ nota 3 ]} ).
$\forall x\ (x\cdot 1=x)$ , es decir, uno es un elemento neutro para la multiplicación.
$\forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z)$ , es decir, el operador ' < ' es transitivo .
$\forall x\ (\neg (x<x))$ , es decir, el operador ' < ' es irreflexivo .
$\forall x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x)$ , es decir, el ordenamiento satisface la tricotomía .
$\forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)$ , es decir, el orden se conserva al añadir el mismo elemento.
$\forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z)$ , es decir, el orden se conserva al multiplicar por el mismo elemento positivo.
$\forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exists z\ (x+z=y))$ , es decir, dados dos elementos distintos cualesquiera, el mayor es el menor más otro elemento.
$0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1)$ Es decir, cero y uno son distintos y no hay ningún elemento entre ellos. En otras palabras, 0 está cubierto por 1, lo que sugiere que estos números son discretos.
$\forall x\ (x\geq 0)$ , es decir, cero es el elemento mínimo.

La teoría definida por estos axiomas se conoce como PA ⁻ . También es incompleta y una de sus propiedades importantes es que cualquier estructura $M$ Satisfacer esta teoría tiene un segmento inicial (ordenado por $\leq$ ) isomorfo a $\mathbb {N}$ Los elementos de ese segmento se denominan elementos estándar , mientras que los demás se denominan elementos no estándar .

Finalmente, la aritmética de Peano PA se obtiene añadiendo el esquema de inducción de primer orden.

Indecidibilidad e incompletitud

Según los teoremas de incompletitud de Gödel , la teoría de PA (si es consistente) es incompleta. En consecuencia, existen proposiciones de lógica de primer orden (LPO) que son verdaderas en el modelo estándar de PA , pero que no son consecuencia de la axiomatización de LPO. La incompletitud esencial surge ya en teorías con axiomas más débiles, como la aritmética de Robinson .

Estrechamente relacionado con el resultado de incompletitud anterior (a través del teorema de completitud de Gödel para FOL), se deduce que no existe un algoritmo para decidir si una sentencia FOL dada es consecuencia de una axiomatización de primer orden de la aritmética de Peano o no. Por lo tanto, PA es un ejemplo de una teoría indecidible . La indecidibilidad surge ya para las sentencias existenciales de PA , debido a la respuesta negativa al décimo problema de Hilbert , cuya demostración implica que todos los conjuntos computablemente enumerables son conjuntos diofánticos y, por lo tanto, definibles por fórmulas cuantificadas existencialmente (con variables libres) de PA . Las fórmulas de PA con un rango de cuantificador más alto (más alternancias de cuantificadores) que las fórmulas existenciales son más expresivas y definen conjuntos en los niveles superiores de la jerarquía aritmética .

Modelos no estándar

Aunque los números naturales usuales satisfacen los axiomas de PA , también existen otros modelos (llamados " modelos no estándar "); el teorema de compacidad implica que la existencia de elementos no estándar no puede excluirse en la lógica de primer orden. ^{[ 28 ]} El teorema ascendente de Löwenheim-Skolem muestra que existen modelos no estándar de PA de todas las cardinalidades infinitas. Este no es el caso de los axiomas de Peano originales (de segundo orden), que tienen solo un modelo, salvo isomorfismo. ^{[ 29 ]} Esto ilustra una forma en que el sistema de primer orden PA es más débil que los axiomas de Peano de segundo orden.

Cuando se interpreta como una demostración dentro de una teoría de conjuntos de primer orden , como ZFC , la demostración de categoricidad de Dedekind para PA muestra que cada modelo de teoría de conjuntos tiene un modelo único de los axiomas de Peano, salvo isomorfismo, que se integra como segmento inicial de todos los demás modelos de PA contenidos dentro de ese modelo de teoría de conjuntos. En el modelo estándar de teoría de conjuntos, este modelo mínimo de PA es el modelo estándar de PA; sin embargo, en un modelo no estándar de teoría de conjuntos, puede ser un modelo no estándar de PA. Esta situación es inevitable con cualquier formalización de primer orden de la teoría de conjuntos.

Es natural preguntarse si se puede construir explícitamente un modelo no estándar contable. La respuesta es afirmativa, ya que Skolem en 1933 proporcionó una construcción explícita de dicho modelo no estándar . Por otro lado, el teorema de Tennenbaum , demostrado en 1959, muestra que no existe un modelo no estándar contable de PA en el que la operación de suma o multiplicación sea computable . ^{[ 30 ]} Este resultado muestra que es difícil ser completamente explícito al describir las operaciones de suma y multiplicación de un modelo no estándar contable de PA. Solo hay un tipo de orden posible para un modelo no estándar contable. Sea ω el tipo de orden de los números naturales, ζ el tipo de orden de los enteros y η el tipo de orden de los racionales, el tipo de orden de cualquier modelo no estándar contable de PA es ω + ζ · η , que puede visualizarse como una copia de los números naturales seguida de un ordenamiento lineal denso de copias de los enteros.

Desbordamiento

Un corte en un modelo no estándar M es un subconjunto no vacío C de M tal que C es cerrado hacia abajo ( x < y e y ∈ C ⇒ x ∈ C ) y C es cerrado bajo el sucesor. Un corte propio es un corte que es un subconjunto propio de M. Cada modelo no estándar tiene muchos cortes propios, incluyendo uno que corresponde a los números naturales estándar. Sin embargo, el esquema de inducción en la aritmética de Peano impide que se pueda definir cualquier corte propio. El lema de desbordamiento, demostrado por primera vez por Abraham Robinson, formaliza este hecho.

Lema de desbordamiento ^{[ 31 ]} — Sea M un modelo no estándar de PA y sea C un corte propio de M. Supongamos que ${\bar {a}}$ es una tupla de elementos de M y $\varphi (x,{\bar {a}})$ es una fórmula en el lenguaje de la aritmética de modo que

M\vDash \varphi (b,{\bar {a}})

para todo b ∈ C .

Entonces hay un c en M que es mayor que cada elemento de C tal que

M\vDash \varphi (c,{\bar {a}}).

Véase también

Notas

↑ la pieza de luz más cercana correspondiente a 0, y una pieza vecina correspondiente al sucesor
↑ El conjunto no contiguo satisface el axioma 1 ya que tiene un elemento 0, 2–5 ya que no afecta las relaciones de igualdad, 6 ya que todas las piezas tienen un sucesor, el axioma 7 ya que no hay dos dominós que se caigan o sean derribados por la misma pieza, y el axioma 8 ya que cada dominó, excepto el primer dominó claro, es derribado por otro dominó.
↑ " $\forall x\ (x\cdot 0=0)$ " se puede demostrar a partir de los otros axiomas (en lógica de primer orden) de la siguiente manera. En primer lugar, $x\cdot 0+x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0=x\cdot 0+0$ por distributividad e identidad aditiva. En segundo lugar, $x\cdot 0=0\lor x\cdot 0>0$ por el Axioma 15. Si $x\cdot 0>0$ entonces $x\cdot 0+x\cdot 0>x\cdot 0+0$ mediante la adición del mismo elemento y la conmutatividad, y por lo tanto $x\cdot 0+0>x\cdot 0+0$ por sustitución, contradiciendo la irreflexividad. Por lo tanto, debe ser que $x\cdot 0=0$ .

Referencias

Citas

↑ "Peano" . Diccionario completo de Random House Webster .
↑ Grassmann 1861 .
↑ Wang 1957 , pp. 145, 147, «Es bastante conocido, gracias al propio reconocimiento de Peano, que este […] hizo un uso extensivo del trabajo de Grassmann en el desarrollo de sus axiomas. No es tan conocido que Grassmann caracterizó esencialmente el conjunto de todos los enteros, ahora habitual en los textos de álgebra moderna, como un dominio de integridad ordenado en el que cada conjunto de elementos positivos tiene un miembro mínimo. […] [El libro de Grassmann] fue probablemente el primer intento serio y bastante exitoso de fundamentar los números de forma más o menos axiomática».
↑ Peirce 1881 .
↑ Shields 1997 .
↑ Van Heijenoort 1967 , pág. 94.
↑ Van Heijenoort 1967 , pág. 2.
^ Van Heijenoort 1967 , pág.83.
↑ Peano 1889 , pág. 1.
↑ Peano 1908 , pág. 27.
↑ Matt DeVos, Inducción matemática , Universidad Simon Fraser
↑ Gerardo con Díaz, Inducción matemática. Archivado el 2 de mayo de 2013 en Wayback Machine , Universidad de Harvard.
↑ Meseguer & Goguen 1986 , apartados 2.3 (p. 464) y 4.1 (p. 471).
↑ Para demostraciones formales, véase, por ejemplo, el archivo: Inductive proofs of properties of add, mult from recursive definitions.pdf .
↑ Suppes 1960 harvnb error: no target: CITEREFSuppes1960 ( help ) , Hatcher 2014
^ Tarski y Givant 1987 , sección 7.6.
↑ Fritz 1952 , p. 137 Un ejemplo de «interpretación» es la propia definición de Russell de «número cardinal». El sistema no interpretado en este caso son los axiomas de Peano para el sistema numérico, cuyas tres ideas primitivas y cinco axiomas, según creía Peano, eran suficientes para derivar todas las propiedades del sistema de números naturales. En realidad, sostiene Russell, los axiomas de Peano definen cualquier progresión de la forma $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$ de las cuales la serie de los números naturales es un ejemplo.
↑ Gray 2013 , p. 133 Así que Poincaré se dedicó a ver si el logicismo podía generar aritmética, más precisamente, la aritmética de los ordinales. Couturat, dijo Poincaré, había aceptado los axiomas de Peano como una definición de un número. Pero esto no sirve. No se puede demostrar que los axiomas estén libres de contradicciones encontrando ejemplos de ellos, y cualquier intento de demostrar que estaban libres de contradicciones examinando la totalidad de sus implicaciones requeriría el mismo principio de inducción matemática que Couturat creía que implicaban. Porque (en otro pasaje omitido de S&M) o bien se asumía el principio para probarlo, lo que solo probaría que si es verdadero no es autocontradictorio, lo cual no dice nada; o bien se usaba el principio de otra forma que la enunciada, en cuyo caso habría que demostrar que el número de pasos en el razonamiento era un entero según la nueva definición, pero esto no se podía hacer (1905c, 834).
↑ Hilbert 1902 .
↑ Gödel 1931 .
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↑ Hermes 1973 , VI.4.3, presentando un teorema de Thoralf Skolem
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Fuentes

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

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[11] za de luz más cercana correspondiente a 0, y una pieza vecina correspondiente al sucesor

[14] El conjunto no contiguo satisface el axioma 1 ya que tiene un elemento 0, 2–5 ya que no afecta las relaciones de igualdad, 6 ya que todas las piezas tienen un sucesor, el axioma 7 ya que no hay dos dominós que se caigan o sean derribados por la misma pieza, y el axioma 8 ya que cada dominó, excepto el primer dominó claro, es derribado por otro dominó.

[30] " $\forall x\ (x\cdot 0=0)$ " se puede demostrar a partir de los otros axiomas (en lógica de primer orden) de la siguiente manera. En primer lugar, $x\cdot 0+x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0=x\cdot 0+0$ por distributividad e identidad aditiva. En segundo lugar, $x\cdot 0=0\lor x\cdot 0>0$ por el Axioma 15. Si $x\cdot 0>0$ entonces $x\cdot 0+x\cdot 0>x\cdot 0+0$ mediante la adición del mismo elemento y la conmutatividad, y por lo tanto $x\cdot 0+0>x\cdot 0+0$ por sustitución, contradiciendo la irreflexividad. Por lo tanto, debe ser que $x\cdot 0=0$ .

[1] "Peano" . Diccionario completo de Random House Webster .

[FOOTNOTEGrassmann1861-2] Grassmann 1861 .

[FOOTNOTEWang1957145,_147"It_is_rather_well-known,_through_Peano's_own_acknowledgement,_that_Peano_[…]_made_extensive_use_of_Grassmann's_work_in_his_development_of_the_axioms._It_is_not_so_well-known_that_Grassmann_had_essentially_the_characterization_of_the_set_of_all_integers,_now_customary_in_texts_of_modern_algebra,_that_it_forms_an_ordered_[[integral_domain]]_in_which_each_set_of_positive_elements_has_a_least_member._[…]_[Grassmann's_book]_was_probably_the_first_serious_and_rather_successful_attempt_to_put_numbers_on_a_more_or_less_axiomatic_basis."-3] Wang 1957 , pp. 145, 147, «Es bastante conocido, gracias al propio reconocimiento de Peano, que este […] hizo un uso extensivo del trabajo de Grassmann en el desarrollo de sus axiomas. No es tan conocido que Grassmann caracterizó esencialmente el conjunto de todos los enteros, ahora habitual en los textos de álgebra moderna, como un dominio de integridad ordenado en el que cada conjunto de elementos positivos tiene un miembro mínimo. […] [El libro de Grassmann] fue probablemente el primer intento serio y bastante exitoso de fundamentar los números de forma más o menos axiomática».

[FOOTNOTEPeirce1881-4] Peirce 1881 .

[FOOTNOTEShields1997-5] Shields 1997 .

[FOOTNOTEVan_Heijenoort196794-6] Van Heijenoort 1967 , pág. 94.

[FOOTNOTEVan_Heijenoort19672-7] Van Heijenoort 1967 , pág. 2.

[FOOTNOTEVan_Heijenoort196783-8] Van Heijenoort 1967 , pág.83.

[FOOTNOTEPeano18891-9] Peano 1889 , pág. 1.

[FOOTNOTEPeano190827-10] Peano 1908 , pág. 27.

[12] Matt DeVos, Inducción matemática , Universidad Simon Fraser

[13] Gerardo con Díaz, Inducción matemática. Archivado el 2 de mayo de 2013 en Wayback Machine , Universidad de Harvard.

[FOOTNOTEMeseguerGoguen1986sections_2.3_(p._464)_and_4.1_(p._471)-15] Meseguer & Goguen 1986 , apartados 2.3 (p. 464) y 4.1 (p. 471).

[16] Para demostraciones formales, véase, por ejemplo, el archivo: Inductive proofs of properties of add, mult from recursive definitions.pdf .

[17] Suppes 1960 harvnb error: no target: CITEREFSuppes1960 ( help ) , Hatcher 2014

[FOOTNOTETarskiGivant1987Section_7.6-18] Tarski y Givant 1987 , sección 7.6.

[19] Fritz 1952 , p. 137 Un ejemplo de «interpretación» es la propia definición de Russell de «número cardinal». El sistema no interpretado en este caso son los axiomas de Peano para el sistema numérico, cuyas tres ideas primitivas y cinco axiomas, según creía Peano, eran suficientes para derivar todas las propiedades del sistema de números naturales. En realidad, sostiene Russell, los axiomas de Peano definen cualquier progresión de la forma $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$ de las cuales la serie de los números naturales es un ejemplo.

[20] Gray 2013 , p. 133 Así que Poincaré se dedicó a ver si el logicismo podía generar aritmética, más precisamente, la aritmética de los ordinales. Couturat, dijo Poincaré, había aceptado los axiomas de Peano como una definición de un número. Pero esto no sirve. No se puede demostrar que los axiomas estén libres de contradicciones encontrando ejemplos de ellos, y cualquier intento de demostrar que estaban libres de contradicciones examinando la totalidad de sus implicaciones requeriría el mismo principio de inducción matemática que Couturat creía que implicaban. Porque (en otro pasaje omitido de S&M) o bien se asumía el principio para probarlo, lo que solo probaría que si es verdadero no es autocontradictorio, lo cual no dice nada; o bien se usaba el principio de otra forma que la enunciada, en cuyo caso habría que demostrar que el número de pasos en el razonamiento era un entero según la nueva definición, pero esto no se podía hacer (1905c, 834).

[FOOTNOTEHilbert1902-21] Hilbert 1902 .

[FOOTNOTEGödel1931-22] Gödel 1931 .

[23] Gödel 1958

[24] Gentzen 1936

[FOOTNOTEWillard2001-25] Willard 2001 .

[FOOTNOTEParteeTer_MeulenWall2012215-26] Partee, Ter Meulen y Wall 2012 , pág. 215.

[FOOTNOTEHarsanyi1983-27] Harsanyi (1983) .

[FOOTNOTEMendelson2015155-28] Mendelson 2015 , pág. 155.

[FOOTNOTEKaye199116–18-29] Kaye 1991 , págs. 16–18.

[FOOTNOTEHermes1973VI.4.3-31] Hermes 1973 , VI.4.3, presentando un teorema de Thoralf Skolem

[FOOTNOTEHermes1973VI.3.1-32] Hermes 1973 , VI.3.1.

[FOOTNOTEKaye1991Section_11.3-33] Kaye 1991 , Sección 11.3.

[FOOTNOTEKaye199170ff.-34] Kaye 1991 , págs. 70 y siguientes.

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